南京师大附中2011届高三学情调研卷数学.doc

南京师大附中
2011届高三学情调研卷
数 学 试 题

注意事项：
1．本试卷包括填空题（第1题～第14题）、解答题（第15题～第20题）两部分。本试卷满分为160分，考试时间为120分钟。
2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答卷纸的密封线内。试题的答案写在答卷纸上对应题目的答案空格内。考试结束后，交回答卷纸。

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。请把答案填写在答卷纸相应位置上。
1．记函数的定义域为A，则中有 个元素。
2．已知为虚数单位），则= ．
3．某学校高一年级500名学生中，血型为O型的有200人，A型的有125人，B型的有125人，AB型的有50人，为了研究血型与色弱之间的关系，用分层抽样的方法抽取一个容量为40的样本，则在血型为O型的学生中应抽取 人。
4．命题“”的否定是 。
5．已知函数
的图象如图所示，则= ．
6．有五条线段，其长度分别为1，2，4，5，7．现任取
两条，则这两条线段的长度之和为偶数的概率是 ．
7．设曲线处的切线与直线平行，则实数的值为 ．
8．在中，已知BC=1，,的面积为，则AC的长为 ．
9．已知正方形ABCD的四个顶点在椭圆上，AB∥轴，AD过左焦点F，则该椭圆的离心率为 ．
10．已知函数．若则的最大值为 ．
11．如图，已知C为边AB上一点，且
,
则= ．
12．右图是一个算法的流程图，最后输出的T= ．
13．设是定义在R上的奇函数，且当时，
已知则的大小关系
为 ．（用“”连结）
14．已知成等差数列，将其中的两个数交换，得
到的三数依次成等比数列，则的值为 ．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分。请在答卷纸指定区
域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（本小题满分14分）
在平面直角坐标系中，已知点其中．
（1）若求证：
（2）若求的值．

16．（本小题满分14分）
如图，在四棱锥P—ABCD中，AB∥CD,CD=2AB,AB平面PAD，E为PC的中点．
（1）求证：BE∥平面PAD;
（2）若ADPB，求证：PA平面ABC D．

17．（本小题满分14分）
某专卖店经市场调查得知，一种商品的月销售量Q（单位：吨）与销售价格（单位：万元/吨）的关系可用下图的一条折线表示．
（1）写出月销售量Q关于销售价格的函数关系；
（2）如果该商品的进价为5万元/吨，除去进货成本外，专卖店销售该商品每月的固定成本为10万元，问该商品每吨定价多少万元时，销售该商品的月利润最大？并求月利润的最大值．

18．（本小题满分16分）
已知函数且，其中、
（1）求m的值；
（2）求函数的单调增区间．

19．（本小题满分16分）
已知圆M的圆心M在y轴上，半径为1．直线被圆M所截得的弦长为，且圆心M在直线的下方．
（1）求圆M的方程；
（2）设若AC,BC是圆M的切线，求面积的最小值．

20．（本小题满分16分）
已知数列满足，
（1）若数列是等差数列，求的值；
（2）当时，求数列的前n项和；
（3）若对任意都有成立，求的取值范围．

附加题

注意事项：
1．附加题供选修物理的考生使用。
2．本试卷共40分，考试时间30分钟。
3．答题前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内。试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内。考试结束后，交回答题纸。

21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分。请在答卷纸指定区域内作答。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
A．选修4—1：几何证明选讲
如图，AD是的平分线，⊙O过点A且与BC边相切于点D，与AB、AC分别交于E，F，求证：EF∥BC。

B．选修4—2：矩阵与变换
已知若矩阵所对应的变换把直线变换为自身，求的值．

C．选修4—4：坐标系与参数方程
将参数方程（t为参数）化为普通方程．

D．选修4—5：不等式选讲
已知是正数，求证

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分。请在答卷纸指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
22．袋中装着标有数字1，2，3，4的卡片各1张，甲从袋中任取2张卡片（每张卡片被取出的可能性相等），并记下卡面数字和为X，然后把卡片放回，叫做一次操作。
（1）求在一次操作中随机变量X的概率分布和数学期望E（X）；
（2）甲进行四次操作，求至少有两次X不大于E（X）的概率．

