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高考数学应用题的解法

2007年全国数学考试大纲（课标版）中，能力要求中指出，能力是指思维能力、运算能力、空间想象能力以及实践能力和创新意识，其中对实践能力的界定是：能综合应用所学数学知识、思想和方法解决问题，包括解决在相关学科、生产、生活中简单的数学问题；能理解对问题陈述的材料，并对所提供的信息资料进行归纳、整理和分类，将实际问题抽象为数学问题，建立数学模型；应用相关的数学方法解决问题并加以验证，并能用数学语言正确地表达和说明.
实践能力是将客观事物数学化的能力.主要过程是依据现实的生活背景，提炼相关的数量关系，构造数学模型，将现实问题转化为数学问题，并加以解决.
2007年山东数学考试说明对实践能力的界定是：能够综合运用所学知识对问题所提供的信息资料进行归纳、整理和分类，将实际问题抽象为数学问题；能应用相关的数学方法解决问题，并能用数学语言正确地表述、说明．
对实践能力的考查主要采用解决应用问题的形式.命题时要坚持“贴近生活，背景公平，控制难度”的原则，试题设计要切合中学数学教学的实际，考虑学生的年龄特点和实践经验，使数学应用问题的难度符合考生的水平.
数学应用性问题是历年高考命题的主要题型之一, 高考中一般命制一道解答题和两道选择填空题. 由于这类题目文字叙述长，数学背景陌生，涉及面又广，对相当一部分学生来讲，连题目都不“敢”去看了，心理失衡，导致在阅读和理解方面存在着一定困难.
解答这类问题的要害是消除心理和语言障碍，深刻理解题意,做好文字语言向数学的符号语言的翻译转化, 自信，冷静地去读完题目，保持冷静，认真对待，不能随意放弃.读题是翻译的基础，读题时要抓住题目中的关键字、词、句，弄清题中的已知事项，初步了解题目中讲的是什么事情，要求的结果是什么。在读题的基础上，要能复述题目中的要点，深思题意，很多情况下，可将应用题翻译成图表形式，形象鲜明地表现出题中各数量之间的关系，将文字语言、符号语言、图表语言转化成数学语言，这个过程其实就是建模。函数,数列,不等式，排列组合、概率是较为常见的模型,而三角,立几,解几等模型也时有出现.
一般来说，可采用下列策略建立数学模型：（1）双向推理列式，利用已知条件顺向推理，运用所求结果进行逆向搜索；（2）借助常用模型直接列式，平均增长率的问题可建立指、对数或方程模型，行程、工程、浓度问题可以建立方程（组）或不等式模型，拱桥、炮弹发射、卫星制造问题可建立二次模型，测量问题可建立解三角形模型；计数问题可建立排列组合问题；机会大小问题可建立概率模型，优化问题可建立线性规划模型……
中学数学各个章节中有关应用问题的内容分别是：
1．函数：能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题.
2．不等式：掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用.
3．平面向量:在立体几何与解析几何中的应用.
4．三角函数：理解函数y=Asin(ωx+ψ)中 A、ω、ψ的物理意义；掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形，能利用计算器解决解三角形的计算问题.
5．数列：能运用公式解决简单的问题.
6．直线和圆的方程：了解线性规划的意义，并会简单的应用.
7．圆锥曲线方程：了解圆锥曲线的初步应用.
8．直线、平面、简单几何体：平面及其基本性质，平面图形直观图的画法.平行直线，对应边分别平行的角，异面直线所成的角，异面直线的公垂线，异面直线的距离.直线和平面平行的判定与性质，直线和平面垂直的判定与性质，点到平面的距离，斜线在平面上的射影，直线和平面所成的角，三垂线定理及其逆定理.平行平面的判定与性质，平行平面间的距离，二面角及其平面角，两个平面垂直的判定与性质.多面体、棱柱、棱锥、正多面体、球等各部分都有应用.
9．排列、组合、二项式定理：
⑴掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题；
⑵理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的问题.
⑶理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的应用问题.
　 ⑷掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题.
这部分主要解决⑴不同类问题(可重复排列问题，不可重复排列问题，组合问题)的辩析；⑵多类多步排列组合问题的解决方法，主要是两个特元以上的特元法或特位法、排除法的应用．
10．概率：
⑴了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义；
⑵了解等可能性事件的概率的意义，会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的概率；
⑶了解互斥事件相互独立事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率；
⑷会计算事件在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率.
