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协整检验1.协整与整与误差修正模型差修正模型一、一、长期均衡与期均衡与协整分析整分析二、二、协整整检验EGEG检验三、三、协整整检验JJJJ检验四、四、误差修正模型差修正模型2.一、一、长期均衡与期均衡与协整分析整分析Equilibrium and Cointegration3.1、问题的提出的提出经典典回回归模模型型（classical classical regression regression modelmodel）是是建建立立在在平平稳数数据据变量量基基础上上的的，对于于非非平平稳变量量，不不能能使使用用经典典回回归模型，否模型，否则会出会出现虚假回虚假回归等等诸多多问题。由由于于许多多经济变量量是是非非平平稳的的，这就就给经典典的的回回归分分析析方方法法带来了很大限制。来了很大限制。但但是是，如如果果变量量之之间有有着着长期期的的稳定定关关系系，即即它它们之之间是是协整整的的（cointegration)cointegration)，则是是可可以以使使用用经典典回回归模模型型方方法建立回法建立回归模型的。模型的。例例如如，中中国国居居民民人人均均消消费水水平平与与人人均均GDPGDP变量量的的例例子子,从从经济理理论上上说，人人均均GDPGDP决决定定着着居居民民人人均均消消费水水平平，它它们之之间有着有着长期的期的稳定关系，即它定关系，即它们之之间是是协整的。整的。4.经济理理论指指出出，某某些些经济变量量间确确实存存在在着着长期期均均衡衡关关系系，这种种均均衡衡关关系系意意味味着着经济系系统不不存存在在破破坏坏均均衡衡的的内内在在机机制制，如如果果变量量在在某某时期期受受到到干干扰后后偏偏离离其其长期期均均衡衡点点，则均均衡衡机机制制将将会会在在下下一一期期进行行调整整以以使使其其重重新新回回到到均均衡衡状状态。假设X与Y间的长期“均衡关系”由式描述 2 2、长期均衡期均衡该均衡关系意味着均衡关系意味着:给定X的一个值，Y相应的均衡值也随之确定为0+1X。5.在在t-1期末，存在下述三种情形之一：期末，存在下述三种情形之一：Y等于它的均衡等于它的均衡值：Yt-1=0 0+1 1Xt；Y小于它的均衡小于它的均衡值：Yt-1 0 0+1 1Xt；在在时期期t，假假设X有有一一个个变化化量量 Xt，如如果果变量量X与与Y在在时期期t与与t-1末末期期仍仍满足足它它们间的的长期期均均衡衡关关系，即上述第一种情况，系，即上述第一种情况，则Y的相的相应变化量化量为:vt=t-t-1 6.如如果果t-1期期末末，发生生了了上上述述第第二二种种情情况况，即即Y的的值小小于于其其均均衡衡值，则t期期末末Y的的变化化往往往往会会比比第第一种情形下一种情形下Y的的变化大一些；化大一些；反反之之，如如果果t-1期期末末Y的的值大大于于其其均均衡衡值，则t期期末末Y的的变化往往会小于第一种情形下的化往往会小于第一种情形下的 Yt。可可见，如如果果Yt=0 0+1 1Xt+t t正正确确地地提提示示了了X与与Y间的的长期期稳定定的的“均均衡衡关关系系”，则意意味味着着Y对其均衡点的偏离从本其均衡点的偏离从本质上上说是是“临时性性”的。的。一一个个重重要要的的假假设就就是是:随随机机扰动项 t t必必须是是平平稳序序列列。如如果果 t t有有随随机机性性趋势（上上升升或或下下降降），则会会导致致Y对其其均均衡衡点点的的任任何何偏偏离离都都会会被被长期期累累积下来而不能被消除。下来而不能被消除。7.式Yt=0+1Xt+t中的随机扰动项也被称为非非均衡均衡误差（差（disequilibrium error），它是变量X与Y的一个线性组合：如果如果X与与Y间的的长期均衡关系正确，期均衡关系正确，该式表述的非式表述的非均衡均衡误差差应是一平是一平稳时间序列，并且具有零期望序列，并且具有零期望值，即是具有即是具有0均均值的的I(0)序列。序列。非非稳定的定的时间序列，它序列，它们的的线性性组合也可能成合也可能成为平平稳的。的。称称变量量X与与Y是是协整的（整的（cointegrated）。）。