常系数非齐次高阶线性微分方程教学提纲.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,常系数非齐次高阶线性微分方程,(,以二次方程为例,),1、,2、,Euler方程:可化为常系数情形,1,一、二阶常系数线性,非齐次,微分方程:,根据解的结构定理,其通解为,非齐次方程特解,齐次方程通解,求特解的方法,根据,f,(,x,)的特殊形式,的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数.,待定系数法,2,1、,为实数,设特解为,其中 为待定多项式,代入原方程,得,(1)若,不是特征方程的根,则取,从而得到特解,形式为,为,m,次多项式.,Q,(,x,)为,m,次待定系数多项式,3,(2)若,是特征方程的,单根,为,m,次多项式,故特解形式为,(3)若,是特征方程的,重根,是,m,次多项式,故特解形式为,小结,对方程,此结论可推广到高阶常系数线性微分方程.,即,即,当 是特征方程的,k,重根,时,可设,特解,4,综上讨论,注：,上述结论可推广到,n,阶常系数非齐次线性微分方程（,k,是重根次数）.,5,例1.,的一个特解,.,解:,本题,而特征方程为,不是特征方程的根.,设所求特解为,代入方程:,比较系数,得,于是所求特解为,6,例2.,的通解,.,解:,本题,特征方程为,其根为,对应齐次方程的通解为,设非齐次方程特解为,比较系数,得,因此特解为,代入方程得,所求通解为,7,例3.,求解定解问题,解:,本题,特征方程为,其,根为,设非齐次方程特解为,代入方程得,故,故对应齐次方程通解为,原方程通解为,由初始条件得,所求解为,8,解,例4.,则由牛顿第二定律得,解得,代入上式得,9,2、,第二步,求出如下两个方程的特解,分析思路:,第一步,将,f,(,x,)转化为,第三步,利用叠加原理求出原方程的特解,第四步,分析原方程特解的特点,10,第一步,利用欧拉公式将,f,(,x,)变形,11,第二步,求如下两方程的特解,是特征方程的,k,重根(,k,=0,1),故,等式两边取共轭:,为方程,的特解.,设,则,有,特解:,12,第三步,求原方程的特解,利用第二步的结果,根据叠加原理,原方程有特解:,原方程,均为,m,次多项式.,13,第四步,分析,因,均为,m,次实,多项式.,本质上为实函数,14,小 结:,对非齐次方程,则可设特解:,其中,为特征方程的,k,重根(,k,=0,1),上述结论也可推广到高阶方程的情形.,15,例5.,的一个特解,.,解:,本题,特征方程,故设特解为,不是特征方程的根,代入方程得,比较系数,得,于是求得一个特解,16,例6.,的通解,.,解:,特征方程为,其根为,对应齐次方程的通解为,比较系数,得,因此特解为,代入方程:,所求通解为,为特征方程的单根,因此设非齐次方程特解为,17,例7.,解:,(1)特征方程,有二重根,所以设非齐次方程特解为,(2)特征方程,有根,利用叠加原理,可设非齐次方程特解为,设下列高阶常系数线性非齐次方程的特解形式:,18,当重力与弹性力抵消时,物体处于 平衡状态,例8,质量为,m,的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上,力作用下作往复运动,解:,阻力的大小与运动速度,下拉物体使它离开平衡位置后放开,若用手向,物体在弹性力与阻,取平衡时物体的位置为坐标原点,建立坐标系如图.,设时刻,t,物位移为,x,(,t,).,(1)自由振动,方程,：,成正比,方向相反.,建立位移满足的微分方程.,(2)强迫振动,方程,：,19,例9,求物体的运动规律.,解:,问题归结为求解无阻尼强迫振动方程,当,p,k,时,齐次通解:,非齐次特解形式:,因此原方程之解为,上例 中若设物体只受弹性恢复力,f,和铅直干扰力,代入可得:,20,当干扰力的角频率,p,固有频率,k,时,自由振动,强迫振动,当,p,=,k,时,非齐次特解形式:,代入可得:,方程的解为,21,若要利用共振现象,应使,p,与,k,尽量靠近,或使,随着,t,的增大,强迫振动的振幅,这时产生,共振现象,.,可无限增大,若要避免共振现象,应使,p,远离固有频率,k,;,p,=,k,.,自由振动,强迫振动,对机械来说,共振可能引起破坏作用,如桥梁被破坏,电机机座被破坏等,但对电磁振荡来说,共振可能起有,利作用,如收音机的调频放大即是利用共振原理.,22,内容小结,为特征方程的,k,(0,1,2)重根,则设特解为,为特征方程的,k,(0,1)重根,则设特解为,3.上述结论也可推广到高阶方程的情形.,23,思考与练习,时可设特解为,时可设特解为,提示:,1.,(填空),设,24,2.,求微分方程,的通解 (其中,为实数).,解:,特征方程,特征根:,对应齐次方程通解:,时,代入原方程得,故原方程通解为,时,代入原方程得,故原方程通解为,25,3.,已知二阶常微分方程,有特解,求微分方程的通解.,解:,将特解代入方程得恒等式,比较系数得,故原方程为,对应齐次方程通解:,原方程通解为,26,二、欧拉方程,欧拉方程,常系数线性微分方程,27,欧拉方程的算子解法:,则,计算繁!,28,则由上述计算可知:,用归纳法可证,于是欧拉方程,转化为常系数线性方程:,29,例1.,解:,则原方程化为,亦即,其根,则对应的齐次方程的通解为,特征方程,30,的通解为,换回原变量,得原方程通解,为,设特解:,代入确定系数,得,31,例2.,解:,将方程化为,(欧拉方程),则方程化为,即,特征根:,设特解:,代入 解得,A,=1,所求通解为,32,例3.,解:,由题设得定解问题,则化为,特征根:,设特解:,代入得,A,1,33,得通解为,利用初始条件,得,故所求特解为,34,思考:,如何解下述微分方程,提示:,原方程,直接令,35,