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第4章 数学教学理论与实践专题四：数学教学方法同样的教学素材采用不同的教学方法得到的效果是不一样的，因此，教学素材选择的同时还应关注教学方法的设计一、教学方法的分类介绍1.讲授法 在现行的课堂教学中，使用得最为普遍的莫过于讲授法 所谓讲授法，从形式上看，就是由教师个人对全体学生讲述某个教学主题案例1 数学归纳法的引入教师：本章我们研究了数列，数列实际上是定义域为自然数的函数，因而数列的有关问题基本上都与自然数有关这堂课我们就研究一个证明有关自然数的命题的常用方法数学归纳法所谓数学归纳法是指：要证明一个有关自然数的命题P(n)成立，我们可以分两步走：首先证明P(1)成立，然后证明如果P(n)成立那么P(n+1)也一定成立。这里第二步保证了命题的“传递性”，只要前面的成立，就可以保证后面的也一定成立，因而这个性质可以无限地传递下去，因此这一步十分重要，它是传递的依据；而第一步保证了初始的性质成立，它是传递的基础，否则第一步就不对，也无法传递下面，我们就通过一个具体的例题来感受一下数学归纳法讲授法的实质及其在教学中的应用讲授法，实质上是通过教师的“讲”来传授知识，学生则通过“倾听”(当然在倾听中也有自己的思考与理解)来接受知识应该说，在未来的数学教学中，这种教学方式仍会得到普遍的使用因为从学生学习过程中知识信息的传输方向而言，学生的学习可以分为接受学习和发现学习，而且随着社会化程度的加快，对学习效率要求的提高，学生对人类文明成果的接受学习仍然十分重要所以，在未来的学生学习中，接受式学习仍是一种重要的学习方式，因而讲授法仍将是一种普遍使用的教学方法 讲授法具有一个十分明显的好处：节约时间和人力讲授法中，经过教师的整理和设计，学生要学习的内容被程序化、模式化和清晰化，而且可以保证所有学生学习步调的一致，因而可以节约学生的学习时间，提高学生的学习效率当然，这里的高效率是离不开教师精彩的讲授和恰当的设计的因此，讲授法要求教师的表达清楚、形象，这样才能使学生清楚地了解所讲授内容的含义；同时要求教师在教学设计时能够比较逻辑地把握学科知识，比较准确地把握学生的思维水平和特征，并据此设计出恰当而又具有层次性的教学素材，从而使学生对各个环节知识之间形成比较好的联系，形成对知识的整体把握当然，前者是对教师教学基本功和个人教学艺术的要求，我们暂且不予关注，我们仅关注其教学设计问题讲授法的教学设计为了讲授得更为有效，在利用讲授法进行教学设计时，我们应关注讲授的内容和方式，即讲授什么和怎样讲授的问题讲授什么对于讲授什么，我们应关注知识本身的特征和学生的接受能力两个方面从知识本身特征来看，讲授法所讲授的知识，顾名思义，是可以讲授的，即可以言传的明确知识例如，一些基本的数学概念(如平行四边形的概念)，一些基本的数学表示方法(如平行、垂直的表示方法等)，基本的数学运算(如一位数与两位数的乘法)，一些基本的数学命题(如平行四边形的判定条件)和数学史实(如初中阶段无理数的发现史、高中阶段复数的发现史)等当然，并非明确的数学知识都应采用讲授法我们还应全面考虑这个数学知识的教育价值例如，在一位数乘以两位数时，如果我们仅关注学生运算技能的获得，那么可以使用讲授法，直接向学生讲授一些一位数乘以两位数的实例，归纳其运算步骤和格式，然后通过学生的练习巩固这一技能如果我们更为关注在一位数乘以两位数的学习过程中学生的数学转化能力培养，我们也可以将这一内容设计为一名学生探究活动，首先呈现几个一位数乘以两位数的具体例子(当然，为了学生探究的方便，这些例子可以有一定的层次)要求学生探究，在学生探究、交流和教师点评的基础上再进行适当的总结和格式整理，进而进行一定的技能训练通过这项学生活动，发展学生将待学知识转化为已学知识的化归能力；从而建立良好的知识联系，为后续一位数乘以多位数以及多位数乘以多位数打下基础同样，对于无理数的发现历史，也可以作为史实向学生介绍，但如果关注在无理数建立过程中发展学生的理性精神，也可以让学生经历一定的无理数的“再发现”过程此外，在一定的条件下，一些默会的知识超出了多数学生的自我感悟能力，这时适当地将其外显化并讲授给学生也是必要的如在数学教学中一些重要的数学思想方法，更多的应该是学生