8.3 3、协整整如果序列如果序列XX1t1t,X,X2t2t,X,Xktkt 都是都是d d阶单整，存在向量整，存在向量=(1 1,2 2,k k)，使得，使得Z Zt t=X XT T I(d-b)I(d-b)，其中，其中，b0b0，X=(XX=(X1t1t,X,X2t2t,X,Xktkt)T T，则认为序列序列XX1t1t,X,X2t2t,X,Xktkt 是是(d,b)(d,b)阶协整整，记为X XttCI(d,b)CI(d,b)，为协整向量（整向量（cointegrated vector）。）。如果两个如果两个变量都是量都是单整整变量，只有当它量，只有当它们的的单整整阶数相同数相同时，才可能，才可能协整；如果它整；如果它们的的单整整阶数数不相同，就不可能不相同，就不可能协整。整。9.3 3个以上的个以上的变量，如果具有不同的量，如果具有不同的单整整阶数，有数，有可能可能经过线性性组合构成低合构成低阶单整整变量。量。10.（d,d）阶协整是一整是一类非常重要的非常重要的协整关系，整关系，它的它的经济意意义在于：在于：两个两个变量，量，虽然它然它们具有具有各自的各自的长期波期波动规律，但是如果它律，但是如果它们是是（d,dd,d）阶协整的，整的，则它它们之之间存在着一个存在着一个长期期稳定的比例关系。定的比例关系。例如，中国例如，中国CPCCPC和和GDPPCGDPPC，它，它们各自都是各自都是2 2阶单整，如果整，如果它它们是是(2,2)(2,2)阶协整，整，说明它明它们之之间存在着一个存在着一个长期期稳定的比例关系，从定的比例关系，从计量量经济学模型的意学模型的意义上上讲，建立，建立如下居民人均消如下居民人均消费函数模型是合理的。函数模型是合理的。尽管两个尽管两个时间序列是非平序列是非平稳的，也可以用的，也可以用经典典的回的回归分析方法建立回分析方法建立回归模型。模型。11.从从这里里，我我们已已经初初步步认识到到：检验变量量之之间的的协整整关关系系，在在建建立立计量量经济学学模模型型中中是是非非常常重重要的。要的。而而且且，从从变量量之之间是是否否具具有有协整整关关系系出出发选择模模型型的的变量量，其其数数据据基基础是是牢牢固固的的，其其统计性性质是是优良的良的。12.二、二、协整整检验EG检验13.1 1、两、两变量的量的Engle-GrangerEngle-Granger检验 为了检验两变量Yt,Xt是否为协整，Engle和Granger于1987年提出两步检验法，也称为EG检验。第一步，第一步，用OLS方法估计方程 Yt=0+1Xt+t并计算非均衡误差，得到：称为协整回整回归(cointegrating)或静静态回回归(static regression)。14.非均衡非均衡误差的差的单整性的整性的检验方法仍然是方法仍然是DFDF检验或者或者ADFADF检验。需要注意是需要注意是，这里的里的DF或或ADF检验是是针对协整整回回归计算出的算出的误差差项，而非真正的非均衡，而非真正的非均衡误差。差。而而OLS法采用了残差最小平方和原理，因此法采用了残差最小平方和原理，因此估估计量量 是向下偏倚的是向下偏倚的，这样将将导致拒致拒绝零假零假设的机会比的机会比实际情形大。情形大。于是于是对e et t平平稳性性检验的的DFDF与与ADFADF临界界值应该比正比正常的常的DFDF与与ADFADF临界界值还要小。要小。15.MacKinnon(1991)通过模拟试验给出了协整检验的临界值。16.例例 检验中国居民人均消中国居民人均消费水平水平CPCCPC与人均国内生与人均国内生产总值GDPPCGDPPC的的协整关系。整关系。已知CPC与GDPPC都是I(2)序列，已知它们的回归式 R2=0.9981 对该式计算的残差序列作ADF检验，适当检验模型为：（-4.47）(3.93)(3.05)LM(1)=0.00 LM(2)=0.00 t=-4.47-3.75=ADF0.05，拒绝存在单位根的假设，残差项是平稳的。因此中国居民人均消中国居民人均消费水平与人均水平与人均GDPGDP是是(2,2)(2,2)阶协整的，整的，说明了明了该两两变量量间存在存在长期期稳定的定的“均衡均衡”关关系。系。17.2 2、多、多变量量协整关系的整关系的检验扩展的展的E-GE-G检验 多变量协整关系的检验要比双变量复杂一些，主要在于协整整变量量间可能存在多种可能存在多种稳定的定的线性性组合合。