分布傅里叶PPT课件.ppt

M.Zhang 超快激光器腔内动力学模型超快激光器腔内动力学模型 Dynamics,modelling and simulation of ultrafast lasers 张梦张梦BUAAM.Zhang1 傅里叶变换（复习）傅里叶变换（复习）(Fourier Transform)2 分布傅里叶法分布傅里叶法 (Split-step Fourier Method,SSFM)3 超快激光腔内数值分析方法超快激光腔内数值分析方法 (Numerical Solutions of ultrafast lasers)BUAAM.Zhang1 傅里叶变换傅里叶变换（复习）（复习）(Fourier Transform)BUAAM.Zhang1.1 变换域分析变换域分析(Transform-Domain Analysis)BUAAM.Zhang1.傅里叶傅里叶傅里叶是一首数学的诗，黑格尔是一首辩证法的诗。傅里叶是一首数学的诗，黑格尔是一首辩证法的诗。恩格斯恩格斯Jean Baptiste Joseph Fourier，17681830法国数学家，物理学家。法国数学家，物理学家。n热的解析理论热的解析理论：记载着傅里叶级数与傅里叶积分的诞生，公认：记载着傅里叶级数与傅里叶积分的诞生，公认为数学史，乃至科学史上一部划时代的经典著作。为数学史，乃至科学史上一部划时代的经典著作。n 傅里叶变换在物理学、声学、光学、结构动力学、数论、组合数傅里叶变换在物理学、声学、光学、结构动力学、数论、组合数学、概率论、统计学、信号处理、密码学、海洋学、通讯等领域都有学、概率论、统计学、信号处理、密码学、海洋学、通讯等领域都有着广泛的应用（着广泛的应用（wikiwiki），这是傅里叶本人及其同时代人都难以预料到），这是傅里叶本人及其同时代人都难以预料到的！的！BUAAM.Zhang“周期信号都可表示为谐波关系的正弦信号的加权和周期信号都可表示为谐波关系的正弦信号的加权和”傅里叶的第一个主要论点傅里叶的第一个主要论点2.傅里叶的两个最主要的贡献傅里叶的两个最主要的贡献“非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示”傅里叶的第二个主要论点傅里叶的第二个主要论点BUAAM.Zhang3.时域时域 vs.变换域变换域 什么是变换？什么是变换？通过提取信号特征进行信号分析的一种工具通过提取信号特征进行信号分析的一种工具(数学工具数学工具)。简言之，一种特征简言之，一种特征 另一种特征另一种特征傅里叶变换傅里叶变换时间域时间域(时域时域)特征特征 频率域频率域(频域频域)特征特征傅里叶变换简单通俗理解就是把看似杂乱无章的信号考虑成由一定傅里叶变换简单通俗理解就是把看似杂乱无章的信号考虑成由一定振幅、相位、频率的基本正弦（余弦）信号组合而成。振幅、相位、频率的基本正弦（余弦）信号组合而成。BUAAM.Zhang4.本章内容与重点本章内容与重点 本节的思路本节的思路傅里叶级数傅里叶级数 傅里叶变换傅里叶变换 卷积定理卷积定理 抽样定理抽样定理本节的重点本节的重点v 傅里叶变换的性质与应用傅里叶变换的性质与应用v 卷积定理卷积定理v 抽样定理抽样定理BUAAM.Zhang1.2 周期信号的傅里叶级数分析周期信号的傅里叶级数分析 Fourier Series Representation of Periodic SignalsBUAAM.Zhang1.傅里叶级数傅里叶级数(Fourier Series)三角函数式的傅里叶级数：周期信号可展开成正交函数线性组合的无穷级数。周期信号可展开成正交函数线性组合的无穷级数。