的体会感悟，但是也不排除在学生知识水平尚无法对此进行提炼时，教师不时地进行点破，也未尝不可例如，在二元一次方程组的解法的教学中，可以要求学生思考各种解法的本质，从而归纳出其中的消元思想在关注数学知识本身的特征的同时，我们还应关注学生的接受能力有些内容如果让学生经历相应的探究过程也许更具价值，但是如果脱离了学生的认知水平，学生探究具有较大的困难，也可以直接讲授例如，刚才所说的无理数的概念可以让学生探究，但在高中阶段如果让学生探究复数概念，同样具有极高的价值，可以让学生充分感知到复数教学的必要性，体会复数学习的意义，感受到复数并非数学家的凭空想象，有利于发展学生的理性精神，但引入复数概念已经超出了学生探究能力，就不宜让学生探究，可以将有关史实向学生讲授怎样讲授讲授的方式也直接制约着学生的接受效果在讲授中我们还应关注怎么讲的问题同样的内容，讲授得生动形象，会激发学生的学习兴趣，给学生留下深刻的印象；讲授得具有启发性，便于学生的接受与理解案例2 数学归纳法的引入教师：本章我们研究了数列，例如数列n3-n和数列4n1，有人发现，这两个数列的各项都是3的倍数，也就是说，对于任意自然数n，n3-n和4n1都是3的倍数我们不妨算几个数试试，教师：好像都是3的倍数，但是我们不能仅仅根据所算的几个数就断定它们是3的倍数，应该给出它们的数学证明教师：如果证明这个性质对于有限个自然数成立，那么好办，可以一个一个地验证，至少理论上可以这样做可是现在要证明这个性质对所有的自然数成立，而自然数的个数是无限的，显然没有办法一个一个地验证了为此，我们可以先看看自然数有什么好的性质所有自然数是可以一个一个地排起来的，也就是说，它有个开始的第一个数1，而且知道了一个数就可以推知后面的一个数那现在要证明一个命题对所有的自然数都成立，我们也可以类似地思考，只要能够保证这个命题对于第一个数成立，而且当该命题对前一个自然数成立时可以推知它对后一个自然数也成立，这样由1成立可以推出2成立，由2成立又可以推知3成立，依次类推，4，5，这样该命题就对所有的命题成立了这就像在电视里看到的多米诺骨牌一样，如果骨牌排列得好，前一个骨牌倒下时能够保证后一个骨牌也接着倒下，那么我们只要先将第一个骨牌推倒就可以将所有的骨牌都推倒了因此，证明的步骤有两步：第一步，证明该命题对于1成立；第二步，证明由n=k时命题成立可以推知n=k+1时命题也成立下面我们一起来证明第一个问题：对于所有的自然数n，n3-n都能被3整除 显然，相对于案例1而言，案例2中教师的讲授更为形象而具有启发性2.探究教学法数学探究学习是当前数学课程改革倡导的学习方式之一，全日制义务教育数学课程标准提出：“有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。”数学探究在当前的数学教学实践中得到了高度的关注，但什么是数学探究学习？有哪些特别的价值？具体教学设计中需关注什么？这些问题值得讨论。（1） 数学探究学习及其意义11数学探究学习的内涵什么是探究学习？查阅相关文献，国内外学者对探究学习的解释有很多种。有的将探究学习作为一种学习活动，如施瓦布认为 “探究学习是指这样一种学习活动：儿童通过自主地参与知识的获得过程，掌握研究自然所必需的探究能力；同时，形成认识自然的基础科学概念；进而培养探索世界的积极态度。”有的将探究学习作为一种学习方法，如人民教育出版社课程教材研究所研究员柴西琴认为，“探究教学实质上是将科学领域的探究引入课堂，使学生通过类似科学家的探究过程理解科学概念和科学探究的本质，并培养科学探究能力的一种特殊的教学方法”。 有的将探究学习作为一种模拟性的科学研究活动，如西南师范大学教授宋乃庆认为， “探究学习在本质上是一种模拟性的科学研究活动。”表述不尽相同但又有共同之处，如关注问题性，探究学习要使学生产生问题意识，提出对学生具有挑战性和吸引力的问题；体现主动性，探究学习强调学生的主动性，学生在探究中始终处于主动状态，从问题的提出、制定问题探究计划，到收集材料处理信息和得出结果验证结论都贯穿了学生的积极思考；凸显过程性，强调学生探索新知识的经历和获得新知的体验等等。笔者认为，探究学习本质上不是某种新的学习方式。