假设有4个I(1)变量Z、X、Y、W，它们有如下的长期均衡关系：非均衡误差项t应是I(0)序列：18.然而，如果Z与W，X与Y间分别存在长期均衡关系：则非均衡误差项v1t、v2t一定是稳定序列I(0)。于是它们的任意线性组合也是稳定的。例如 由于vt象t一样，也是Z、X、Y、W四个变量的线性组合，由此vt 式也成为该四变量的另一稳定线性组合。（1,-0,-1,-2,-3）是对应于t 式的协整向量，（1,-0-0,-1,1,-1）是对应于vt式的协整向量。一定是I(0)序列。19.检验程序：程序：对于于多多变量量的的协整整检验过程程，基基本本与与双双变量量情情形形相相同同，即即需需检验变量量是是否否具具有有同同阶单整整性性，以以及及是是否否存在存在稳定的定的线性性组合合。在在检验是是否否存存在在稳定定的的线性性组合合时，需通过设置一个变量为被解释变量，其他变量为解释变量，进行OLS估计并检验残差序列是否平稳。如如果果不不平平稳，则需更换被解释变量，进行同样的OLS估计及相应的残差项检验。当当所所有有的的变量量都都被被作作为被被解解释变量量检验之之后后，仍仍不不能能得得到到平平稳的的残残差差项序序列列，则认为这些些变量量间不存在（不存在（d,dd,d）阶协整。整。20.检验残残差差项是是否否平平稳的的DF与与ADF检验临界界值要要比比通通常常的的DF与与ADF检验临界界值小小，而而且且该临界界值还受受到到所所检验的的变量个数的影响。量个数的影响。MacKinnon(1991)通过模拟试验得到的不同变量协整检验的临界值。21.三、三、协整整检验JJJJ检验22.JJ JJ检验的原理的原理 Johansen于于1988年，以及与年，以及与Juselius一起于一起于1990年提出了一种用向量自回年提出了一种用向量自回归模型模型进行行检验的方法，通常称的方法，通常称为Johansen检验，或，或JJ检验，是一种是一种进行多重行多重I(1)序列序列协整整检验的的较好方法好方法。23.没有移没有移动平均平均项的向量自回的向量自回归模型表示模型表示为：差分Yt为M个个I(1)过程构成的向量程构成的向量 I(0)过程I(0)过程只有产生协整，才能保证新生误差是平稳过程 24.将将y的的协整整问题转变为讨论矩矩阵的性的性质问题25.26.于是，将于是，将yt中的中的协整整检验变成成对矩矩阵的分析的分析问题。这就是就是JJ检验的基本原理。的基本原理。两种两种检验方法：方法：特征特征值轨迹迹检验最大特征最大特征值检验27.JJ JJ检验的的预备工作工作 第一步：第一步：用用OLSOLS分分别估估计下式中的每一个方程，下式中的每一个方程，计算残差，得到残差矩算残差，得到残差矩阵S S0 0，为一个一个(MT)(MT)阶矩矩阵。28.第一步：第一步：用用OLSOLS分分别估估计下式中的每一个方程，下式中的每一个方程，计算残差，得到残差矩算残差，得到残差矩阵S S1 1，也，也为一个一个(MT)(MT)阶矩矩阵。29.第三步：第三步：构造上述残差矩构造上述残差矩阵的的积矩矩阵：30.第四步：第四步：计算有序特征算有序特征值和特征向量。和特征向量。31.第五步：第五步：设定似然函数。定似然函数。32.JJ JJ检验之一之一特征特征值轨迹迹检验 服从Johansen分布。被称为特征值轨迹统计量。33.34.35.36.，一直，一直检验下去，直到出下去，直到出现第一个不第一个不显著的著的(Mr)为止，止，说明存在明存在r个个协整向量。整向量。这r个个协整向量就是整向量就是对应于最大的于最大的r个特征个特征值的的经过正正规化的特征向量。化的特征向量。37.JJ JJ检验之一之一最大特征最大特征值检验 该统计量被称为最大特征值统计量。于是该检验被称为最大特征值检验。38.39.40.由 Johansen和Juselius于1990年计算得到 Johansen分布临界值表。41.42.43.JJJJ检验实例例GDP、CONSR、CONSP、INV取取对数后数后为I(1)序序列。即列。即lnGDP、lnCONSR、lnCONSP、lnINV。对它它们之之间的的协整关系整关系进行行检验。