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2011年中考数学试题汇编之压轴题（一）
（黄冈市2011）24．（14分）如图所示，过点F（0，1）的直线y=kx＋b与抛物线交于M（x1，y1）和N（x2，y2）两点（其中x1＜0，x2＜0）．
F
M
N
N1
M1
F1
O
y
x
l
 第22题图
⑴求b的值．
⑵求x1•x2的值
⑶分别过M、N作直线l：y=－1的垂线，垂足分别是M1、N1，判断△M1FN1的形状，并证明你的结论．
⑷对于过点F的任意直线MN，是否存在一条定直线m，使m与以MN为直径的圆相切．如果有，请法度出这条直线m的解析式；如果没有，请说明理由．

答案：24．解：⑴b=1⑵显然和是方程组的两组解，解方程组消元得，依据“根与系数关系”得=－4
⑶△M1FN1是直角三角形是直角三角形，理由如下：
由题知M1的横坐标为x1，N1的横坐标为x2，设M1N1交y轴于F1，则F1M1•F1N1=－x1•x2=4，而FF1=2，所以F1M1•F1N1=F1F2，另有∠M1F1F=∠FF1N1=90°，易证Rt△M1FF1∽Rt△N1FF1，得∠M1FF1=∠FN1F1，故∠M1FN1=∠M1FF1＋∠F1FN1=∠FN1F1＋∠F1FN1=90°，所以△M1FN1是直角三角形．
⑷存在，该直线为y=－1．理由如下：
F
M
N
N1
M1
F1
O
y
x
l
 第22题解答用图
P
Q
直线y=－1即为直线M1N1．
如图，设N点横坐标为m，则

（黄石市2011年）24.（本小题满分9分）已知⊙与⊙相交于、两点，点在⊙上，为⊙上一点（不与，，重合），直线与⊙交于另一点。
（1）如图（8），若是⊙的直径，求证：；
（2）如图(9)，若是⊙外一点，求证：；
（3）如图（10），若是⊙内一点，判断（2）中的结论是否成立。

答案：24．（9分）证明：（1）如图（一），连接，
∵为⊙的直径 ∴
∴为⊙的直径 ∴在上
又，为的中点
∴△是以为底边的等腰三角形
∴ （3分）
（2）如图（二），连接，并延长交⊙与点，连
∵四边形内接于⊙ ∴
又∵ ∴
∴
又为⊙的直径 ∴
∴ （3分）
（3）如图（三），连接，并延长交⊙与点，连
∵ 又
∴
∴ 又
∴ （3分）
（黄石市2011年）25.（本小题满分10分）已知二次函数
（1）当时，函数值随的增大而减小，求的取值范围。
（2）以抛物线的顶点为一个顶点作该抛物线的内接正三角形（，两点在抛物线上），请问：△的面积是与无关的定值吗？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由。
（3）若抛物线与轴交点的横坐标均为整数，求整数的值。
x
y
0
A

答案：25．（10分）解：（1）∵
∴由题意得， （3分）
（2）根据抛物线和正三角形的对称性，可知轴，设抛物线的对称轴与交于点，则。设
∴
又

∴ ∴
∴，
∴定值 （3分）

x
y
0
A
N
B
M

（3）令，即时，有

由题意，为完全平方数，令
即
∵为整数， ∴的奇偶性相同
∴或
解得或
综合得
（2011年广东茂名市）第24题图
χ

如图，⊙P与轴相切于坐标原点O（0，0），与轴相交于点A（5，0），过点A的直线AB与轴的正半轴交于点B，与⊙P交于点C．
（1）已知AC=3，求点Ｂ的坐标； （４分）
（2）若AC=, D是OＢ的中点．问：点O、P、C、D四点是否在同一圆上？请说明理由．如果这四点在同一圆上，记这个圆的圆心为，函数的图象经过点，求的值（用含的代数式表示）． （４分）
解：