复指数函数式的傅里叶级数：正交性正交性函数内积函数内积/点积点积BUAAM.Zhang2.三角函数式的傅里叶级数三角函数式的傅里叶级数周期信号周期信号 f(t)，周期，周期 T1，角频率，角频率直流分量：直流分量：余弦分量幅度：余弦分量幅度：正弦分量幅度：正弦分量幅度：直流分量直流分量The DC Components基波分量基波分量(n=1)the fundamental componentsthe 1st harmonic components谐波分量谐波分量(n1)The nth harmonic components利利用用正正交交性性求求解解BUAAM.Zhang3.狄利克雷条件狄利克雷条件(The Dirichlet Conditions)(1)在一个周期内只有有限个在一个周期内只有有限个间断点间断点；(2)在一个周期内只有有限个在一个周期内只有有限个极值点极值点；(3)在一个周期内绝对可积，即；在一个周期内绝对可积，即；并不是任意周期信号都能做傅里叶级数展开，并不是任意周期信号都能做傅里叶级数展开，须满足上述狄利克雷条件（一般均满足）。须满足上述狄利克雷条件（一般均满足）。BUAAM.Zhang4.周期信号的频谱周期信号的频谱(Spectrum)(Spectrum)*各分量的幅度各分量的幅度 以及相位以及相位 都是都是 的函数。的函数。幅度频谱（幅度谱）幅度频谱（幅度谱）相位频谱（相位谱）相位频谱（相位谱）这种图形清晰地显示了周期信号的频域特性，这种图形清晰地显示了周期信号的频域特性，从频域角度反映了该信号携带的全部信息。从频域角度反映了该信号携带的全部信息。BUAAM.Zhang幅度谱幅度谱相位谱相位谱BUAAM.Zhang5.周期信号的频谱特性周期信号的频谱特性*(1)离散性离散性(2)谐波性（整数倍）谐波性（整数倍）(3)收敛性（幅度谱）收敛性（幅度谱）一般随一般随 总是趋于零总是趋于零谱线沿频率轴呈离散分布谱线沿频率轴呈离散分布只含有基波频率整数倍的谐波成分只含有基波频率整数倍的谐波成分BUAAM.Zhang6.复指数形式的傅里叶级数复指数形式的傅里叶级数n 复指数正交函数集：复指数正交函数集：n 级数形式：级数形式：n 系数：系数：（利用复指数函数的正交特性）（利用复指数函数的正交特性）（周期信号可以由复指数信号（周期信号可以由复指数信号 加权叠加而成）加权叠加而成）BUAAM.Zhang6.复指数形式的傅里叶级数复指数形式的傅里叶级数(1)(2)n周期信号可分解为周期信号可分解为 区间上的复指数信号区间上的复指数信号的线性组合。的线性组合。n如果给出如果给出 ，则，则 唯一确定；反之依然。唯一确定；反之依然。(1)和和(2)可称为一对变换对。可称为一对变换对。BUAAM.Zhang6.复指数形式的傅里叶级数复指数形式的傅里叶级数（为正整数）为正整数）欧拉欧拉公式公式BUAAM.Zhang7.Fn 与其他系数的关系与其他系数的关系仍是仍是 对应的对应的直流项不变直流项不变“幅度幅度”减半减半BUAAM.Zhang8.周期复指数信号的频谱周期复指数信号的频谱*复数幅度谱复数幅度谱复数相位谱复数相位谱关于关于 的偶函数的偶函数（实际（实际n只取正值）只取正值）关于关于 的奇函数的奇函数（实际（实际n只取正值）只取正值）关于关于 的偶函数的偶函数关于关于 的奇函数的奇函数BUAAM.Zhang复数幅度谱复数幅度谱复数相位谱复数相位谱与幅度谱相位谱比较与幅度谱相位谱比较BUAAM.Zhang9.周期复指数信号的频谱特性周期复指数信号的频谱特性*(2)出现了负频率分量出现了负频率分量 F-n，没有物理意义，只是方便运算。，没有物理意义，只是方便运算。(1)cn 是实函数，是实函数，Fn 一般是复函数一般是复函数(数学变换的结果数学变换的结果)。