23．在直三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是直角三角形，AC=BC=AA1=2，D为侧棱AA1的中点．
（1）求异面直线DC1,B1C所成角的余弦值；
（2）求二面角B1—DC—C1的平面角的余弦值．

参考答案

说明：
1．本解答给出的解法供参考。如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则。
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分。
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。
4．只给整数分数，填空题不给中间分数。

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。
1．2 2．6 3．16
4 5． 6．
7． 8． 9． 10．7
11． 12．－2 13． 14．20
二、解答题：（本大题共6小题，共计90分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（本小题满分14分）
解：（1）（方法一）
由题设知……………………2分
所以
……………………6分
因为所以故……………………7分
（方法二）
因为所以，故………………2分
因此……………………4分
因为
所以
（2）因为所以
即
解得……………………9分
因为所以
因此……………………12分
从而……14分
16．（本小题满分14分）
证明：（1）（方法一）取PD中点F，连结EF，AF．
因为E是PC的中点，F是PD的中点，
所以EF∥CD，且CD=2EF．
∥
又因为AB∥CD,CD=2AB,
所以EF=AB，即四边形ABEF是平行四边形．
因此BE∥AF．………………5分
又平面PAD，平面PAD,
所以BE∥平面PAD．………………8分
（方法二）延长DA、CB，交于点F，连结PF．
因为AB∥CD,CD=2AB,
所以B为CF的中点．
又因为E为PC的中点，
所以BE∥PF．………………5分
因为平面PAD，平面PAD,
所以BE∥平面PAD．………………8分
（方法三）取CD中点F，连结EF，BF．
因为E为PC中点，F为CD中点，
所以EF∥PD．
因为平面PAD，平面PAD,
所以EF∥平面PA D．………………2分
因为F为CD中点，所以CD=2FD．
∥
又CD=2AB,AB∥CD,
故AB=FD，即四边形ABFD为平行四边形，所以BF∥AD．
因为平面PAD，平面PAD,所以BF∥平面PAD．
因为平面BEF,
所以平面BEF∥平面PA D．………………6分
因为平面BEF，所以BE∥平面PA D．………………8分
（2）因为AB平面PAD,PA,平面PAD,
所以……………………10分
因为
所以平面PA B．………………12分
又平面PAB，所以
因为故PA面ABCD．……………………14分
17．（本小题满分14分）
解：（1）由题设知，当时，
当时，……………………4分
所以……………………6分
（2）月利润为
由（1）可知，

………………9分
所以当时，当时，
所以当时，取得最大值6．
答：该商品每吨定价为9万元时，销售该商品的月利润最大，最大利润为6万元。…14分
18．（本小题满分16分）
解：（1）由题设知，函数的定义域为，
………………2分
由得解得m=1．………………4分
（2）由（1）得………6分
当时，由得或
此时的单调增区间为和（0，）…………9分
当时，的单调增区间为．………………11分
当时，由得
此时的单调增区间为和（0，）．………………14分
当时，由
此时的单调增区间为．
综上，当时，的单调增区间为．和（0，1）；当时，的单调增区间为；当时，的单调增区间为和:当时，的单调增区间为．………………16分
19．（本小题满分16分）
解：（1）设由题设知，M到直线的距离是…………2分
所以解得………………4分
因为圆心M在直线的下方，所以，
即所求圆M的方程为………………6分
（2）当直线AC,BC的斜率都存在，即时
直线AC的斜率
同理直线BC的斜率………………8分
所以直线AC的方程为
直线BC的方程为………………10分
解方程组得…………12分
所以
因为所以所以．
故当时，的面积取最小值．………………14分
当直线AC，BC的斜率有一个不存在时，即或时，易求得的面积为．
综上，当时，的面积的最小值为．………………16分
20．（本小题满分16分）
解：（1）若数列是等差数列，则
由得即
解得，……………………4分
（2）由得
两式相减，得
所以数列是首项为，公差为4的等差数．
数列是首项为，公差为4的等差数列，
由
所以……………………6分
①当

……………………8分
②当为偶数时，

……………………10分
（3）由（2）知，
①当为奇数时，
由
令
当
解得……………………13分
②当为偶数时，
由
令
当时，
解得
综上，的取值范围是………………16分

14