44.45.46.47.两种方法的两种方法的结论是一致的。是一致的。48.49.如何如何处理高理高阶单整序列？整序列？从理从理论上上讲。JJ JJ 检验只适用于多个只适用于多个1 1阶单整序列。整序列。多个同多个同阶高高阶单整序列，差分整序列，差分为1 1阶后再后再检验，显然是可行的。然是可行的。但是意但是意义发生生变化化。没有看到关于高没有看到关于高阶多重多重协整整检验的文献，的文献，难度太大。度太大。能否先能否先检验，然后建立均衡方程，通，然后建立均衡方程，通过对误差差项的的单位根位根检验以判断以判断发生何种生何种协整？整？未未见经典典。50.如何如何选择截距和截距和时间趋势项？分分别考考虑CE和和VAR中是否有截距和中是否有截距和时间趋势项作作为假假设显著性著性检验重新重新检验对协整关系整关系检验结果无果无显著影响（著影响（检验统计量量发生生变化，但化，但临界界值同同时发生生变化）化）51.52.53.如何在多个如何在多个协整关系中作出整关系中作出选择？一般一般选择对应于最大特征于最大特征值的第的第1个个协整关系整关系从从应用的目的出用的目的出发选择54.四、四、误差修正模型差修正模型Error Correction Model,ECM55.1 1、一般差分模型的、一般差分模型的问题对于非于非稳定定时间序列，可通序列，可通过差分的方法将其差分的方法将其化化为稳定序列，然后才可建立定序列，然后才可建立经典的回典的回归分析分析模型。模型。模型只表达了模型只表达了X与与Y间的短期关的短期关系，而没有揭示它系，而没有揭示它们间的的长期关期关系系。关于关于变量水平量水平值的重要信息的重要信息将被忽略。将被忽略。误差项t不存在序列相关，t是一个一一阶移移动平均平均时间序列序列，因而是序列相关的。是序列相关的。56.2 2、误差修正模型差修正模型是一种具有特定形式的是一种具有特定形式的计量量经济学模型，它的学模型，它的主要形式是由主要形式是由DavidsonDavidson、HendryHendry、SrbaSrba和和YeoYeo于于19781978年提出的，称年提出的，称为DHSYDHSY模型。模型。由于现实经济中很少处在均衡点上，假设具有（1,1）阶分布滞后形式 57.Y Y的的变化决定于化决定于X X的的变化以及前一化以及前一时期的非均衡期的非均衡程度程度。一一阶误差修正模型差修正模型(first-order error correction model)的形式：的形式：若若(t-1)(t-1)时刻刻Y Y大于其大于其长期均衡解期均衡解 0 0+1 1X X，ecmecm为正，正，则(-(-ecm)ecm)为负，使得，使得 Y Yt t减少；减少；若若(t-1)(t-1)时刻刻Y Y小于其小于其长期均衡解期均衡解 0 0+1 1X X ，ecmecm为负，则(-(-ecm)ecm)为正，使得正，使得 Y Yt t增大。增大。体体现了了长期非均衡期非均衡误差差对短期短期变化的控制。化的控制。58.复复杂的的ECM形式形式，例如：，例如：59.误差修正模型的差修正模型的优点：点：如：a）一阶差分项的使用消除了变量可能存在的趋势因素，从而避免了虚假回归问题；b）一阶差分项的使用也消除模型可能存在的多重共线性问题；c）误差修正项的引入保证了变量水平值的信息没有被忽视；d）由于误差修正项本身的平稳性，使得该模型可以用经典的回归方法进行估计，尤其是模型中差分项可以使用通常的t检验与F检验来进行选取；等等。60.3 3、误差修正模型的建立差修正模型的建立Granger 表述定理表述定理（Granger representaion theorem）Engle 与与 Granger 1987年提出年提出 如果如果变量量X X与与Y Y是是协整的，整的，则它它们间的短期非均的短期非均衡关系衡关系总能由一个能由一个误差修正模型表述。差修正模型表述。模型中没有明确指出Y与X的滞后项数，可以是多阶滞后；由于一阶差分项是I(0)变量，因此模型中允许采用X的非滞后差分项Xt。61.建立建立误差修正模型差修正模型，需要：首首先先对变量进行协整分析，以发现变量之间的协整关系，即长期均衡关系，并以这种关系构成误差修正项。