(3)当当 Fn 是实函数时，可用是实函数时，可用 Fn 的正负表示的正负表示 0 和和相位，相位，幅度谱和相位谱合一。幅度谱和相位谱合一。bn=0f(t)是偶函数是偶函数 是实函数，分解成虚函数，必须有共轭对是实函数，分解成虚函数，必须有共轭对 和和 ，才可能保持分解过程中才可能保持分解过程中 实函数的性质不变。实函数的性质不变。只有把正负频率项成对合并起来，只有把正负频率项成对合并起来，才是实际的频谱函数。才是实际的频谱函数。BUAAM.Zhang周期（偶对称）矩形脉冲信号的复数频谱周期（偶对称）矩形脉冲信号的复数频谱BUAAM.Zhang10.周期信号的功率特性周期信号的功率特性 周期信号的平均功率：周期信号的平均功率：帕塞瓦尔帕塞瓦尔(Parseval)定理：定理：BUAAM.Zhang11.对称信号的傅里叶级数对称信号的傅里叶级数(1)(1)偶函数：偶函数：三种对称形式：三种对称形式：(2)奇函数：奇函数：(3)奇谐函数：奇谐函数：(半波对称半波对称)任意周期函数：任意周期函数：偶函数项偶函数项奇函数项奇函数项BUAAM.Zhang11.对称信号的傅里叶级数对称信号的傅里叶级数(2)(1)周期偶函数周期偶函数是实数是实数周期偶函数只含直流分量和余弦分量周期偶函数只含直流分量和余弦分量(偶分量偶分量)BUAAM.Zhang例如：例如：周期三角函数是偶函数。周期三角函数是偶函数。f(t)T1/2T1/2tEBUAAM.Zhang11.对称信号的傅里叶级数对称信号的傅里叶级数(3)(2)周期奇函数周期奇函数是纯虚数是纯虚数周期奇函数只含正弦分量周期奇函数只含正弦分量(奇分量奇分量)常规意义上的奇函数没有直流分量常规意义上的奇函数没有直流分量一般意义上的奇函数可以是一般意义上的奇函数可以是“DC+常规奇函数常规奇函数”BUAAM.Zhang11.对称信号的傅里叶级数对称信号的傅里叶级数(4)(3)奇谐函数奇谐函数v 沿时间轴移半个周期；沿时间轴移半个周期；v 相对时间轴上下反转；相对时间轴上下反转；v 波形不变。波形不变。半周期半周期(半波半波)对称对称T1/2T1/20tf(t)BUAAM.Zhang奇谐函数的傅里叶级数系数奇谐函数的傅里叶级数系数周期奇谐函数只含基波和奇次谐波的正、余弦分量周期奇谐函数只含基波和奇次谐波的正、余弦分量(n为偶数为偶数)(n为奇数为奇数)(n为奇数为奇数)“奇谐奇谐”函数的由来函数的由来BUAAM.Zhang例：利用傅立叶级数的对称性判断所含有的频率分量例：利用傅立叶级数的对称性判断所含有的频率分量偶对称的奇谐函数偶对称的奇谐函数只含基波和奇次谐波的余只含基波和奇次谐波的余弦分量弦分量奇对称的奇谐函数奇对称的奇谐函数只含基波和奇次谐波的正弦只含基波和奇次谐波的正弦分量分量BUAAM.Zhang12.傅里叶有限级数傅里叶有限级数v 实际应用中，实际应用中，n=N,N是有限整数。是有限整数。v 如果如果 N 愈接近愈接近 n，则其误差愈小；，则其误差愈小；v 若用若用 2N1 项逼近，则；项逼近，则；如果要完全逼近原周期信号，则如果要完全逼近原周期信号，则 n=BUAAM.Zhang误差函数与方均误差误差函数与方均误差误差函数误差函数方均误差方均误差BUAAM.Zhang例如：对称方波例如：对称方波,是偶函数且奇谐函数是偶函数且奇谐函数E/2-E/2T1/4-T1/4tBUAAM.Zhang对称方波有限项的傅里叶级数对称方波有限项的傅里叶级数v N=1v N=3v