理由有二：一是，探究学习、自主学习以及合作学习等都是新课程下涌现出来的提法，从课程标准的论述和标准解读来看，这些提法主要是针对传统教学过于强调接受学习、死记硬背、机械训练的现状，而并不是否定传统的学习方式。传统学习方式也有接受学习和发现学习之分，新课程提倡在传统学习方式的基础上添加一些积极的元素或手段，接受学习也可以含有探究、自主和合作的成分，发现学习亦然，只不过是程度或方式不同而已，因此“探究学习”、“自主学习”、“合作学习”这样的说法只是我们讨论的需要或强调的侧重。二是，数学学习本身就是一个探究的过程，在数学学习过程中学生要有积极思维的参与，观察、归纳、类比、联想、演绎等等，探究学习必定包含这些数学活动形式，探究学习只是具有问题性、主动性、过程性等一些特征的学习方式，它仍从属于接受学习或发现学习。12数学探究学习的意义对于探究学习的意义，学者们见仁见智给出了众多的论述，但从数学学习来说，笔者认为可以归结为三个方面：数学探究学习可使学生获得知识的深层理解，数学探究让学生通过多种活动，去探究和获取知识，必定达到对知识的深层理解；数学探究可使学生学会研究问题的方法，数学探究学习包括多方面的活动，如观察，提出问题，猜测、假设，文献查询，计划调查或实验，收集、分析、解释数据，推理论证，合作交流等，所有这些活动都是解决问题的有效手段；数学探究学习可使学生形成良好的数学认识，在探究过程中学生形成科学态度和习惯，形成实事求是、精益求精、谦虚谨慎、客观公正、敢于创新的精神。也即数学探究学习恰好符合新课程下的三维目标论述，可能这也是数学探究学习得以深得人心的原因之一。（2） 数学探究学习的实施2.1探究的内容数学探究学习有其丰富的价值，但显然不是所有内容都需要或值得探究，那么哪些数学内容适合探究？哪些不适合探究？这是教学中首先关注的问题。不需要探究的内容 太难或太易的问题不适合探究。从心理学上来说， “最近发展区”是教学的最佳期,超出“最近发展区”之外的教学和降低“最近发展区”水平的教学对于学生来说都是低效的，太难的问题学生无法和原认知结构中的有关知识建立联系，无法探究，太易的问题，对学生没有思维的挑战性，达不到数学探究学习的意义。案例：“两直线平行同位角相等”定理的证明证明：如图所示：如果12，那么我们可以作一个角EMH=2，根据同位角相等两直线平行，可得到GHCD，又ABCD，这样经过点M存在两条直线AB和GH都和直线CD平行。这与公理“过直线外一点有且仅有一条直线与这条直线平行”相矛盾。这说明假设12是不成立的。所以1=2。此定理出现在七年级，对于初中学生来说，这是初次接触反证法，在教学中可以让学生先尝试碰壁，感受用已有的知识和方法证明有困难即可，但不宜时间太长，让学生探究此定理的证明只能是浪费时间。案例：三角形内角和定理三角形内角和为1800，小学生已经熟知这个结论，如果对初中生还提出问题：三角形三个内角有什么关系？你是怎样做的？这样的问题对学生来说就缺乏挑战性，没有探究的价值。但转变关注的重心，对此问题进一步提升，就可体现数学探究：还记得小学时对这个结论的探索过程吗？学生回答用测量或剪拼的方法。教师进一步问：无论测量还是剪拼，都是将三个内角放到一起，如果按照下面的要求，你能说明结论吗？如图，如果我们只把A移到了1的位置，你能说明这个结论吗？如果不实际移动A，那么你能用什么方法可以达到同样的效果，证明这个结论？根据前面给出的基本事实和定理，你能用自己的语言说说这一结论的证明思路吗？你能用比较简洁的语言写出这一证明过程吗？与同伴交流。很显然，上面的教学设计一方面充分利用学生已有的知识和经验，另一方面使学生通过多角度思考、分析、说理加深学生对三角形内角和为180的理解，同时在教学中注重在直观操作的基础上进行简单的推理，使学生学会用一定的方式有条理地表达推理过程。另外，说明性、规定性、陈述性的数学知识，如数学概念的名称、数学符号的记号或书写的格式等，不需要学生探究，学生只需要通过教师的讲解或自己阅读等方式就可以掌握。如同类项的概念，提出诸如“2x和x，3y和5y， 2a2b和-4a2b，-7x2y3和有什么共同特征？”，让学生讨论，这样的讨论价值不大，教师作适当解释即可。再如平行、垂直表示的记号等，只要告诉学生就可以了。