11．概率与统计：
⑴了解随机变量、离散型随机变量的意义，会求出某些简单的离散型随机变量的分布列；
⑵了解离散型随机变量的期望值、方差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出期望值、方差；
⑶会用抽机抽样，系统抽样，分层抽样等常用的抽样方法从总体中抽取样本；
⑷会用样本频率分布去估计总体分布；
⑸了解正态分布的意义及主要性质；
⑹了解假设检验的基本思想；
⑺会根据样本的特征数估计总体；
⑻了解线性回归的方法.
12．极限、导数、复数：了解导数概念的某些实际背影（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等），掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；

一、 建构函数模型的应用性问题
解答函数型应用题，一般先从建立函数的解析表达式入手，通过研究函数的性质获得解答．因此，这类问题的难点一般有两个：一是解析式的建立，二是数学知识的灵活应用．
1．某公司为帮助尚有26.8万元无息贷款没有偿还的残疾人商店，借出20万元将该商店改建成经营状况良好的某种消费品专卖店，并约定用该店经营的利润逐步偿还债务(所有债务均不计利息)．
已知该种消费品的进价为每件40元；该店每月销售量q（百件）与销售价p（元／件）之间的关系用右图中的一条折线（实线）表示；职工每人每月工资为600元，该店应交付的其它费用为每月13200元．
（Ⅰ）若当销售价p为52元／件时，该店正好收支平衡，求该店的职工人数；
（Ⅱ）若该店只安排40名职工，则该店最早可在几年后还清所有债务，此时每件消费品的价格定为多少元？
讲解 本题题目的篇幅较长，所给条件零散杂乱，为此，不仅需要划分段落层次，弄清每一层次独立的含义和相互间的关系，更需要抓住矛盾的主要方面．由题目的问题找到关键词——“收支平衡”、“还清所有债务”，不难想到，均与“利润”相关．
从阅读和以上分析，可以达成我们对题目的整体理解，明确这是一道函数型应用题．为此，首先应该建立利润与职工人数、月销售量q、单位商品的销售价p之间的关系，然后，通过研究解析式，来对问题作出解答．
由于销售量和各种支出均以月为单位计量，所以，先考虑月利润．
（Ⅰ）设该店的月利润为S元，有职工m名．则
．
又由图可知：．
所以，
由已知，当时，，即
解得．即此时该店有50名职工．
（Ⅱ）若该店只安排40名职工，则月利润
当时，求得时，S取最大值7800元．
当时，求得时，S取最大值6900元．
综上，当时，S有最大值7800元．
设该店最早可在n年后还清债务，依题意，有．
解得．
所以，该店最早可在5年后还清债务，此时消费品的单价定为55元．
点评 求解数学应用题必须突破三关：
（1）阅读理解关：一般数学应用题的文字阅读量都比较大，要通过阅读审题，找出关键词、句，理解其意义．
（2）建模关：即建立实际问题的数学模型，将其转化为数学问题．
（3）数理关：运用恰当的数学方法去解决已建立的数学模型．
2．某厂生产一种仪器，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品．根据经验知道，该厂生产这种仪器，次品率P与日产量x（件）之间大体满足关系：．
注：次品率，如表示每生产10件产品，约有1件为次品．其余为合格品．
已知每生产一件合格的仪器可以盈利A元，但每生产一件次品将亏损元，故厂方希望定出合适的日产量．
（Ⅰ）试将生产这种仪器每天的盈利额T（元）表示为日产量x（件）的函数；
（Ⅱ）当日产量为多少时，可获得最大利润？
讲解：（Ⅰ）当时，，所以，每天的盈利额．
当时，，所以，每日生产的合格仪器约有件，次品约有件．故，每天的盈利额

综上，日盈利额（元）与日产量（件）的函数关系为：
．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当时，每天的盈利额为0．
当时，．
为表达方便，令，则．故
．（等号当且仅当，即时成立）．所以，
（1）当时，（等号当且仅当时成立）．
（2） 当时，由得，易证函数在上单调递增（证明过程略）．
所以，．所以，
．
即．（等号当且仅当时取得）
综上，若，则当日产量为88件时，可获得最大利润；若，则当日产量为时，可获得最大利润．
点评 基本不等式和函数的单调性是求解函数最值问题的两大重要手段．
3.某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关销售的统计规律：每生产产品x（百台），其总成本为G（x）万元，其中固定成本为2万元，并且每生产100台的生产成本为1万元（总成本=固定成本+生产成本），销售收入R(x)满足R(x)=.假定该产品销售平衡，那么根据上述统计规律.
