24第四节-割线法上课讲义.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,数学学院 信息与计算科学系,第四节 割线法,1,、,简化牛顿迭代法,此式称为,简化牛顿迭代公式,。,只要,M,选择得当,，,上式总是线性收敛的。,在牛顿迭代公式中用一,常数,M,代替,得,用常数,M,来代替,f,(,x,k,),虽然简单，但没充分,利用,f,(,x,),本身的特性,，,因此收敛较慢。,若在牛顿迭代公式中改用差商,代替导数,f,(,x,k,),，,得迭代公式,2,、,割线（弦截）法,每步用两个点，此格式为,双点割线法或记忆割线法,。,可以证明它的收敛阶为,确实比式,收敛快。,将式,每步只用一新点，此格式为,单点割线法。,两种方法都需要两个初始值才能启动。,中的,x,k,-1,改为,x,0,，,即,3,、割线法的几何意义,双点割线法是用过点 和 两点的割线与,x,轴交点的横坐标 作为 的新近似值。重复此过程，用过点 和,的两点的割线与,x,轴交点的横坐标,来作为 的下一新的近似值。,如图表,2-5,图,2-5,图,2-6,单点迭代法则是用过点 和,的两点的割线与,x,轴交点的横坐标 来作为,的近似值，如图,2-6,。,4,、割线法收敛的速度,定理,这说明它是超线性收敛的,(,p,=1.6181),。而单点割线法在单根附近是线性收敛的。,设 的根为 。若 在 附近有连续的二阶导数，而初值,充分接近 ，则双点割线法的迭代过程收敛，收敛速度为,用牛顿迭代法和割线法求方程,f,(,x,)=,x,4,+2,x,2,x,3=0,在区间,（,1,1.5,）,内之根（误差为,10,-9,）。,取,x,0,=1.5,用牛顿法,可得,x,6,=1.12412303030,；,而采用单点割线法，则迭代,18,次得,x,18,=1.124123029.,例,3,解,取,x,0,=1.5,x,1,=1,用双点割线法,迭代,6,次得到同样,的结果，,