可以探究和值得探究的内容 难易适当的内容可以让学生探究，当然还要看具体教学目标的要求，如果某个教学内容，只要求学生掌握某个结论，那么讲授法也许就能达到目的，如果不仅要掌握结论，还要学生了解过程与方法，以便更好地理解知识，或要学生能够在活动中积累一定的活动经验，或要体现问题解决策略的多样化，那么设计一个探究活动就是比较重要的了。当然还要兼顾教学内容本身的价值，如此内容有一定的思维含量，有利于展现知识的生成过程，有助于学生能力的发展，那么教师针对学生的思维水平设计相应的探究活动也是不错的教学选择。案例：三角形全等的条件提出问题：要画一个三角形与小明画的三角形全等需要什么条件？一定要知道所有的边长和所有的角度吗？条件能否尽可能的少？是需要一个条件？两个条件？三个条件？还是更多的条件？如果是采用讲授式教学方式，教师只需呈现“边边边”等条件，让学生去画一画，确认相应的条件就可以了，但这样学生就难以经历获得结论的过程，以及数学推理的过程，从三角形全等的六个条件，为什么一下子就变为三个条件？为什么“边边角”不可以？“边边边”就可以？事实上这些活动的经验对其以后的学习是非常重要的，如在学习三角形相似的条件时，学生必定会联想起三角形全等时所采用的探索思路和方法。正是基于这样的考虑，教材为学生提供了活动的素材并设计了逐次递进的数学问题，在活动的过程中，学生不仅得到了“边边边”等全等的条件，同时体会了分析问题的一种方法，积累了数学活动经验。案例：二元一次方程组的解法提出问题：上节课我们得到二元一次方程组，怎么求出它的解呢？教师可以要求学生思考：以前学习过哪些方程，你能将这个问题转化成以前学习过的方程吗？怎么消去其中一个未知量？学生思考讨论得出：因为方程组中相同的字母表示的是同一个未知量.所以将中的变形，得y=8x ，把y=8x代入方程，即将中的y用（8x）代替，这样就有5x+3(8x)=34.“二元”化成“一元”.在这个过程中，学生不仅获得了求解二元一次方程的具体方法，而且体会到了化归的数学思想：把“二元”问题化归为“一元”问题，而“一元”（一次）方程是我们能够解的，这一基本思想方法可以毫无障碍地推广到n元。让学生亲历这个探索过程，可以更好地感受这一思想，具有方法论的意义。案例：无理数的引入如果仅仅是想让学生知道无理数的定义和无理数的发现历史，采用讲授法给学生介绍史实也未尝不可。2.2探究的类型适合探究的内容很多，大致可归结为三种类型：形成性探究、建构性探究和应用性探究。形成性探究 主要是将教材中知识的形成过程设计成探究的问题，让学生在探究活动中自主建构数学知识，如数学概念的抽象、命题的探索等。案例：巨人的手（弗赖登塔尔）在引进相似概念的时候，教师在黑板上画了一只“巨人的手”。教师对学生说：“昨晚外星人访问我校，在黑板上留下了一个巨大的手印。今天晚上他还要来。请大家为巨人设计所用书的大小，坐的椅子的高度和大小，桌子的高度和大小。”这样的探究活动使学生有机会经历和体验数学知识产生和形成的过程。学生在设计时还没有学习相似的内容，因此学生会遇到一些困难，书的大小，坐的椅子的高度和大小，桌子的高度和大小多少才是合适的？怎样确定标准？学生在解决问题的过程中一个新的数学概念产生了。案例：在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半。问题：用含30角的两个三角尺，你能拼成一个怎样的三角形?能拼出一个等边三角形吗?在你所拼得的等边三角形中，有哪些线段存在相等关系，有哪些线段存在倍数关系，你能得到什么结论？说说你的理由。学生一般可以得出下面两种图形：其中第1个图形是等边三角形，对于该图学生也可以得出BD=AB，从而得出：在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半。如果教师一开始就要求学生证明“在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半。”学生会感觉很突然，也会无从下手，这样的活动设计，将命题的结论自然产生，同时为后续的严格证明做了很好的铺垫，即如右图类似三角尺的拼摆过程，延长BC至D，使CD=BC，连接AD。建构性探究 主要是在学生已有知识经验的基础上，让学生自行发现问题、解决问题并获得相应的数学结论。如一些一般性数学规律的探究。案例：确定物体的位置为了让学生经历在现实生活中确定物体位置的过程，感受确定物体位置的多种方法，理解在平面内确定一个物体的位置一般需要两个数据。