第24题备用图
χ

六、（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
24、解：（1）解法一：连接OC，∵OA是⊙P的直径，∴OC⊥AB，
在Rt△AOC中，，1分
在 Rt△AOC和Rt△ABO中，∵∠CAO=∠OAB
∴Rt△AOC∽Rt△ABO，····························2分
∴，即， ····················3分
∴ ， ∴····················4分
解法二：连接OC，因为OA是⊙P的直径， ∴∠ACO=90°
在Rt△AOC中，AO=5，AC=3，∴OC=4， ············1分
过C作CE⊥OA于点E，则：，
即：，∴，·························2分
∴ ∴，·········3分
设经过A、C两点的直线解析式为：．
把点A（5，0）、代入上式得：
， 解得：，
∴ ， ∴点 ．·4分
（2）点O、P、C、D四点在同一个圆上，理由如下：
连接CP、CD、DP，∵OC⊥AB，D为OB上的中点， ∴，
∴∠3=∠4，又∵OP=CP，∴∠1=∠2，∴∠1+∠3=∠2+∠4=90°，
∴PC ⊥CD，又∵DO⊥OP，∴Rt△PDO和Rt△PDC是同以PD为斜边的直角三角形，∴PD上的中点到点O、P、C、D四点的距离相等，
∴点O、P、C、D在以DP为直径的同一个圆上； ·················6分
由上可知，经过点O、P、C、D的圆心是DP的中点，圆心，
由（1）知：Rt△AOC∽Rt△ABO，∴，求得：AB=，在Rt△ABO中，
，OD=，
∴，点在函数的图象上，
∴， ∴． ················8分

（2011年广东茂名市）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点Ａ(0，4)，B(1，0)，C（5，0），抛物线对称轴与轴相交于点M．
（1）求抛物线的解析式和对称轴； （3分）
（2）设点P为抛物线（）上的一点，若以A、O、M、P为顶点的四边形四条边的长度为四个连续的正整数，请你直接写出点P的坐标； （2分）
（3）连接AC．探索：在直线AC下方的抛物线上是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请你求出点N的坐标；若不存在，请你说明理由． （3分）
第25题图
解：

25、解：（1）根据已知条件可设抛物线的解析式为，············1分
　　把点A（0，4）代入上式得：，
　　∴，···········2分
　　∴抛物线的对称轴是：．······································3分
（2）由已知，可求得P（6，4）． ···································5分
提示：由题意可知以A、O、M、P为顶点的四边形有两条边AO=4、OM=3，又知点P的坐标中，所以，MP>2,AP>2；因此以1、2、3、4为边或以2、3、4、5为边都不符合题意，所以四条边的长只能是3、4、5、6的一种情况，在Rt△AOM中，，因为抛物线对称轴过点M，所以在抛物线的图象上有关于点A的对称点与M的距离为5，即PM=5，此时点P横坐标为6，即AP=6；故以A、O、M、P为顶点的四边形的四条边长度分别是四个连续的正整数3、4、5、6成立，
即P（6，4）．···································5分
（注：如果考生直接写出答案P（６，４），给满分2分，但考生答案错误，解答过程分析合理可酌情给1分）
⑶法一：在直线AC的下方的抛物线上存在点N，使△NAC面积最大．
设N点的横坐标为，此时点N（，过点N作NG∥轴交AC于G；由点A（0，4）和点C（5，0）可求出直线AC的解析式为：；把代入得：，则G，
此时：NG=-（），
=． ······································７分
∴
∴当时，△CAN面积的最大值为，
由，得：，∴N（， -3）． ········ 8分
法二：提示：过点N作轴的平行线交轴于点E，作CF⊥EN于点F，则
（再设出点N的坐标，同样可求,余下过程略）
（重庆市潼南县2011年）26.（12分）如图,在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形,∠ACB=90,AC=BC,OA=1，
OC=4，抛物线经过A，B两点，抛物线的顶点为D．
（1）求b,c的值；
（2）点E是直角三角形ABC斜边AB上一动点(点A、B除外)，过点E作x轴的垂线
交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E的坐标；
（3）在（2）的条件下：①求以点Ｅ、Ｂ、Ｆ、Ｄ为顶点的四边形的面积；②在抛物线上
是否存在一点P，使△EFP是以EF为直角边的直角三角形? 若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，说明理由.

26. 解：（1）由已知得：A（-1，0） B（4，5）------------1分
∵二次函数的图像经过点A（-1，0）B(4,5)
∴ 　　------------2分
解得：b=-2 c=-3　　　　　　　　　　　------------3分
（2如２６题图：∵直线AB经过点A（-1，0） B(4,5)
∴直线AB的解析式为：y=x+1
∵二次函数
∴设点E(t， t+1),则F（t，） ------------4分
∴EF= ------------5分
　　=
∴当时，EF的最大值=
∴点E的坐标为（，）　------------------------6分
（3）①如２６题图：顺次连接点E、B、F、D得四边形ＥＢＦＤ．
可求出点F的坐标（，）,点D的坐标为（1，-4）
S　=　S　+　S
=
２６题备用图
= 　　-----------------------------------9分
②如２６题备用图：ⅰ)过点E作a⊥EF交抛物线于点P,设点P(m,)
则有： 解得:,
∴,　
ⅱ）过点F作b⊥EF交抛物线于，设（n，）
则有： 　　解得： ，（与点F重合，舍去）∴
综上所述：所有点P的坐标：，（. 能使△EFP组成以EF为直角边的直角三角形．------------------------------------12分
（江苏省宿迁市2011年）26．（本题满分10分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，P是反比例函数y＝（x＞0）图象上的任意一点，以P为圆心，PO为半径的圆与x、y轴分别交于点A、B．
（1）判断P是否在线段AB上，并说明理由；
（2）求△AOB的面积；
（第26题）
（3）Q是反比例函数y＝（x＞0）图象上异于点P的另一点，请以Q为圆心，QO
半径画圆与x、y轴分别交于点M、N，连接AN、MB．求证：AN∥MB．