（1）要使工厂有盈利，产品x应控制在什么范围？
（2）工厂生产多少台产品时赢利最大？并求此时每台产品的售价为多少？
解：依题意，G（x)=x+2,设利润函数为f(x),则
(1)要使工厂有赢利，则有f(x)>0.
当0≤x≤5时，有–0.4x2+3.2x–2.8>0,得1<x<7,∴1<x≤5.
当x>5时，有8.2–x>0,得x<8.2,∴5<x<8.2.
综上，要使工厂赢利，应满足1<x<8.2.即产品应控制在大于100台小于820台的范围内.
（2）0≤x≤5时，f(x)=–0.4(x–4)2+3.6
故当x=4时，f(x)有最大值3.6.
而当x>5时f(x)<8.2–5=3.2
所以当工厂生产400台产品时，赢利最大，此时只须求x=4时，每台产品售价为=2.4（万元/百台）=240（元/台）.
4.为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽为2米的无盖长方体沉淀箱（如图），污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长度为a米，高度为b米，已知流出的水中该杂质的质量分数与a、b的乘积ab成反比，现有制箱材料60平方米，问当a、b各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小（A、B孔的面积忽略不计）？
分析：关键在于理解题意而列出关系式，找到a与b间的等量关系.函数最小值可应用重要不等式或利用导数解决.
解法一：设经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数为y，则由条件y=(k＞0为比例系数)其中a、b满足2a+4b+2ab=60 ①
要求y的最小值，只须求ab的最大值.
由①(a+2)(b+1)=32(a＞0,b＞0)
且ab=30–(a+2b)
应用重要不等式a+2b=(a+2)+(2b+2)–4
≥
∴ab≤18，当且仅当a=2b时等号成立
将a=2b代入①得a=6,b=3.
故当且仅当a=6,b=3时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小.
解法二：由2a+4b+2ab=60,得,
记(0＜a＜30)则要求y的最小值只须求u的最大值.
由，令u′=0得a=6
且当0＜a＜6时，u′＞0，当6＜u＜30时
u′＜0,
∴在a=6时取最大值，此时b=3.
从而当且仅当a=6，b=3时,y=取最小值.
5.运输一批海鲜，可在汽车、火车、飞机三种运输工具中选择，它们的速度分别为v千米/小时、2v千米/小时、10v千米/小时，每千米的运费分别为a元、b元、c元.且b＜a＜c,又这批海鲜在运输过程中的损耗为m元/小时，若使用三种运输工具分别运输时各自的总费用（运费与损耗之和）互不相等.试确定使用哪种运输工具总费用最省.（题中字母均为正的已知量）
5.解：设运输路程为S（千米），使用汽车、火车、飞机三种运输工具运输时各自的总费用分别为y1(元)、y2(元)、y3(元).则由题意，,由a>b,各字母均为正值，所以y1–y2>0，即y2<y1.由y3–y2=［(c–b)–］S.令y3–y2>0,由c>b及每字母都是正值，得c>b+.所以，当c>b+时y2<y3,由y2<y1即y2最小，当b<a<c<b+时，y3<y2<y1,y3最小.
6.已知某海滨浴场的海浪高度y（米）是时间t(0≤t≤24，单位小时）的函数，记作y=f(t)，下表是某日各时的浪高数据
t
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y
1.5
1.0
0.5
1.0
1.49
1
0.51
0.99
1.5
经长期观测y=f(t)的曲线可近似地看成函数y=Acosωt+b.
（1）根据以上数据，求出函数y=Acosωt+b的最小正周期T，振幅A及函数表达式；
（2）依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据（1）的结论，判断一天内的上午8：00至晚上20：00之间，有多少时间可供冲浪者进行运动.
解：（1）由表中数据，知T=12，ω=.
由t=0,y=1.5得A+b=1.5.
由t=3,y=1.0,得b=1.0.所以，A=0.5,b=1.振幅A=，∴y=
(2)由题意知，当y>1时，才可对冲浪者开放.∴>1, >0.
