局域态与扩展态.doc

具有严格周期性格点排列的晶体，电子运动是公有化的，其Bloch波函数扩展在整个晶体中，这种态被称为扩展态。如果存在随机的无序杂质，晶格的周期性被破坏，此时电子波函数不再扩展在整个晶体中，而是局域在杂质周围，在空间中按指数形式衰减，这种态称为局域态。这是Anderson首先提出的概念，他因这方面的工作和van Vleck、Mott分享了1977年的Nobel物理奖。

　　1979年，Anderson、Abrahams、Wegner等人的工作发现，对于二维平面多体体系，如果不存在外加的磁场，那么任意小的无序杂质会使所有的电子处于局域态，电子不能在晶体中做长距离运动，因此二维体系必然是绝缘体，不可能存在金属导电行为。1981年，德国科学家von Klitzing将严格的二维电子体系置于垂直于该平面的磁场中，发现了整数量子Hall效应，他因此获得了Nobel物理奖。为了解释整数量子Hall效应中的有限电导，必须认为体系中既存在局域态，又存在扩展态。没有磁场时二维体系全是局域态，外加磁场后体系出现了扩展态，因此必然是磁场导致了扩展态的产生，问题是：外加的磁场如何使局域态变为扩展态？

　　我想到一个naive机制来解释。众所周知，二维电子处于外磁场中时其能谱形成Landau能级分布，电子的波函数呈现一个很特殊的性质，那就是x坐标和y坐标不对易，或者说x和y之间存在一个Heisenberg测不准关系，[x,y]=il*l，这里l是所谓的磁长度。x和y之间的测不准关系意味着x和y不可能同时被准确测量，也就是说，电子波函数不可能被局限在一个小的空间范围内。因此，当非对易效应重要时电子可能不再局域在无序杂质周围，而是扩展在比较大的空间范围。用一句话来描述就是，外加磁场引起的电子空间坐标测不准关系导致了Landau能级中扩展态的产生。

　　这只是naive的图象，如何用数学来定量描述？过去四天我一直在想这个问题，首先想到的方法是利用Wegner发展的非线性sigma模型在非对易空间的推广来描述。该模型在二维对易空间的重整化群分析是Polyakov、Brezin、Zinn-Justin给出的，对于物理上相关的情况，该模型是渐进自由的，beta函数小于零，对应的物理是体系是绝缘体，电子全处于局域态。如果在非对易空间上该模型的beta具有零点，那么就意味着存在金属导电行为，或者说存在扩展态。可惜，有理论分析表明该模型在非对易空间中是不可重整化的，虽然在做了超对称扩充之后可以重整化，但仍然是渐进自由的，不存在扩展态。看来这个方法不合适，必须另想办法。

　　第二个想到的思路是直接计算局域化长度，如果计算表明当坐标非对易重要时电子波函数的局域化长度很长，甚至趋于无穷大，就意味着存在扩展态。让我颇为沮丧的是我随后很快发现，早在十年前就有三个法国人在数学上证明了非对易空间中局域化长度的确可以变为无穷大，虽然仍有需要继续深入研究的问题，但核心结论他们已经得到。这实在不爽，就像认识了一个心仪的girl，做好了充分的思想准备，正准备追求时却发现她已经名花有主很久了。。。。。。