可设计多个探究活动，如在电影院内如何找到电影票上指定的位置？（用“排数”和“号数”来确定位置）地图上如何寻找城市的位置？（用“经度”和“纬度”来确定位置）如何确定船只相对灯塔的的位置？（用“方位角”和“距离”来确定位置）在生活中，还有哪些用类似方法确定物体的位置的实例? 由此得出：在平面内，确定一个物体的位置一般需要两个数据。案例：有趣的数字规律写下任何一个4 位数，每位数字不全都相等。重新排列每位数字使其组成为一个最大的数和一个最小的数，然后用最大数减去最小数，重复这个过程如：6543-3456=3087，8730-0378=8352将这个过程一遍又一遍地进行下去，你发现了什么？如果运用同样的规则，用三位数来试试，会得到什么结果呢？你能提出一个类似的猜想吗？对于不同的起始数字，反复运用任何一个固定的“运算规则”，由此顺序产生的数字总是会停留在某个或某几个数字上，或者以某种重复的方式循环。你认为会这样吗？这是为什么？学生比较容易发现一定的数字规律，也能自己制定一些运算规则进行试验，发现最后总会出现数字的循环，但为什么有这样的现象发生，要寻求解释有一定的探究性，此时学生也会表现出一定程度的差异性，如有的学生会采用列举的方法进行说明，有的学生则会采用代数表示的方法，将问题一般化。在此探究活动中学生一方面感受数学运算的魅力，另一方面体验实验观察猜想验证的解决问题的方法，提出问题、解决问题的能力得以发展。应用性探究 主要是将数学知识和规律的应用（包括数学内部的应用和实际应用）设计成探究的问题，如开放性问题的探究、综合性问题的探讨和应用问题的解决等。案例：方案设计（青岛61中 黄健）在一块长为m，宽为m的矩形荒地上，要建造一个花园，并使花园所占面积为荒地面积的一半。你能给出具体的设计方案吗？方案的设计不唯一，每个学生可以根据自己的设想给出自己的设计方案。如具有代表性的几种方案： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)在学生自行设计和展现作品时，教师可以进一步提出具有挑战性、开放性的问题，考查学生对知识的理解和应用能力：（1）你能说明你的设计是符合要求的吗？（2）以上图形哪些可以直接说明符合要求？剩下的图形可通过怎样的方式来说明？此方案的设计主要用到了新学习的配方法解一元二次方程，如果单纯要求学生解一元二次方程，只能是一种运算技能的训练，现要求学生自行设计方案，需要适度的建模，一方面体会方程的解必须符合实际意义，巩固用配方法解一元二次方程，另一方面通过设计方案培养学生创新思维能力，增强用数学的意识。 案例：制作一个尽可能大的无盖长方体形纸盒用一张正方形的纸怎样制作一个尽可能大的无盖长方体形纸盒？对初中学生来说，受知识水平的限制，此问题表现出很强的综合性，所涉及的数学内容有：长方体的展开、代数式表示、代数式值寻求规律、统计表；所涉及的活动有：制做无盖长方体、无盖长方体的容积表示、无盖长方体容积的规律、寻求尽可能大的容积。通过这个探究获得，学生进一步丰富自己的空间观念，体会函数思想以及符号表示在实际问题中的应用，进而体验从实际问题抽象出数学问题、建立数学模型、综合应用已有的知识解决问题的过程，并从中加深对相关知识的理解、发展自己的思维能力。2.3 探究学习的组织形式探究学习按照学习自主的程度可分为独立探究和小组探究，一般来说，当探究的内容个人经努力后能独立完成的，应由学生独立进行，当探究的内容较为复杂或容易出现多种解答时，适宜小组探究。独立探究所谓独立探究是指学生个体对探究问题进行独立思考、研究，独立探究能使学生学到科学探究的方法，从而增强学生的自主意识，培养学生的探索精神和创新能力。案例：比较线段的长短比较线段长短学生有一定的生活经验，所以可设计成独立探究的内容：呈现几幅图并出示问题，一个人和旗杆哪个高？（直接观察就可以比较）两枝差不多长短的钢笔哪个长？（观察难以判断，但可以将一端重合进行比较）一扇长方形的窗户两个邻边（比较接近）哪个长？（观察难以判断，也无法将一个端点重合，但可以借助一个中介如一根绳子去测量比较，也可以用刻度尺分别测量进行比较）提出问题：承接上面的情境，不管是比较人和旗杆的高度、两支钢笔的长短、一张长方形的纸两个邻边的长度，还是一扇长方形的窗户两个邻边的长度，都是比较两个线段的长短，进而提出问题：怎样比较两条线段AB与CD的长短？