高三文科数学007.doc

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期数： 0509 SXG3 007
学科：文科数学 年级：高三 编稿老师：李晓松
审稿老师：杨志勇

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预 习 篇

高三文科数学预习篇五
------函数的最大值和最小值

【学法引导】
本节的重点利用导数求函数的最值.
函数的最值：
（1）函数最值的概念：设函数y=f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，函数f(x)在[a,b]上一切函数值中的最大（小）值，叫做函数y=f(x)的最大值（最小值）.
（2）连续函数的最值：如果f(x)是闭区间[a,b]上的连续函数，那么f(x)在闭区间[a,b]上必有最大值和最小值，且它的最大值是f(x)的极大值与极小值以及f(a),f(b)中的最大的，即

它的最小值是f(x)的极大值、极小值与f(a)、f(b)中的最小的，即

（3）开区间上的连续函数不一定有最值. 如函数，无最值.
（4）如果f(x)在(a,b)可导，且在区间(a,b)内只有一个点使，如果在此点达到极大（小）值（称单峰函数），那么函数在这点处就取得了最大（小）值.在这里，这个区间适用于开区间、闭区间或无穷区间.
【巧学妙思】
利用导数求函数的最值的方法：
设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，求f(x)的最大值与最小值的步骤一般是：
（1）求f(x)在(a,b)内的极值（极大值或极小值）；
（2）将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为函数f(x)的最大值，最小的一个为函数f(x)的最小值.
【应用举例】
例1 求函数在区间[－2，6]上的最大值与最小值.
解：，
令=0，得，
则f(－1)=20，f(3)=－12,
又端点处的函数值为f(－2)=－8－3×4－9×(－2)+15=13，f(6)=69，
∴.
例2 求函数在闭区间的最大值和最小值.
解：，
令=0，则,
则f(－1)=－2，f(1)=2，
又，f(3)=－18，
∴.
例3 用边长为60cm的正方形铁皮做一个无盖水箱，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接而成（如右图）.问水箱底边的长取多少cm时，水箱容积的最大，最大容积是多少？
解：设水箱底边长为xcm，则水箱高(单位：cm)，
水箱容积（单位：cm3）

从问题的实际情况看，如果x过小，水箱的底面积就很小，容积V也就很小；如果x过大，水箱的高就很小，容积V也就很小.因此，其中必有一适当的x值，使容积V取得最大值.
求V(x)的导数，得，
令即=0，解得（不合题意，舍去），.
当x在(0,60)内变化时，导数的正负情况如下表：
x
(0,40)
40
(40,60)

+
0
－
因此在x=40处，函数V(x)取得极大值，并且这个极大值就是函数V(x)的最大值.
将x=40代入V(x)，得最大容积
.
答：水箱的底边长取40cm时，容积最大，最大容积为16000cm3.

【强化训练】
1．给出下面四个命题：
①函数的最大值为10，最小值为；
②函数的最大值为17，最小值为1；
③函数的最大值为16，最小值－16；
④函数无最大值，也无最小值.
其中正确的命题有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．曲线（ ）
A．有四个极值 B．有两个极值
C．有三个极值 D．没有极值
3．下列四个命题：
①极值点所对应的曲线上的点如果有切线，则一定是水平的切线
②任何二次函数有唯一的极值点
③任何三次函数有两个极值点
④函数f(x)在[a,b]上的最大值就是函数f(x)在[a,b]上的最大的极大值
其中真命题是（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
4．求函数在[－2，2]上的最大值和最小值.
5．要利用铁丝网围一个矩形养鸡场，现在铁丝网长lm，只围三边，另一边为一道墙. 问长和宽为多少，才能使所围的鸡场面积最大.
6．把长8cm，宽5cm的矩形铁皮的四角切去相等的正方形，然后折成一个无盖的长方体的盒子.角上切去的正方形的边长为多少时，盒子的容积最大？
7．如图，已知一个正方形内接于边长为a的正方形中，问x取什么
值时，内接正方形的面积最小.

点击答案
1．B 2．B 3．A
4．.
5．设长为xm，则宽为m，
则鸡场面积，可求当时，.
6．设剪去的小正方形边长为x，则体积，
可求得x=1时，(cm3).
7．内接正方形面积，可求当时，内接正方形面积最小.