N=5BUAAM.Zhang有限项的有限项的N越大，误差越小例如越大，误差越小例如:N=11BUAAM.Zhang由以上可见：由以上可见：N越大，越接近方波越大，越接近方波快变信号，高频分量，主要影响跳变沿；快变信号，高频分量，主要影响跳变沿；慢变信号，低频分量，主要影响顶部；慢变信号，低频分量，主要影响顶部；任一分量的幅度或相位发生相对变化时，波形将会失真任一分量的幅度或相位发生相对变化时，波形将会失真有吉伯斯有吉伯斯(Gibbs)现象发生现象发生BUAAM.Zhang吉伯斯吉伯斯(Gibbs)现象现象随着随着N的增加，部分和的起伏的增加，部分和的起伏向不连续点处压缩，但是对任向不连续点处压缩，但是对任何有限的何有限的N值，起伏的峰值大值，起伏的峰值大小约为跳变幅度的小约为跳变幅度的 9%N=1 N=3N=7 N=19N=79BUAAM.Zhang1.3 典型周期信号的傅里叶级数典型周期信号的傅里叶级数(Fourier Series Representation of Typical Periodic Signals)BUAAM.Zhang典型的周期信号典型的周期信号 1.周期矩形脉冲信号周期矩形脉冲信号*2.周期锯齿脉冲信号周期锯齿脉冲信号3.周期三角脉冲信号周期三角脉冲信号4.周期半波脉冲信号周期半波脉冲信号5.周期全波脉冲信号周期全波脉冲信号自学内容自学内容BUAAM.Zhang1.周期矩形脉冲信号的频谱周期矩形脉冲信号的频谱 f(t)：脉宽：脉宽，幅度，幅度 E，周期，周期 T1在一个周期内在一个周期内(T1/2 t T1/2)：红色部分：一个周期红色部分：一个周期BUAAM.Zhang1.1 三角函数式傅里叶级数三角函数式傅里叶级数直流分量：余弦分量幅度：正弦分量幅度：BUAAM.Zhang1.2 周期矩形脉冲信号的频谱周期矩形脉冲信号的频谱(单边谱单边谱)除原点外，其零点由除原点外，其零点由 sin()函数决定。函数决定。BUAAM.Zhang1.3 复指数形式傅里叶级数复指数形式傅里叶级数方法一：根据定义方法一：根据定义方法二：根据系数相互关系方法二：根据系数相互关系周期偶函数性质：周期偶函数性质：BUAAM.Zhang1.4 周期矩形脉冲信号的复数频谱周期矩形脉冲信号的复数频谱(双边谱双边谱)BUAAM.Zhang1.5 周期矩形脉冲信号的频谱特性周期矩形脉冲信号的频谱特性*(2)各分量的大小与脉幅各分量的大小与脉幅 E 成正比，成正比，与脉宽成正比，与周期成反比。与脉宽成正比，与周期成反比。(1)频谱是离散的，谱线间隔为基波频率；频谱是离散的，谱线间隔为基波频率；脉冲重复频率越低脉冲重复频率越低(即即T1越大越大)，谱线越密集。，谱线越密集。(3)各谱线的幅度按各谱线的幅度按 包络线变化；包络线变化；过零点为：过零点为：。(4)含有无穷多条谱线，但其含有无穷多条谱线，但其主要能量集中在第一零点以内。主要能量集中在第一零点以内。低频信号能量大。低频信号能量大。信号带宽信号带宽 。BUAAM.Zhang1.6 周期矩形脉冲信号的频谱变化规律周期矩形脉冲信号的频谱变化规律(1)(1)(2)(2)BUAAM.Zhang脉冲重复频率越低脉冲重复频率越低(即即 )，谱线越密集，谱线越密集()。时，时，频谱连续，频谱连续一般信号的一般信号的“傅里叶变换傅里叶变换”引申：引申：BUAAM.ZhangT1：信号的周期信号的周期脉宽脉宽 基波频率基波频率 11.8 周期矩形脉冲信号傅里叶级数小结周期矩形脉冲信号傅里叶级数小结傅氏级数傅氏级数傅氏级数傅氏级数的系数的系数BUAAM.Zhang1.4 傅里叶变换傅里叶变换*Fourier TransformBUAAM.Zhang1.