反三角函数的概念和性质.doc

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反三角函数的概念和性质
一．基本知识：
1．正确理解反三角函数的定义，把握三角函数与反三角函数的之间的反函数关系；
2．掌握反三角函数的定义域和值域，y＝arcsinx, x∈[－1, 1], y∈[－，], y＝arccosx, x∈[－1, 1], y∈[0, π], 在反三角函数中，定义域和值域的作用更为明显，在研究问题时，一定要先看清楚变量的取值范围；
3．符号arcsinx可以理解为[－，]上的一个角或弧，也可以理解为区间[－，]上的一个实数；同样符号arccosx可以理解为[0，π]上的一个角或弧，也可以理解为区间[0，π]上的一个实数；
4．y＝arcsinx等价于siny＝x, y∈[－，], y＝arccosx等价于cosy＝x, x∈[0, π], 这两个等价关系是解反三角函数问题的主要依据；
5．注意恒等式sin(arcsinx)＝x, x∈[－1, 1] , cos(arccosx)＝x, x∈[－1, 1], arcsin(sinx)＝x, x∈[－，], arccos(cosx)＝x, x∈[0, π]的运用的条件；
6．掌握反三角函数的奇偶性、增减性的判断，大多数情况下，可以与相应的三角函数的图象及性质结合起来理解和应用；
7．注意恒等式arcsinx＋arccosx＝, arctgx＋arcctgx＝的应用。
例一．下列各式中成立的是（C）。
（A）arcctg(－1)＝－　　　　 （B）arccos(－)＝－
（C）sin[arcsin(－)]＝－　　 （D）arctg(tgπ)＝π
解：(A)(B)中都是值域出现了问题，即arcctg(－1)∈(0, π), arccos(－)∈[0, π],
(D)中，arctg(tgπ)∈[－, ], 而π[－，], ∴ (A)(B)(D)都不正确。
例二．下列函数中，存在反函数的是（D）。
（A）y＝sinx, x∈[－π, 0]　 （B）y＝sinx, x∈[, ]
（C）y＝sinx, x∈[,] （D）y＝sinx, x∈[,]
解：本题是判断函数y＝sinx在哪个区间上是单调函数，由于y＝sinx在区间[,]上是单调递减函数， 所以选D。
例三． arcsin(sin10)等于（C）。
（A）2π－10 （B）10－2π （C）3π－10 （D）10－3π
解：本题是判断哪个角度的正弦值与sin10相等，且该角度在[－, ]上。
由于sin(3π－10)＝sin(π－10)＝sin10, 且3π－10∈[－, ], 所以选C。
例四．求出下列函数的反函数，并求其定义域和值域。
（1）f (x)＝2sin2x, x∈[, ];（2）f (x)＝＋arccos2x.
解：(1) x∈[, ], 2x∈[, ], 2x－π∈[－, ], －2≤y≤2
由y＝2sin2x, 得sin2x＝, sin(2x－π)＝－sin2x＝－, ∴ 2x－π＝arcsin(－),
∴ x＝－arcsin, ∴ f －1(x)＝－arcsin, －2≤x≤2, y∈[, ].
(2) f (x)＝＋arccos2x, x∈[－, ], y∈[,],
∴ arccos2x＝y－, 2x＝cos(y－), x＝cos(y－)＝siny,
∴f －1(x)＝sinx , x∈[,], y∈[－, ].
例五．求下列函数的定义域和值域：
(1) y＝arccos; (2) y＝arcsin(－x2＋x); (3) y＝arcctg(2x－1),
解：(1) y＝arccos, 0<≤1, ∴ x≥1, y∈[0, ).
(2) y＝arcsin(－x2＋x), －1≤－x2＋x≤1, ∴ ≤x≤,
由于－x2＋1＝－(x－)2＋, ∴ －1≤－x2＋x≤, ∴ －≤y≤arcsin.
(3) y＝arcctg(2x－1), 由于2x－1>－1, ∴ 0< arcctg(2x－1)<, ∴ x∈R, y∈(0, ).
例六．求下列函数的值域：
(1) y＝arccos(sinx), x∈(－, ); (2) y＝arcsinx＋arctgx.
解：(1) ∵x∈(－, ), ∴ sinx∈(－, 1], ∴ y∈[0, ).
(2) ∵y＝arcsinx＋arctgx., x∈[－1, 1], 且arcsinx与arctgx都是增函数,
∴ －≤arcsinx≤, －≤arctgx≤, ∴ y∈[－,].
例七．判断下列函数的奇偶性：
(1) f (x)＝xarcsin(sinx); (2) f (x)＝－arcctgx.
解：(1) f (x)的定义域是R， f (－x)＝(－x)arcsin[sin(－x)]＝xarcsin(sinx)＝f (x),
　 ∴ f (x)是偶函数;
(2) f (x)的定义域是R,
f (－x)＝－arcctg(－x)＝－(π－arcctgx)＝arcctgx－＝－f (－x),
∴ f (x)是奇函数.
例八．作函数y＝arcsin(sinx), x∈[－π, π]的图象.
解：y＝arcsin(sinx), x∈[－π, π], 得, 图象略。
例九．比较arcsin, arctg, arccos(－)的大小。
解：arcsin<, arctg<, arccos(－)>, ∴arccos(－)最大,
设arcsin＝α，sinα＝, 设arctg＝β, tgβ＝, ∴ sinβ＝<sinα, ∴ β<α,
∴ arctg< arcsin< arccos(－).
例十．解不等式：(1) arcsinx<arccosx; (2) 3arcsinx－arccosx>.
解：(1) x∈[－1, 1], 当x＝时, arcsinx＝arccosx, 又arcsinx是增函数,arccosx是减函数，
∴ 当x∈[－1, )时, arcsinx<arccosx.
(2) ∵ arccosx＝－arcsinx, ∴ 原式化简得4arcsinx>, ∴ arcsinx>＝arcsin,
∵ arcsinx是增函数, ∴ <x≤1.
二．基础知识自测题：
1．函数y＝arcsinx的定义域是 [－1, 1]　 ，值域是.
2．函数y＝arccosx的定义域是 [－1, 1] ，值域是 [0, π] .
3．函数y＝arctgx的定义域是 R ，值域是.
4．函数y＝arcctgx的定义域是 R ，值域是 (0, π) .
5．arcsin(－)＝; arccos(－)＝; arctg(－1)＝; arcctg(－)＝.
6．sin(arccos)＝; ctg[arcsin(－)]＝; tg(arctg)＝; cos(arcctg)＝.
7．若cosx＝－, x∈(, π)，则x＝.
8．若sinx＝－, x∈(－, 0)，则x＝.
9．若3ctgx＋1＝0, x∈(0, π)，则x＝.

