附录 线性对称方程组原位替换解算与平差应用实例.doc

附录 线性对称方程组原位替换解算与平差应用实例
第一节 正定矩阵三角分解法
◆授课目的要求: 明确三角分解法解线性方程组的基本原理，掌握在线性方程组解算的紧凑格式中解线性方程组未知数及其函数的方法。
◆重 点、难 点: 在线性方程组解算的紧凑格式中解线性方程组未知数及其函数。
◆讲授内容纲要：
提出问题：线性正定矩阵方程解算包括哪几种方法？各有何利弊？
一、正定矩阵的三角分解
设线性方程组中的系数阵为正定矩阵，即：
（1）

将N分解为下三角阵L与其转置矩阵的乘积，即
（2）

式中
（3）

分解式又可表示为：
（4）

用比较法可得：
（5）

当i=1时，有
（6）

顾及（6）式对（5）式归纳整理可得
(7)

其中
(8)
二、求线性对称方程组中的未知数
设线性对称方程组为：
或 (9)

其中N 阵正定
(10)

(11)

将（2）式代入（9）式得：
(12)

令
(13)

(14)

则有
(15)

将（3）式、（14）式和（11）式代入（15）式，并用比较法可解得
（i=1，2，…，t） (16)

顾及（6）式、（7）式和（8）式对（16）式归纳整理得
（i=1，2，…，t） (17)

其中
(18)

将（3）式、（14）式和（10）式代入（13）式，并用比较法得：
(19)

顾及（7）式、（17）式和（18）式对（19）式归纳整理可得：
(20)

当 i=t 时有
(21)

三、求线性对称方程组中未知数的函数
设线性对称方程组中未知数的函数为

(22)
将（21）式和（20）式依次代入上式并归纳整理得：

(23)

其中

(24)

当（22）式中 fi= ui (i=1,2,...,t) 时，又可得：

(25)
四、线性对称方程组中未知数及其函数解的紧凑格式

利用（21）式和（20）式可求得线性对称方程组中的未知数，利用（23）式和（25）式可求得线性对称方程组中的未知数函数值，这些计算均可在“紧凑格式”表1中进行。
表1 线性对称方程组解算的紧凑格式
1 2 … t

当时，表1中所在的行可以略去。若未知数的函数不只一个，则每增加一个函数在表1中增加一行，填入相应和的值，按计算F的方法计算即可。
算例 已知线性方程组

未知数函数式为：

按线性方程组解算的“紧凑格式”求xi(i=1,2,3,4)和F之值。
用课件演示动态解算过程，给出解算结果。
小结：本节按矩阵三角分解的基本原理推导了线性正定矩阵方程的原位替换快速解算方法，其特点是解省计算用内存，减少运算次数，可提高解算效率。

第二节 正定矩阵三角分解求逆法(原位替换求逆法)
◆授课目的要求: 明确三角分解法求矩阵行列式和逆矩阵的基本原理，掌握在紧凑格式中求行列式和逆矩阵的方法。
◆重 点、难 点: 在紧凑格式中求行列式和逆矩阵的方法。
◆讲授内容纲要：
提出问题：矩阵求逆包括哪几种方法？各有何利弊？
经典矩阵求逆法回顾
一.正定矩阵三角分解求逆法概述
二.求矩阵N的分解下三角阵L的逆阵
设
(1)
(2)

由 LC=I（单位阵），即
(3)

用比较法可得L阵的逆阵C的全部元素，即
(4)

将
代入（4）式得：
(5)

三.利用分解下三角阵L的逆阵C求N的逆阵

对（1）式求逆可得：

设

用比较法可得计算Q阵中下三角诸元素的公式，即
(6)

1.求分解下三角矩阵L的逆阵C的紧凑格式
利用约化系数,可在“紧凑格式”表3中求得L阵的逆阵C。
表3 求L 阵逆阵C的紧凑格式

2.利用下三角阵L的逆阵C计算N的逆阵Q的紧凑格式
利用C阵的元素可在紧凑格式表4中求得矩阵Q的下三角诸元素
表4 求Q 阵下三角元素的紧凑格式

五.算例
求线性方程组系数阵的逆阵（同第一节例题，用课件演示动态解算过程，给出解算结果。）
课堂练习
设线性对称方程组的系数矩阵为：

解方程过程中已求出约化系数阵为

试求方程组系数阵的逆阵Q。
小结：矩阵求逆分三步进行：第一步求约化系数，第二步求下三角阵的逆阵，第三步求原矩阵的逆阵。每一步计算均采用原位替换求解法，即将矩阵中不同位置的元素表达为相应位置的位置函数值，每一步计算是用新的位置函数值替换相应位置的原有位置函数值，最终将原矩阵中各位置的元素替换为其逆矩阵中相应位置的元素。求逆公式简单，利于编程，节省所需内存空间。
此矩阵求逆方法可用于法方程解算，各种协因数阵的计算，方差分量估计，测量数据的统计假设检验，粗差探测，可靠性估计等测绘数据处理和精度估计之中。

