包络定理教案资料.ppt

,*,包络定理,（,envelope theorem）,包络定理是比较静态研究的有用工具。记最优化问题,这里，,a,是一个参数（,外生变量,），,x,是一向量，我们称,(a,),为,间接目标函数,。该最大值问题是在,a,为某一固定值时寻找适当的,x,*,，,使得函数,f,(,x,a,),达到最大。显然，若,a,的数值发生变化时，,x,*,和目标函数的最大值,f,(,x,*,a,),也会随之而变化。,判断,a,的数值变化时,(,a,)=,f,x,*,(a),a,变化的大小和方向，我们可以使用,由于先得到,x,*,(a),非常麻烦，我们可以直接使用,包络定理,1,包络定理的证明,记对应参数值,a,的最大值点为,x,(,a,)，,假设它关于,a,可微，则有,由于,x,(,a,),是上述最大化问题的解，所以一阶条件成立,因此，包络定理得证。不难看出，最小化问题亦然。,2,包络定理图示,3,包络定理的一个推论,对于一个具有一般性的最优化问题,x,是,n,维向量，,a,是,m,维参数。包络定理可以写为：,含义,：某参数对目标函数最大值（最大值函数）的影响，等于拉格朗日函数直接对该参数求偏导数，并在最优解处取值。,4,包络定理的一个推论,（,证明,）,我们构造拉格朗日函数,一阶条件为,如果我们得到最优解,则最大值函数,5,包络定理的一个推论,（,证明,）,对于最大值函数,两边关于,a,i,求导，并在最优解处取值，可得,对于约束条件,两边关于,a,i,求导，可得,代入上式,6,包络定理的应用之一：,消费者选择理论,对于消费者选择问题,我们容易得到马歇尔需求函数,此时的效用函数值（,间接效用函数,）：,构造函数,利用包络定理，可得,罗伊恒等式,（,Roys identity）,7,包络定理的应用之二：,成本曲线问题,对于短期成本最小化问题,我们容易得到最优的可变要素投入,8,