然然后后建立短期模型，将误差修正项看作一个解释变量，连同其它反映短期波动的解释变量一起，建立短期模型，即误差修正模型。62.Engle-Granger两步法两步法 第第一一步步，进行协整回归（OLS法），检验变量间的协整关系，估计协整向量（长期均衡关系参数）；第第二二步步，若协整性存在，则以第一步求到的残差作为非均衡误差项加入到误差修正模型中，并用OLS法估计相应参数。需需要要注注意意的的是是：在进行变量间的协整检验时，如有必要可在协整回归式中加入趋势项，这时，对残差项的稳定性检验就无须再设趋势项。另另外外，第二步中变量差分滞后项的多少，可以残差项序列是否存在自相关性来判断，如果存在自相关，则应加入变量差分的滞后项。63.经济理论指出，居民消费支出是其实际收入的函数。以中国国民核算中的居居民民消消费支支出出经过居居民民消消费价价格格指指数数缩减得到中国居民减得到中国居民实际消消费支出支出时间序列（序列（C）；以支出法GDP对居居民民消消费价价格格指指数数缩减减近近似似地地代代表表国国民民收入收入时间序列序列(GDP)。时间段为19782000（表9.3.3）例例 中国居民消费的误差修正模型 64.（1 1）对数据数据lnC与与lnGDP进行行单整整检验 容易验证lnC与lnGDP是一阶单整的，它们适合的检验模型如下：(3.81)（-4.01）（2.66）（2.26）（2.54）LM(1)=0.38 LM(2)=0.67 LM(3)=2.34 LM(4)=2.46 65.首先，建立首先，建立lnC与与lnGDP的回的回归模型模型（2）检验lnC与与lnGDP的的协整性，并建立整性，并建立长期均衡关系期均衡关系 （0.30）(57.48)R2=0.994 DW=0.744 发现有残关项有较强的一阶自相关性。考虑加入适当的滞后项，得lnC与lnGDP的分布滞后模型 (1.63)(6.62）（4.92）（-2.17）R2=0.994 DW=1.92 LM(1)=0.00 LM(2)=2.31自相关性消除，因此可初步认为是lnC与lnGDP的长期稳定关系。66.残差残差项的的稳定性定性检验：（-4.32）R2=0.994 DW=2.01 LM(1)=0.04 LM(2)=1.34 t=-4.32-3.64=ADF0.05 说明lnC与lnGDP是（1，1）阶协整的，下式即为它们长期稳定的均衡关系:67.以稳定的时间序列（3）建立）建立误差修正模型差修正模型 做为误差修正项，可建立如下误差修正模型差修正模型:（6.96）(2.96)(-1.91)(-3.15)R2=0.994 DW=2.06 LM(1)=0.70 LM(2)=2.04由式 可得lnC关于lnGDP的长期弹性：(0.698-0.361)/(1-0.622)=0.892；由（*）式可得lnC关于lnGDP的短期弹性：0.686(*)68.用打开打开误差修正差修正项括号的方法直接估括号的方法直接估计误差修正模型差修正模型，适当估计式为:（1.63）(6.62）(-2.99)(2.88)R2=0.791 =0.0064 DW=1.93 LM(2)=2.31 LM(3)=2.78 写成误差修正模型的形式如下 由上式知，lnC关于lnGDP的短期弹性为0.698，长期弹性为0.892。可见两种方法的两种方法的结果非常接近果非常接近。69.（4）预测由式给出1998年关于长期均衡点的偏差：=ln(18230)-0.152-0.698ln(39008)-0.662ln(17072)+0.361ln(36684)=0.0125 由式预测1999年的短期波动：lnC99=0.686(ln(41400)-ln(39008)+0.784(ln(18230)-ln(17072)-0.484(ln(39008)-ln(36684)-1.1630.0125=0.04870.于是 按照式预测的结果为:lnC99=0.698（ln(41400)-ln(39008)-0.378(ln(18230)-0.405 -0.892ln(39008)=0.051 以当年价计的1999年实际居民消费支出为39334亿元，用居民消费价格指数（1990=100）紧缩后约为19697亿元，两个两个预测结果的相果的相对误差分差分别为2.9%与与2.6%。于是71.