三．基本技能训练题：
1．下列关系式总成立的是（B）。
（A）π－arccosx>0 （B）π－arcctgx>0 （C）arcsinx－≥0 （D）arctgx－>0
2．定义在(－∞, ∞)上的减函数是（D）。
（A）y＝arcsinx （B）y＝arccosx （C）y＝arctgx （D）y＝arcctgx
3．不等式arcsinx>－的解集是.　 4．不等式arccosx>的解集是.

四．试题精选：
(一) 选择题：
1．cos(arccos)的值是（D）。
（A）　 （B）　 （C）cos　 （D）不存在
2．已知arcsinx>1，那么x的范围是（C）。
（A）sin1<x<　 （B）sinx<x≤　 （C）sin1<x≤1　 （D）
3．已知y＝arcsinx·arctg|x| (－1≤x≤1)， 那么这个函数（A）。
（A）是奇函数 （B）是偶函数 （C）既是奇函数又是偶函数 （D）非奇非偶函数
4．若a＝arcsin(－), b＝arcctg(－), c＝arccos(－)，则a, b, c的大小关系是（B）。
（A）a<b<c　 （B）a<c<b　 （C）c<a<b　 （D）c<b<a
5．已知tgx＝－, x∈(, π)，则x＝（C）。
（A）＋arctg(－)（B）π－arctg(－)（C）π＋arctg(－)（D）
6．函数f (x)＝2arccos(x－2)的反函数是（D）。
（A）y＝(cosx－2) (0≤x≤π)　 （B）y＝ cos(x－2) (0≤x≤2π)
（C）y＝ cos(＋2) (0≤x≤π)　 （D）y＝ cos＋2 (0≤x≤2π)
7．若arccosx≥1，则x的取值范围是（D）。
（A）[－1, 1]　 （B）[－1, 0]　 （C）[0, 1]　 （D）[－1, arccos1]
8．函数y＝arccos(sinx) (－<x<)的值域是（B）。
（A）(, )　 （B）[0, ]　 （C）(, )　 （D）[,]
9．已知x∈[－1, 0]，则下列等式成立的是（B）。
（A）arcsin＝arccosx　 （B）arcsin＝π－arccosx
（C）arccos＝arcsinx　 （D）arccos＝π－arcsinx
10．直线2x＋y＋3＝0的倾斜角等于（C）。
（A）arctg2　 （B）arctg(－2)　 （C）π－arctg2　 （D）π－arctg(－2)
(二) 填空题：
11．若cosα＝－ (<α<π)，则α＝. (用反余弦表示)
12．函数y＝(arcsinx)2＋2arcsinx－1的最小值是 －2 .
13．函数y＝2sin2x (x∈[－, ])的反函数是.
14．函数y＝arcsin的定义域是 x≤1或x≥3 ，值域是
15．用反正切表示直线ax－y＋a＝0 (a≠0)的倾斜角为α＝