第三节 条件平差应用实例
◆授课目的要求: 熟悉条件平差的计算表格，掌握条件平差计算表格的使用方法
◆重 点、难 点: 条件平差计算表格的使用方法。
◆讲授内容纲要：
有关条件平差公式复习
一、 条件平差的计算表格及其使用
二、
已知条件平差的函数模型为：

式中

为评定平差问题中某量的精度，所列立的权函数式为：

式中

依据上述有关数据可编制条件方程及权函数系数表见表1

条件方程及权函数系数表 表1

观测序号

ai

bi

…
ri

fi

1/pi

vi

1

a1
b1
...

r1
f1
1/p1

v1

2

a2

b2

...

r2
f2

1/p2

v2

┆

┆

┆

┆

┆

┆

┆

┆

n

an
bn

...

rn
fn

1/pn

vn

椐表1中的数据，便可计算法方程 NK+W=0（转换系数方程Naaq+fe=0）的系数nji和转换系数方程中的常数项 fei , 以及平差值函数的权倒数计算式
中的
将上述计算结果填写在编制好的法方程（转换系数方程）及其函数解算表2中（每计算一个填写一个，依次计算填写）。

观测序号

ai
bi
...

ri
fi

1/pi

vi

1

a1
b1
...

r1
f1

1/p1

v1

2

a2
b2
...

r2
f2

1/p2

v2

┆

┆

┆

┆

┆

┆

┆

┆

n

an
bn
...

rn
fn

1/pn
vn
法方程未知数及其函数解算表 表2

表中后两行分别是函数

中未知数Ki和qi(i=a,b,…,r)的系数及函数式中的常数项。
上表填写完毕后，即可在表2中求解Ki(i=a,b,…,r)、-VTPV及，计算结果填于表2中相应元素的右边如表3所示。

法方程及其函数解算表 表3

求得联系数 Ki(i=a,b,...,r) 后按

在表1中求改正数vi , 按求得，并按公式
，
求得单位权中误差和平差值函数的中误差。

二、算例
如下图所示水准网，已知A点的高程为：，观测高差及路线长度如图中所示。试按条件平差法求未知点高程平差值及最弱点高程平差值的中误差

按条件平差节算方法和计算表格进行解算（用课件讲解，按解算步骤将计算结果填入相应计算表格）。
小结：平差计算完全可在表格中进行，计算格式清晰，计算规律性强。

第四节 间接平差应用实例

◆授课目的要求: 熟悉间接平差的计算表格，掌握条件平差计算表格的使用方法
◆重 点、难 点: 间接平差计算表格的使用方法。
◆讲授内容纲要：
有关间接平差公式复习
一、间接平差的计算表格及其使用
已知间接平差的函数模型为：

式中

为评定平差问题中某量的精度，所列立的权函数式为：

式中

依据上述有关数据可编制误差方程系数及常数项表，见表4

观测序号
ai
bi
...
ti
-li
pi
vi
1
a1
b1
…
t1
-l1
p1

2
a2
b2
…
t2
-l2
p2

┆
┆
┆
…
┆
┆
┆

n
an
bn
…
tn
-ln
pn

误差方程系数及常数项表 表4

据表中的数据，便可计算法方程，转换系数方程 NBBq–F=0 的系数阵中的 nji 和常数项 -wi，以及计算式()中的
将上述计算结果填写在编制好的法方程（转换系数方程）及其函数(VTPV，-) 解算表中(每计算一个填写一个，依次计算填写)
法方程未知数及其函数计算表 表5

表中后两行既分别是法方程和转换系数方程的常数项，又分别是函数

中未知数和qi(i=1,2,…,t)的系数。
上表填写完毕后，即可在表5中计算、VTPV 和。结果填于表5中相应元素的右边，如表6所示.
表6 法方程未知数及其函数解算表

求得未知数近似值向量的改正数向量后，按求未知数平差值向量，代入误差方程可求得改正数向量V，V的计算可在表4中进行()，
按可求得，按公式，可求得单位权中误差和平差值函数的中误差。
若要求未知数平差值协因数阵，则由，计算，再计算，计算表格为表7和表8。

求L阵逆矩阵C的诸元素用表 表7

表中为解法方程过程中求得的约化系数，为求得的L阵逆阵C中的诸元素。

求阵下三角部分诸元素用表 表8

表中为下三角阵L的逆阵C中的诸元素，为阵下三角部分的诸元素。
二、算例
如下图所示水准网，已知A点的高程为：HA=124.385m，观测高差及路线长度如图中所示。试按参数平差法求未知点高程平差值及其中误差。

按间接平差节算方法和计算表格进行解算（用课件讲解，按解算步骤将计算结果填入相应计算表格）。
小结：平差计算完全可在表格中进行，计算格式清晰，计算规律性强。