∴2kπ–,
即有12k–3<t<13k+3.
由0≤t≤24,故可令k=0,1,2,得0≤t<3或9<t<15或21<t≤24.
∴在规定时间内有6个小时可供冲浪者运动即上午9：00至下午15：00.
7.某外商到一开放区投资72万美元建起一座蔬菜加工厂，第一年各种经费12万美元，以后每年增加4万美元，每年销售蔬菜收入50万美元.
（1）若扣除投资及各种经费，则从第几年开始获取纯利润？
（2）若干年后，外商为开发新项目，有两种处理方案：①年平均利润最大时以48万美元出售该厂；②纯利润总和最大时，以16万元出售该厂，问哪种方案最合算？
解：由题意知，每年的经费是以12为首项，4为公差的等差数列，设纯利润与年数的关系为f(n),则f(n)=50n–［12n+×4］–72
=–2n2+40n–72
(1)获纯利润就是要求f(n)>0,∴–2n2+40n–72>0，解得2<n<18.由n∈N知从第三年开始获利.
（2）①年平均利润==40–2(n+)≤16.当且仅当n=6时取等号.故此方案先获利6×16+48=144（万美元），
此时n=6,②f(n)=–2(n–10)2+128.
当n=10时，f(n)|max=128.故第②种方案共获利128+16=144（万美元）.
故比较两种方案，获利都是144万美元，但第①种方案只需6年，而第②种方案需10年，故选择第①种方案.
8.某厂使用两种零件A、B装配两种产品P、Q，该厂的生产能力是月产P产品最多有2500件，月产Q产品最多有1200件；而且组装一件P产品要4个A、2个B，组装一件Q产品要6个A、8个B，该厂在某个月能用的A零件最多14000个；B零件最多12000个.已知P产品每件利润1000元，Q产品每件2000元，欲使月利润最大，需要组装P、Q产品各多少件？最大利润多少万元.
解：设分别生产P、Q产品x件、y件，则有
设利润S=1000x+2000y=1000(x+2y)
要使利润S最大，只需求x+2y的最大值.
x+2y=m(2x+3y)+n(x+4y)=x(2m+n)+y(3m+4n)
∴ ∴
有x+2y=(2x+3y)+(x+4y)
≤×7000+×6000.
当且仅当解得时取等号，此时最大利润Smax=1000(x+2y)
=4000000=400(万元).
另外此题可运用“线性规划模型”解决.
9. 随着机构改革工作的深入进行，各单位要减员增效，有一家公司现有职员人（140<<420，且为偶数），每人每年可创利万元.据评估，在经营条件不变的前提下，每裁员1人，则留岗职员每人每年多创利万元，但公司需付下岗职员每人每年万元的生活费，并且该公司正常运转所需人数不得小于现有职员的，为获得最大的经济效益，该公司应裁员多少人？
解 设裁员人，可获得的经济效益为万元,则
=
依题意 ≥
∴0<≤.
又140<<420, 70<<210.
(1)当0<≤,即70<≤140时， , 取到最大值;
(2)当>,即140<<210时， , 取到最大值;
O
A
B
vt
2(1－k)t
4kt
15°
综上所述，当70<≤140时，应裁员人；当140<<210时，应裁员人.
在多字母的数学问题当中，分类求解时需要搞清：为什么分类？对谁分类？如何分类？
10.医学上为研究传染病传播中病毒细胞的发展规律及其预防，将病毒细胞注入一只小白鼠体内进行实验，经检测，病毒细胞的增长数与天数的关系记录如下表. 已知该种病毒细胞在小白鼠体内的个数超过108的时候小白鼠将死亡．但注射某种药物，将可杀死其体内该病毒细胞的98%．
（1）为了使小白鼠在实验过程中不死亡，第一次最迟应在何时注射该种药物？（精确到天）
（2）第二次最迟应在何时注射该种药物，才能维持小白鼠的生命？（精确到天）
天数t
病毒细胞总数N
1
2
3
4
5
6
7
…
1
2
4
8
16
32
64
…

已知：lg2=0.3010．
天数t
病毒细胞总数N
1
2
3
4
5
6
7
…
1
2
4
8
16
32
64
…
讲解 （1）由题意病毒细胞关于时间n的函数为, 则由
两边取对数得 n27.5,
即第一次最迟应在第27天注射该种药物.