先让学生独立探究，再进行交流的基础上明晰：如果线段AB与线段CD长短相差很大，直接观察就可以进行比较。如果直接观察难以判断，我们可以有两种方法进行比较：一种方法是用刻度尺量出线段AB与线段CD的长度，再进行比较；另一种方法是把其中的一条线段移到另一条线段上去加以比较，将其中的一个端点重合在一起，如将点A和点C重合，就可以看出线段AB与线段CD的长短。这样的探究，让学生感受到方法的产生比较自然，同时为后续角的大小比较学习作好铺垫，可以感受比较方法的一致性。一般来说，学生能够自行阅读教学材料解决的问题或需要学生亲身感受的内容就应该给学生留有独立探究的时空，学生应对自己获得的知识和方法进行归纳整理，同时对尚未解决的问题逐项列出等待与他人合作时解决。案例：正方体的切截用一个平面去截一个正方体，截出的面可能是什么形状？教学时必须要让学生实际地截，感受平面位置的变化引起截面的变化，但在独立探究后，教师要引导学生对活动过程进一步整理与思考：（1）你能截出哪些形状？还有其他形状吗？（2）正方体的各种不同形状的截面是怎样得到的？这些问题不仅引起学生对活动的反思，同时为后续的合作探究及全班交流提供了主题。小组探究所谓小组探究，是指以小组为单位，为完成共同的探究任务，具有明确责任分工的互助性探究，小组探究能使学生集思广益，思维互补，思维开阔，使获得的知识更明确，方法更全面。案例：蚂蚁怎么走最近（成都市石室联合中学 易梅）如图所示,有一个圆柱,它的高等于12厘米,底面半径等于3厘米,在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁,它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物,沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少?此问题对学生来说有一定的挑战性，学生之间就会产生不同的观点，如A，、AA因此可以将学生分为-6人活动小组，合作探究蚂蚁爬行的最短路线，充分讨论后，汇总各小组的方案，在全班范围内讨论每种方案的路线计算方法，通过具体计算，总结出最短路线。对情形（1）和（2），比较容易得到情形（）的路线比情形（）要短对情形（）和（）的比较学生会出现困难，通过合作探讨，全班交流，有学生会提出用剪刀沿母线AA剪开圆柱得到矩形，前三种情形AB是折线，而情形（）是线段，故根据两点之间线段最短可判断（）最短。如图：（）中AB的路线长为：AA+d;（）中AB的路线长为：AA+ABAB;（）中AB的路线长为：AO+OBAB;（）中AB的路线长为：AB.学生不同的观点其中有正确的有错误的，通过学生的小组探究及全班交流，会自然引起学生的自我反思，在比较中获得最佳的结果。一般来说，对于需要花费时间比较多，内容较为复杂，结果多样化的问题，比较适宜小组探究。另外，在小组探究过程中学生之间要针对随时出现的问题展开讨论，甚至是辩论，相互交流想法和意见，在总结研究成果的时候，学生要用规范和科学的书面语言，将探究的过程和结果表述出来，以达到汇报或交流的目的。所以小组探究的主题必须适宜交流，而不是那些更多需要意会的缄默知识。案例：正方体的展开与折叠图中的图形经过折叠能否成为一个正方体？这种问题的解决是无法通过明确的知识和逻辑推理得到，更多的是一种空间观念的表现和活动经验的积累。 小组探究要注意给予小组中的每一位学生发表意见和思考的机会。2.4 教师的作用探究学习给学生提供了自主学习的时间和空间，但学生的探究活动如果得不到教师适时和有效的调控和指导，学生的探究活动或难以进行，或难以深入。适合的情境 教师引导学生探究的首要任务就是如何创设探究学习的情境，引出探究的主题，激发学生探究的欲望。数学探究学习的情境与一般的教学情境相比较应突出如下几点： 问题性：“问题”是探究的方向与动力，是学生学习新知的源头所在，创设的探究情境应有利于学生提取信息，提出数学问题。挑战性：作为数学探究情境的材料或活动，应该是学生不能马上解决，但可以起步的，即有一定的思维含量的。