(三) 解答题：
16．求下列函数的反函数：
(1) y＝3cos2x, x∈[－, 0]; (2) y＝π＋arccosx2 (0<x≤1).
解：(1) x∈[－, 0], ∴ 2x∈[－π, 0], 函数y＝3cos2x在定义域内是单值函数.
且－3≤y≤3. ∴ π＋2x∈[0, π], y＝3cos2x＝－3cos(π＋2x), cos(π＋2x)＝－,
∴ π＋2x＝arccos, ∴x＝arccos－,
∴y＝3cos2x, x∈[－, 0]的反函数是y＝arccos－, －3≤x≤3.
(2) ∵0<x≤1, π≤y<, ∴ arccosx2＝y－π, x2＝cos(y－π), x＝,
∴ 原函数的反函数是y＝, π≤x<.
17．求函数y＝(arccosx)2－3arccosx的最值及相应的x的值。
解：函数y＝(arccosx)2－3arccosx, x∈[－1, 1], arccosx∈[0, π]
设arccosx＝t, 0≤t≤π, ∴ y＝t2－3t＝(t－)2－,
∴ 当t＝时,即x＝cos时, 函数取得最小值－，
当t＝π时,即x＝－1时，函数取得最大值π2－3π.
18．若f (arccosx)＝x2＋4x, 求f (x)的最值及相应的x的值。
解：设arccosx＝t, t∈[0, π], x＝cost, 代入得f (t)＝cos2t＋4cost,
∴ f (x)＝cos2x＋4cosx, x∈[0, π], cosx∈[－1, 1],　 f (x)＝(cosx＋2)2－4,
∴ 当cosx＝－1时,即x＝π时，函数取得最小值－3.
当cosx＝1时,即x＝0时，函数取得最大值5.
19．(1)求函数y＝arccos(x2－2x)的单调递减区间; (2)求函数arctg(x2－2x)的单调递增区间。
解：(1) 函数y＝arccosu, u∈[－1, 1]是减函数，
∴ －1≤x2－2x≤1,1－≤x≤1＋, 又x2－2x＝(x－1)2＋1,
∴ 1≤x≤1＋时, u＝x2－2x为增函数，根据复合函数的概念知此时原函数为减函数。
(2) 函数y＝arctgu增函数, u∈R, 又x2－2x＝(x－1)2＋1,
∴ 当x≥1时，原函数是增函数。
20．在曲线y＝5sin(arccos)上求一个点，使它到直线x＋y－10＝0的距离最远，并求出这个最远距离
解：设arccos＝α, －3≤x≤3, cosα＝,
　 y＝5sinα＝5,
∴ 25x2＋9y2＝225, －3≤x≤3, 0≤y≤5, 即在上半个椭圆上求一个点，使它到直线的距离最远。从图形上可以看出，当点在椭圆左端时，即P(－3, 0)时满足条件，此时最远距离是.
三角函数和反三角函数
一、三角函数
1．图像和性质：
（1）画出正弦函数的图像并写出它的定义域、值域、单调区间、周期、奇偶性、对称性和对称中心；

（2）画出余弦函数的图像并写出它的定义域、值域、单调区间、周期、奇偶性、对称性和对称中心；

（3）画出正切函数的图像并写出它的定义域、值域、单调区间、周期、奇偶性、对称性和对称中心；

2．函数
（1）写出它的振幅、周期、频率和初相；

（2）描述五点作图法的步骤；

（3）写出对于的图像，如何通过平移、伸缩等变化得到；

（4）写出对于的图像，如何通过平移、伸缩等变化得到．

3．例题解析：
1．设分别是函数，
的最小正周期，则有（ ）
A． B．
C． D．

2．函数的图象可由的图象经下面变换得到（     ）
A． 先纵坐标不变，横坐标变为原来的，再向右平移个单位；
B． 先纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再向左平移个单位；
C． 先纵坐标不变，横坐标变为原来的，再向右平移个单位；        
D． 先纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再向左平移个单位．

3．是正实数，函数在上是增函数，那么（ ）
A． B． C． D．

4．函数的值域是（ ）
A． B． C． D．

5．函数的值域是（ ）
A． B．
C． D．

6．求函数的定义域和值域．

7．已知函数的图像有一条对称轴的方程为，求的值．

8．已知是方程的两根，若，则
（ ）
A． B．或 C．或 D．

9．求斜边长为1的直角三角形内切圆半径的最大值．

10．定义：若对任意，函数恒有成立，则称函数在内为“上凸函数”．已知“上凸函数”有如下性质成立：对任意的必有成立．
（1）求证：在内是“上凸函数”；
（2）在外接圆半径为的中，求周长的最大值．
二、反三角函数
1．图像和性质：
（1）指出原函数和反函数的转化和相互关系，研究反函数存在的条件，写出原函数与反函数有哪些共通的性质．

（2）画出反正弦函数的图像，并写出它的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性；

（3）画出反余弦函数的图像，并写出它的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性；

（4）画出反正切函数的图像，并写出它的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性；

2．反三角恒等式：
（这两个式子成立需要什么条件？）
（这两个式子成立需要什么条件？）
（这两个式子成立需要什么条件？）
3．三角方程：
（1）写出的通解形式；

（2）写出的通解形式；

（3）写出的通解形式．

4．例题解析：
11．给出四个命题：①函数和都是周期函数；②函数和都是偶函数；③函数和的定义域都是；④函数和都是定义域上的减函数，其中正确命题的个数是（ ）
A． 0 B． 1 C． 2 D． 3
12．设，则在[]内，使的x的范围是（ ）
A． [] B．
C． D．

13．若，则x的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．

14．已知，若，求

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