（2）由题意注入药物后小白鼠体内剩余的病毒细胞为,
再经过x天后小白鼠体内病毒细胞为,
由题意≤108，两边取对数得
，
故再经过6天必须注射药物，即第二次应在第33天注射药物．
本题反映的解题技巧是“两边取对数”，这对实施指数运算是很有效的.
11.在一很大的湖岸边（可视湖岸为直线）停放着一只小船，由于缆绳突然断开，小船被风刮跑，其方向与湖岸成15°角，速度为2.5km/h，同时岸边有一人,从同一地点开始追赶小船，已知他在岸上跑的速度为4km/h，在水中游的速度为2km/h.,问此人能否追上小船.若小船速度改变，则小船能被人追上的最大速度是多少？
讲解: 不妨画一个图形,将文字语言翻译为图形语言, 进而想法建立数学模型.
设船速为v，显然时人是不可能追上小船，当km/h时，人不必在岸上跑，而只要立即从同一地点直接下水就可以追上小船，因此只要考虑的情况，由于人在水中游的速度小于船的速度，人只有先沿湖岸跑一段路后再游水追赶，当人沿岸跑的轨迹和人游水的轨迹以及船在水中漂流的轨迹组成一个封闭的三角形时，人才能追上小船。设船速为v，人追上船所用
时间为t，人在岸上跑的时间为，则人在水中游的时间
为，人要追上小船，则人船运动的路线满足如图所示的三角形.
由余弦是理得
即
整理得.
要使上式在（0，1）范围内有实数解，则有且
解得.
故当船速在内时，人船运动路线可物成三角形，即人能追上小船，船能使人追上的最大速度为，由此可见当船速为2.5km/h时, 人可以追上小船.
涉及解答三角形的实际应用题是近年高考命题的一个冷点, 复课时值得关注.
有一个受到污染的湖泊，其湖水的容积为V立方米，每天流出湖泊的水量都是r立方米，现假设下雨和蒸发正好平衡，且污染物质与湖水能很好地混合，用g(t)表示某一时刻t每立方米湖水所含污染物质的克数，我们称为在时刻t时的湖水污染质量分数，已知目前污染源以每天p克的污染物质污染湖水，湖水污染质量分数满足关系式g(t)= +［g(0)- ］·e(p≥0),其中，g(0)是湖水污染的初始质量分数.
（1）当湖水污染质量分数为常数时，求湖水污染的初始质量分数；
（2）求证：当g(0)< 时，湖泊的污染程度将越来越严重；
（3）如果政府加大治污力度，使得湖泊的所有污染停止，那么需要经过多少天才能使湖水的污染水平下降到开始时污染水平的5%？
讲解（1）∵g(t)为常数, 有g(0)-=0,
∴g(0)= . (2) 我们易证得0<t1<t2, 则
g(t1)-g(t2)=［g(0)- ］e-［g(0)- ］e=［g(0)- ］［e-e］=［g(0)- ］,
∵g(0)·<0,t1<t2,e>e,∴g(t1)<g(t2) .
故湖水污染质量分数随时间变化而增加，污染越来越严重.
(3)污染停止即P=0，g(t)=g(0)·e,设经过t天能使湖水污染下降到初始污染水平5%即g(t)=5% g(0)
∴=e，∴t= ln20，
故需要 ln20天才能使湖水的污染水平下降到开始时污染水平的5%.
12．某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆，租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．
（Ⅰ）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？
（Ⅱ）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？
讲解：（Ⅰ）当每辆车的月租金定为3600元时，未租出的车辆数为，所以这时租出了88辆车．
（Ⅱ）设每辆车的月租金定为x元，则租赁公司的月收益为：
．
整理得：．
所以，当时，最大，最大值为307050．即当每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益是307050元．
点评：实际问题的最值要注意自变量的取值范围．
13.某机床厂今年年初用98万元购进一台数控机床，并立即投入生产使用，计划第一年维修、保养费用12万元，从第二年开始，每年所需维修、保养费用比上一年增加4万元，该机床使用后，每年的总收入为50万元，设使用x年后数控机床的盈利额为y万元.
（1）写出y与x之间的函数关系式；
（2）从第几年开始，该机床开始盈利（盈利额为正值）；
(3 ) 使用若干年后，对机床的处理方案有两种：
(i )当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该机床；
(ii )当盈利额达到最大值时，以12万元价格处理该机床，问用哪种方案处理较为合算？请说明你的理由.