从傅氏级数到傅里叶变换从傅氏级数到傅里叶变换(FT)傅里叶级数 周期信号傅里叶变换 非周期信号 把非周期信号的情况作为把非周期信号的情况作为“周期周期 ”的的周期信号的这种极限来处理，可由傅里叶级数推演周期信号的这种极限来处理，可由傅里叶级数推演出傅里叶变换，而进一步借助奇异函数，可以求得出傅里叶变换，而进一步借助奇异函数，可以求得周期信号的傅里叶变换。周期信号的傅里叶变换。回顾回顾：周期脉冲的频谱分析：周期脉冲的频谱分析BUAAM.Zhang时，时，谱线高度谱线高度BUAAM.Zhang从从数学意义数学意义上看：上看：时，谱线长度时，谱线长度 看似以傅里叶级数表示的频谱将化为乌有！看似以傅里叶级数表示的频谱将化为乌有！但无穷多无穷小量之和不一定为零。但无穷多无穷小量之和不一定为零。从从物理意义物理意义上看：无论信号怎样分解，其能量不变。上看：无论信号怎样分解，其能量不变。因此周期趋无穷的信号，其频谱分布依然存在。因此周期趋无穷的信号，其频谱分布依然存在。BUAAM.Zhang1.1 频谱密度函数频谱密度函数(Spectrum Density)当当 时，时，但有可能：但有可能：单位频带的频谱值：单位频带的频谱值：“频谱密度频谱密度”的概念的概念BUAAM.Zhang有：有：令：令：f(t)的频谱密度函数，简称的频谱密度函数，简称“频谱函数频谱函数”称为称为“傅里叶变换傅里叶变换”BUAAM.Zhang1.2 傅里叶变换对傅里叶变换对*(Fourier Transform Pair)傅里叶逆变换傅里叶逆变换BUAAM.Zhang傅里叶正变换傅里叶正变换 (Fourier Transform)傅里叶逆变换傅里叶逆变换 (Inverse Fourier Transform)BUAAM.Zhang1.3 讨论讨论(1)反映信号的时域特征，反映信号的时域特征，反映频域特征，反映频域特征，这是傅里叶变换的本质。这是傅里叶变换的本质。(2)非周期信号与周期信号均可以分解为不同的频率分量。非周期信号与周期信号均可以分解为不同的频率分量。周期信号周期信号表述为表述为无限多频率分量的无限多频率分量的离散和离散和非周期信号非周期信号表述为表述为无限多频率分量的无限多频率分量的连续和连续和离散性离散性谐波性谐波性非周期信号非周期信号在所有频率在所有频率上都有分量上都有分量BUAAM.Zhang(3)一般都为复函数，但：一般都为复函数，但：(4)非周期信号非周期信号各频率分量的频率不再具有谐波关系。各频率分量的频率不再具有谐波关系。(5)具有离散频谱的信号，其功率集中在一些谐波分量之中。具有离散频谱的信号，其功率集中在一些谐波分量之中。具有连续频谱的信号，其功率分布在所有频率之中，具有连续频谱的信号，其功率分布在所有频率之中，每一频率分量之功率每一频率分量之功率 0表示周期信号各频率分量的表示周期信号各频率分量的复振幅，模为有限值复振幅，模为有限值n 表示非周期信号各频率分量处表示非周期信号各频率分量处单位频带内的复振幅，单位频带内的复振幅，称为称为频率密度函数频率密度函数。简称。简称频谱密度频谱密度，或在不发生混淆时，或在不发生混淆时简称简称频谱频谱。nBUAAM.Zhang2.傅氏变换存在的充分条件傅氏变换存在的充分条件借助奇异函数借助奇异函数(如冲激函数如冲激函数)的概念，可使许多不满足的概念，可使许多不满足绝对可积条件的信号，如周期信号、阶跃信号、符号绝对可积条件的信号，如周期信号、阶跃信号、符号函数等也存在傅立叶变换。函数等也存在傅立叶变换。类似于傅立叶级数的类似于傅立叶级数的 Dirichlet Dirichlet 条件，但不是条件，但不是必要条件。必要条件。BUAAM.Zhang本节内容回顾傅里叶级数傅里叶级数周期信号频谱周期信号频谱(复数复数)幅度谱幅度谱(复数复数)相位谱相位谱(1)离散性(2)谐波性(3)收敛性BUAAM.Zhang傅里叶变换傅里叶变换本节内容回顾