数学解题真经(六)对“连续化简”和“二导一式”的剖析.doc

对“连续化简”和“二导一式”的剖析---杨飞
一、“连续化简”的实质是形变化归
唐以荣在《中学数学综合题解题规律讲义》中提出：解题的根本要求是“连续化简”。他说：“在符合逻辑的前提下，连续地把原题转化为比较易证的题目，一直到所得到的新题目已成为一项基础知识为止，这种连续化简是解每个题目的正确思考过程的共性，是不可避免的规律。”
对于“连续化简”这4个字，通常理解为：把复杂的问题简单化，主要指形式简单化。事实上这又不很恰当，因为并不是每一个数学综合题的解答都要求从形式上化简。且看
例1 若a、b、c为非负数，证明：
≥+b+c。（1997年全苏十年级数学竞赛题）
证明 若，结论显然成立.
当，令，，
则，原不等式化为

即证成立 ①
因①式右边

②
由①②可知命题成立。（此题证法较多，留与读者思考）
从上述解答过程来看，此题在形式上不但没有化简，相反是化繁。
唐老师认为，“连续化简把原题转化为比较易证的题目，一直到所得到的新题目已成为一项基础知识为止。”其实，对于“比较易证的题目”，我们应该理解为“针对个人的熟悉结构而言为比较易证的题目”较为恰当，例1用三角变换化代数不等式为三角不等式①，①式就是“易证的题目”吗？如果熟悉结构中缺乏三角解题经验，①式也许是更难解决的问题。至于“得到一个新题目是可能的”，但要“成为一项基础知识”谈何容易。因为许多复杂的问题很难转化为“一项基础知识”，一般只能转化到“与我们认知结构中的某项知识经验（尤其是熟悉结构）取得联系”。
对于“繁”“简”，不能仅从形式看，也不能仅从内容上理解，同一问题给不同的人的感受绝不相同，这与每个人的认知结构有关。解决数学问题的根本原则不是化简，而是化归，化归与化简不同，化归就是对问题信息进行加工使之与我们的认知结构相联系，化陌生为熟悉。这才是解题规律。
尽管“化简”一词不很准确，但唐老师所说的“化简”，我们绝不能单从字面上理解，因为唐老师又这样写道：“连续化简的道路是曲折的，只要我们全面的、辩证的理解连续化简，就可以引出结论，解题的根本要求是连续化简。”可见，唐老师已知“化简”容易曲解，要求我们一定要“辩证理解”。其实，这里的“化简”就是形变化归。

二、“二导一式”的核心是题变化归
《中学数学综合题解题规律讲义》的精华是“二导一式”，此见解发前人之未发，西南师范大学严栋开教授对此大为称赞，此方法的重要性就显而易见了。简介如下：
二导一式顺推法：指思考过程的多数环节的形式是的解题方法。
即由Ａ与Ｂ可以引出共同的结论Ｃ。其中“二导一式”的“二”系泛指，允许是“三”、“四”或“一”。
例2 中，已知，求的最大的角。
由于条件信息都是三角形边的关系式，而结论信息是确定三角形的内角大小，综合条件信息和结论信息并结合认知经验可以发现：通过正、余弦定理可以建立边与角的关系。继而找到解题思路：求出cosA、cosB、cosC的值。又综合认知结构中 “大边对大角”这一经验，找到解答的最优策略：首先比较a、b、c的大小，可以缩短解题步骤。
解 由题意知：，
从而解出 ,＞0.
可知，于是＞0.
所以为最大角。
又。
则.
此题解答的每一环节毫无半点化简之意，步步紧依我们认知结构中的知识经验（大边对大角，正、余弦定理），一切思路的产生都是综合加工信息的结果。二导一式的目的就是要产生新信息，产生与认知结构既熟悉又相联系的新信息。
二导一式逆推法：思考过程中的多数环节的形式是：应先证Ｃ的解题方法。
即，只要先证明了Ｃ，它与已知Ｂ的共同结论就是要证明的Ａ。其中“二导一式”的“二”是泛指，允许Ｂ是一项或几项已知条件。
例3 已知，，求证：.
证明 由已知，可得
2 ①
要证结论，只需先证 ②
③
即证成立（这是已知条件，从而得证）. ④
此题的条件信息是两个关于x、y、z的一次分式，而结论信息是关于x、y、z的二次分式，通过对条件信息和结论信息的综合加工，就产生了平方这一思路（得到①式），继而得到②③以至④. 可见，综合加工信息不但为我们提供了信息①②③④，而且也为我们提供了解题思路。
综上所述，无论是顺推法还是逆推法，都是加工处理一项或几项信息从而得到一项新信息的方法，顺推法是综合条件信息引出新信息；逆推法是综合条件和结论信息引出一个新问题。所以说“二导一式”的核心内容就是题变化归。