讲解 本例兼顾应用性和开放性, 是实际工作中经常遇到的问题.
（1）
=.
（2）解不等式 ＞0,
得 ＜x＜.
∵　x∈N， 　∴　3 ≤x≤ 17.
故从第3年工厂开始盈利.
（3）(i) ∵　
≤40
当且仅当时，即x=7时，等号成立.
∴　到2008年，年平均盈利额达到最大值，工厂共获利12×7+30=114万元.
(ii)　　y=-2x2+40x-98= -2（x-10）2 +102，
当x=10时，ymax=102.
故到2011年，盈利额达到最大值，工厂共获利102+12=114万元.
解答函数型最优化实际应用题，二、三元均值不等式是常用的工具.
二、建构不等关系的应用性问题
不等式应用题，多以函数面目出现，以最优化的形式展现，解答这一类问题，不仅需要不等式的相关知识（不等式的性质、解不等式、均值不等式等），而且往往涉及函数、数列、几何等多方面知识，综合性强，难度可大可小，是高考和各地模拟题的命题热点．
1. 某人上午7时乘摩托艇以匀速V千米/小时（4≤V≤20）从A港出发前往50千米处的B港，然后乘汽车以匀速W千米/小时（30≤W≤100）自B港向300千米处的C市驶去，在同一天的16时至21时到达C市, 设汽车、摩托艇所需的时间分别是x小时、y小时，若所需经费元，那么V、W分别为多少时，所需经费最少？并求出这时所花的经费.
讲解: 题中已知了字母, 只需要建立不等式和函数模型进行求解.
由于又,

则z最大时P最小.
作出可行域，可知过点（10，4）时, z有最大值38，
∴P有最小值93，这时V=12.5，W=30.
视这是整体思维的具体体现, 当中的换元法是数学解题的常用方法.

甲
乙
丙
维生素A（单位/千克）
600
700
400
维生素B（单位/千克）
800
400
500
成本（元/千克）
11
9
4
2. 某商场经过市场调查分析后得知，2003年从年初开始的前n个月内，对某种商品需求的累计数（万件）近似地满足下列关系： （Ⅰ）问这一年内，哪几个月需求量超过1.3万件？
（Ⅱ）若在全年销售中，将该产品都在每月初等量投放市场，为了保证该商品全年不脱销，每月初至少要投放多少件商品？（精确到件）
讲解：（Ⅰ）首先，第n个月的月需求量＝
∵，
∴ ．
当时，
∴
令，即 ，解得：，
∵ n∈N， ∴n = 5 ，6
即这一年的5、6两个月的需求量超过1.3万件．
（Ⅱ）设每月初等量投放商品a万件，要使商品不脱销，对于第n个月来说，不仅有本月投放市场的a万件商品，还有前几个月未销售完的商品．所以，需且只需：，
∴
又∵ ∴
即每月初至少要投放11112件商品，才能保证全年不脱销．
点评：实际问题的解答要注意其实际意义．本题中的最小值，不能用四舍五入的方法得到，否则，不符合题意．
3．已知甲、乙、丙三种食物的维生素A、B含量及成本如下表，若用甲、乙、丙三种食物各x千克，y千克，z千克配成100千克混合食物，并使混合食物内至少含有56000单位维生素A和63000单位维生素B.