数学性：作为探究情境的材料或活动应和学习的主题紧密相关，有一定的数学内涵，能够很好地体现教学目标。趣味性：作为探究情境的材料或活动应尽量新颖有趣，能有效地激发学生的学习动机。 案例：探索三角形全等的条件某公司接到一批三角形架的加工任务，客户的要求是所有的三角形必须全等。如果你是质检部门的人员，是否每次需分别检查每个三角形的三条边、三个角这6个数据才能保证所有三角形全等？为了提高效率，是不是可以找到一个更优化的方法？只量一个数据可以吗？两个呢？三个呢？这样的情境很容易激发学生的探究兴趣，且可以比较快地过渡到数学学习主题的讨论。案例：两点间的距离师：同学们，今天上新课前，我想问大家一个问题。（学生们翘首以待）师：问题就是：林妹妹是怎么死的？（下面的学生一起纷纷议论起来。毕竟这是一节数学课，怎么就扯到了林妹妹呢。）生甲：林妹妹是气死的。生乙：林妹妹是病死的。生丙：林妹妹是郁闷死的。学生们围绕着大致上述观点争执起来。大约5分钟后，老师让同学们停止议论。师：林妹妹是摔死的。（下面学生一片哗然）师：不是有一首歌叫做天上掉下个林妹妹（这个答案一出，全班哄笑，接着学生们又开始议论起来）紧接着这位老师就放出了一段“自杀”的视频来。视频看完后，这位教师仿照视频中自杀的片段，画出了这个人跳楼的轨迹两点连成的线这时，教师给出了课题两点间距离公式。为了引出“两点间距离公式”，教学绕了一个大弯，讨论好半天才牵强附会地将情境和教学主题联系上，事实上，生活中“两点间距离”的实例何其多，分配土地丈量等，何必舍近求远呢？案例：平行四边形的性质探索设计一：活动1： 将一张平行四边形纸片沿一条对角线剪下，得到两张三角形纸片,它们能完全重合吗？它们的边与角有什么关系? 证明你的结论。活动2：准备两张形状、大小完全相同的平行四边形透明纸片，折出它们的两条对角线，将它们重合放置在桌面上，并用一枚大头针固定在对角线交点处.下面的纸片保持不动，将上面的纸片绕着大头针旋转1800，观察它们是否重合。由此你能发现在一个平行四边形中，还有哪些线段是相等的? 证明你的结论.设计探究活动的本意是想让学生通过活动得到猜想，通过对活动的讨论，提出各种验证方法，再加以证明。即通过活动能得到什么？如何得到的？怎么证明？但上述设计的探究情境较多地提供了程序化的步骤，结果指向性过于明显，为了呈现性质“平行四边形的两组对边分别相等” “平行四边形的两组对角分别相等”设计了活动1，为了呈现性质“平行四边形的对角线互相平分”设计了活动2，因此探究的空间显得不足。相比而言下面的设计二更为合适。设计二：将一张纸对折，剪下两张叠放的三角形纸片。将它们相等的一组边重合，得到一个四边形。（1） 你拼出了怎样的四边形？与同伴交流。（2） 在拼接得到的平行四边形中，有哪些相等的线段、哪些的角？你是如何得到的？与同伴交流。（3） ABCD的两条对角线AC，BD相交于点0。图中有哪些三角形是全等的？有哪些线段是相等的？设法验证你的猜想。借助于拼接平行四边形的活动，提出问题，力图让学生自主探索出平行四边形的有关活动，至于怎样得到结论？采用什么样的方法说明结论的正确性？需要学生自己思考和探究，如度量、折纸、旋转等方法。适度有效的引导 在数学课堂中，经常出现探究活动收放失控的现象，究其原因就是教师对探究活动缺乏适度有效的引导。教师要对学生的探究活动有充分的预见，如学生的回答是什么？会遇到怎样的困难？我该如何应对？当学生无所事事时，我能给其提供怎样的活动任务？当学生的探究内容偏离探究问题的实质时，我该如何指明探究的方向？案例：探究三角形全等的条件在简单回顾全等三角形的定义和性质后，教师提出问题：“老师黑板上有一个三角形，你能画一个三角形与它全等吗？如何画？与同伴交流你的画法。” 在学生回答的基础上，教师提出：“利用两个三角形全等的定义来作图，需要知道六个条件。但是，是否一定需要六个条件呢？条件能否尽可能少呢？一个条件行吗？两个条件、三个条件呢？”（引出课题），这样的教学处理，一方面为本节课的教学提供相应的知识，另一方面为学生的自主探究提供方向和方法。如果班级整体状况较好，教师可以在提出问题后，不再细化探究的步骤，鼓励学生大胆猜测，采取各自解决问题的方案，再全班进行交流，这样将所有全等的条件呈现出来后，再进行梳理和应用。但如果班级整体水平一般或较低，教师可进一步地将探究的问题细化为几个小问题：1只给一个条件(一条边或一个角)画三角形时，大家画出的三角形一定全等吗？