（Ⅰ）用x，y表示混合食物成本c元；
（Ⅱ）确定x，y，z的值，使成本最低．
讲解：（Ⅰ）由题，，又，所以，．
（Ⅱ）由得，，
所以，
所以，
当且仅当时等号成立．
所以，当x=50千克，y=20千克，z=30千克时，混合物成本最低，为850元．
点评：本题为线性规划问题，用解析几何的观点看，问题的解实际上是由四条直线所围成的区域上使得最大的点．不难发现，应在点M（50，20）处取得．
三、建构数列模型的应用性问题
数列作为特殊的函数，在高中数学中占有相当重要的位置，涉及实际应用的问题广泛而多样，如：增长率、银行信贷等．解答这一类问题，要充分应用观察、归纳、猜想的手段，注意其间的递推关系，建立出等差、等比、或递推数列的模型．
建立数列的递推关系来解题将有可能成为高考命题革新的一个方向．
1．某县位于沙漠边缘，当地居民与风沙进行着艰苦的斗争，到2000年底全县的绿地已占全县总面积的30%．从2001年起，市政府决定加大植树造林、开辟绿地的力度，则每年有16%的原沙漠地带变成了绿地，但同时，原有绿地的4%又被侵蚀，变成了沙漠．
（Ⅰ）在这种政策之下，是否有可能在将来的某一年，全县绿地面积超过80%？
（Ⅱ）至少在多少年底，该县的绿地面积才能超过全县总面积的60%？
讲解：本题为实际问题，首先应该读懂题意，搞清研究对象，然后把它转化为数学问题．不难看出，这是一道数列型应用问题．因此，我们可以设：
全县面积为1，记2000年底的全县绿地面积占总面积的百分比为，经过n年后全县绿地面积占总面积的百分比为，则我们所要回答的问题就是：
（Ⅰ）是否存在自然数，使得>80% ？
（Ⅱ）求使得>60%成立的最小的自然数.
为了解决这些问题，我们可以根据题意，列出数列的相邻项之间的函数关系，然后由此递推公式出发，设法求出这个数列的通项公式．
由题可知：，

所以，当时，，两式作差得：

又，
所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列．
所以，
由上式可知：对于任意，均有．即全县绿地面积不可能超过总面积的80%．
（Ⅱ）令，得，
由指数函数的性质可知：随的增大而单调递减，因此，我们只需从开始验证，直到找到第一个使得的自然数即为所求．
验证可知：当时，均有，而当时，，
由指数函数的单调性可知：当时，均有．
所以，从2000年底开始，5年后，即2005年底，全县绿地面积才开始超过总面积的60%．
点评：（Ⅱ）中，也可通过估值的方法来确定的值．
2. 某铁路指挥部接到预报，24小时后将有一场超历史记录的大暴雨，为确保万无一失，指挥部决定在24小时内筑一道归时堤坝以防山洪淹没正在紧张施工的遂道工程。经测算，其工程量除现有施工人员连续奋战外，还需要20辆翻斗车同时作业24小时。但是，除了有一辆车可以立即投入施工外，其余车辆需要从各处紧急抽调，每隔20分钟有一辆车到达并投入施工，而指挥部最多可组织25辆车。问24小时内能否完成防洪堤坝工程？并说明理由.
讲解: 引入字母, 构建等差数列和不等式模型.
由20辆车同时工作24小时可完成全部工程可知，每辆车，每小时的工作效率为，设从第一辆车投入施工算起，各车的工作时间为a1，a2，…, a25小时，依题意它们组成公差（小时）的等差数列，且
，化简可得.
解得.
可见a1的工作时间可以满足要求，即工程可以在24小时内完成.
3. 某学校为了教职工的住房问题，计划征用一块土地盖一幢总建筑面积为A(m2)的宿舍楼.已知土地的征用费为2388元/m2，且每层的建筑面积相同，土地的征用面积为第一层的2.5倍.经工程技术人员核算，第一、二层的建筑费用相同都为445元/m2，以后每增高一层，其建筑费用就增加30元/m2.试设计这幢宿舍楼的楼高层数，使总费用最少，并求出其最少费用.（总费用为建筑费用和征地费用之和）.
讲解: 想想看, 需要引入哪些字母? 怎样建构数学模型?
设楼高为n层，总费用为y元，则征地面积为，征地费用为元，楼层建筑费用为[445+445+（445+30）+（445+30×2）+…+445+30×（n－2）] 元，从而
（元）
当且仅当 , n=20（层）时，总费用y最少.
故当这幢宿舍楼的楼高层数为20层时, 最少总费用为1000A元.