2给出两个条件画三角形时，有几种可能的情况？每种情况下作出的三角形一定全等吗？分别按照下面的条件做一做：(1) 三角形的一个内角为30，一条边为3cm；(2) 三角形的两个内角分别为30和 50；(3) 三角形的两条边分别为4cm，6cm.3.如果给出三个条件画三角形，有哪几种可能的情况？每种情况下作出的三角形一定全等吗？分别按照下面的条件做一做：（1）已知一个三角形的三个内角分别为40，60和80，你能画出这个三角形吗？把你画的三角形与同伴画出的进行比较，它们一定全等吗？(2) 已知一个三角形的三条边分别为4cm，5cm和7cm，你能画出这个三角形吗？把你画的三角形与同伴画出的进行比较，它们一定全等吗？（3）如果三角形的两个内角分别是60 和80，它们所夹的边为2cm，你能画出这个三角形吗？你画的三角形与同伴画的一定全等吗？ 探究时学生遇到困难或出现错误怎么办？探究教学的本质特征是不直接把构成教学目标的有关知识和认知策略告诉学生，而是由学生自已制定获取知识的策略，这样有利于激发内在动机，学生认知策略自然获得发展。所以当学生遇到困难或出现错误时，教师不能听之任之，要对学生进行适当的点拨，或引起学生的反思，但切不可用教师的思维代替学生的思维。如在讨论三角形全等“边边边”条件时，S老师要求：选择三角形三条边的长度，画出这个三角形，把所画的三角形分别剪下来，并与同伴比一比，它们全等吗？（为便于比较，将三角形三条边确定为4cm，5cm，7cm。）因为作三角形内容还未学习，已知三边作三角形对学生是有难度的，在学生画图时发现有学生开始仅仅顾及到两条边的长度，但在S老师的引导下借助三角尺和直尺画出了符合条件的三角形，S老师借助多媒体给学生展示了画法（如右图），并告诉学生还可以借助直尺圆规去作，后面会接触。很多听课老师提出疑问：学生还不会作三角形，这里让学生画合适吗？S老师是这样回答的：学生画三角形有困难是预料之中的，但我觉得这恰好可以给一个学生思维碰撞的机会，从不会到尝试到学会一种方法，对学生的学习很有益处。笔者很认同这样的观点，事实上很多的数学知识是在解决问题的过程中发现才进行研究的，而不是将所有的知识做好储备才进行研究。案例：摸球后是否要摇匀在学生从事“实验概率”方式的学习活动时，小组成员之间会出现一些彼此无法解释的看法，如对于摸球游戏：一个盒子中有10个球（2白8黑），它们除颜色以外其他都相同，用实验的方法寻找摸到白球的概率。那么，一个同学摸完以后，另一个同学摸球以前是否需要摇一摇盒子？一种看法是：需要摇一摇盒子，它使得盒子中的每一个球被摸到的可能性相同；另一种看法是：不一定需要摇一摇盒子，只要我知道前面这个同学把球放到哪里，而我不去摸那个球就可以了。此问题牵涉到对核心概念“等可能性”的认识，这里出现的教学现象恰好可以帮助学生对核心概念形成正确的认识，教师应充分利用学生的错误，及时引发这种“观念冲突”， 促进学生对自己的思维过程进行周密且有批判性的再思考，对已形成的认识从另一个角度，以另一种方式进行再思考，以求得新的深入认识，这既有利于问题的解决又培养了学生的反思能力。反之如果不进行及时的处理就丧失了一个很好的机会。探究教学花费时间较多，有时难以完成既定的教学任务，怎么办？课堂需要事先精心预设：每一个问题学生的回答会是什么？会遇到怎样的困难？教师又应如何应对？但课堂同时又是一个动态生成的过程，再精心的预设也无法预知整个课堂的全部细节。实际的课堂教学中，尤其是探究学习的课堂上，出现事先没有预设的情形是正常的，这时就需要我们老师的应对和调控，如果学生的讨论已经偏离本节课的教学主题，教师应及时地将学生的思维引回，以免造成教学时间的浪费，但如果学生的讨论或出现的问题和本节课的主题吻合，并有利于学生对学习内容的深刻认识和理解，这时教师完全可以不要拘泥于课前的设计，巧妙利用意外的“生成”，这种“生成”的课堂或许会更精彩！如在一节习题课上，教师的课前设计是讲解书本上的几道习题，其中一题为：一个零件的形状如图，按规定A应等于90、B、D应分别是20和30，李叔叔量得 BCD=142，就断定这个零件不合格，你能说出道理吗？教师的解法是：延长DC交AB于E，利用三角形内角和定理，求出DCB的度数。因为需要