5．某人计划年初向银行贷款10万元用于买房．他选择10年期贷款，偿还贷款的方式为：分10次等额归还，每年一次，并从借后次年年初开始归还，若10年期贷款的年利率为4％，且每年利息均按复利计算（即本年的利息计入次年的本金生息），问每年应还多少元（精确到1元）？
讲解：作为解决这个问题的第一步，我们首先需要明确的是：如果不考虑其它因素，同等款额的钱在不同时期的价值是不同的．比如说：现在的10元钱，其价值应该大于1年后的10元钱．原因在于：现在的10元钱，在1年的时间内要产生利息．
在此基础上，这个问题，有两种思考的方法：
法1．如果注意到按照贷款的规定，在贷款全部还清时，10万元贷款的价值，与这个人还款的价值总额应该相等．则我们可以考虑把所有的款项都转化到同一时间（即贷款全部付清时）去计算．
10万元，在10年后（即贷款全部付清时）的价值为元．
设每年还款x元．则第1次偿还的x元，在贷款全部付清时的价值为；
第2次偿还的x元，在贷款全部付清时的价值为；
……；
第10次偿还的x元，在贷款全部付清时的价值为元．于是：
105×(1+4％)10= x(1+4％)9+x(1＋4％)8＋x(1＋4％)7+…+x
由等比数列求和公式可得：．其中

所以，
法2．从另一个角度思考，我们可以分步计算．考虑这个人在每年还款后还欠银行多少钱．
仍然设每年还款x元．则第一年还款后，欠银行的余额为：元；
如果设第k年还款后，欠银行的余额为元，则．
不难得出：＝105×(1+4％)10－x(1+4％)9－x(1＋4％)8－x(1＋4％)7－…－x
另一方面，按道理，第10次还款后，这个人已经把贷款全部还清了，故有．由此布列方程，得到同样的结果．
点评：存、贷款问题为典型的数列应用题，解决问题的关键在于：1．分清单利、复利（即等差与等比）；2．寻找好的切入点（如本题的两种不同的思考方法），恰当转化．3.一般来说，数列型应用题的特点是：与n有关．
6. 某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同.为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆?
讲解 设2001年末汽车保有量为万辆，以后各年末汽车保有量依次为万辆，万辆，……，每年新增汽车万辆，则
，
所以，当时，，两式相减得：
（1）显然，若，
则，
即，
此时
（2）若，则数列为以为首项，以为公比的等比数列，所以，.
（i）若，则对于任意正整数，均有，
所以，，此时，
（ii）当时，，则对于任意正整数，均有，所以，，
由，得

，
要使对于任意正整数，均有恒成立，
即
对于任意正整数恒成立，解这个关于x的一元一次不等式 , 得
,
上式恒成立的条件为：，由于关于的函数单调递减，所以，.
本题是2002年全国高考题，上面的解法不同于参考答案，其关键是化归为含参数的不等式恒成立问题，其分离变量后又转化为函数的最值问题.
7．现有流量均为300的两条河流A、B会合于某处后，不断混合，它们的含沙量分别为2和0.2．假设从汇合处开始，沿岸设有若干个观测点，两股水流在流经相邻两个观测点的过程中，其混合效果相当于两股水流在1秒钟内交换100的水量，即从A股流入B股100水，经混合后，又从B股流入A股100水并混合．问：从第几个观测点开始，两股河水的含沙量之差小于0.01（不考虑泥沙沉淀）？
讲解：本题的不等关系为“两股河水的含沙量之差小于0.01”．但直接建构这样的不等关系较为困难．为表达方便，我们分别用来表示河水在流经第n个观测点时，A水流和B水流的含沙量．
则＝2，＝0.2，且
．（＊）
由于题目中的问题是针对两股河水的含沙量之差，所以，我们不妨直接考虑数列．
由（＊）可得：

所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列．
所以，．
由题，令< 0.01，得．所以，．
由得，所以，．
即从第9个观测点开始，两股水流的含沙量之差小于0.01．
点评：本题为数列、不等式型综合应用问题，难点在于对题意的理解．
8.为促进个人住房商品化的进程，我国1999年元月公布了个人住房公积金贷款利率和商业性贷款利率如下：
贷款期 (年数)
公积金贷款 月利率(‰)
商业性贷款 月利率(‰)
……
11
12
13
14
15
……
……
4.365
4.455
4.545
4.635
4.725
……
……
5.025
5.025
5.025
5.025
5.025
……

汪先生家要购买一套商品房，计划贷款25万元，其中公积金贷款10万元，分十二年还清；商业贷款15万元，分十五年还清．每种贷款分别按月等额还款，问：
(1)汪先生家每月应还款多少元?
(2)在第十二年底汪先生家还清了公积金贷款，如果他想把余下的商业贷款也一次性还清；那么他家在这个月的还款总数是多少?
(参考数据：1.004455144＝1.8966，1.005025144＝2.0581，1.005025180＝2.4651)
讲解 设月利率为r，每月还款数