解：（1）点P在线段AB上，理由如下：
∵点O在⊙P上，且∠AOB＝90°
∴AB是⊙P的直径
∴点P在线段AB上．
（2）过点P作PP1⊥x轴，PP2⊥y轴，由题意可知PP1、PP2
是△AOB的中位线，故S△AOB＝OA×OB＝×2 PP1×PP2
∵P是反比例函数y＝（x＞0）图象上的任意一点
∴S△AOB＝OA×OB＝×2 PP1×2PP2＝2 PP1×PP2＝12．
（3）如图，连接MN，则MN过点Q，且S△MON＝S△AOB＝12．
∴OA·OB＝OM·ON
∴
∵∠AON＝∠MOB
∴△AON∽△MOB
∴∠OAN＝∠OMB
∴AN∥MB．

（江苏省宿迁市2011年）27．（本题满分12分）如图，在边长为2的正方形ABCD中，P为AB的中点，Q为边CD上一动点，设DQ＝t（0≤t≤2），线段PQ的垂直平分线分别交边AD、BC于点M、N，过Q作QE⊥AB于点E，过M作MF⊥BC于点F．
（1）当t≠1时，求证：△PEQ≌△NFM；
（2）顺次连接P、M、Q、N，设四边形PMQN的面积为S，求出S与自变量t之间的函数关系式，并求S的最小值．
（第27题）
解：（1）∵四边形ABCD是正方形
∴∠A＝∠B＝∠D＝90°，AD＝AB
∵QE⊥AB，MF⊥BC
∴∠AEQ＝∠MFB＝90°
∴四边形ABFM、AEQD都是矩形
∴MF＝AB，QE＝AD，MF⊥QE
又∵PQ⊥MN
∴∠EQP＝∠FMN
又∵∠QEP＝∠MFN＝90°
∴△PEQ≌△NFM．
（2）∵点P是边AB的中点，AB＝2，DQ＝AE＝t
∴PA＝1，PE＝1－t，QE＝2
由勾股定理，得PQ＝＝
∵△PEQ≌△NFM
∴MN＝PQ＝
又∵PQ⊥MN
∴S＝＝＝t2－t＋
∵0≤t≤2
∴当t＝1时，S最小值＝2．
综上：S＝t2－t＋，S的最小值为2．

（江苏省宿迁市2011年）28．（本题满分12分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝1，BC＝，以点C为圆心，CB为半径的弧交CA于点D；以点A为圆心，AD为半径的弧交AB于点E．
　（1）求AE的长度；
（第28题）
（2）分别以点A、E为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点F（F与C在AB两侧），连接AF、EF，设EF交弧DE所在的圆于点G，连接AG，试猜想∠EAG的大小，并说明理由．
解：（1）在Rt△ABC中，由AB＝1，BC＝得 AC＝＝
∵BC＝CD，AE＝AD
∴AE＝AC－AD＝．
（2）∠EAG＝36°，理由如下：
∵FA＝FE＝AB＝1，AE＝
∴＝
∴△FAE是黄金三角形
∴∠F＝36°，∠AEF＝72°
∵AE＝AG，FA＝FE
∴∠FAE＝∠FEA＝∠AGE
∴△AEG∽△FEA
∴∠EAG＝∠F＝36°．

（2011年广东省）10．如图(1)，将一个正六边形各边延长，构成一个正六角星形AFBDCE，它的面积为1；取△ABC和△DEF各边中点，连接成正六角星形A1F1B1D1C1E1，如图(2)中阴影部分；取△A1B1C1和△D1E1F1各边中点，连接成正六角星形A2F2B2D2C2E2，如图(3)中阴影部分；如此下去…，则正六角星形A4F4B4D4C4E4的面积为_________________．
题10图（1）
A1
B
C
D
A
F
E
B
C
D
A
F
E
B
C
D
A
F
E
B1
C1
F1
D1
E1
A1
B1
C1
F1
D1
E1
A2
B2
C2
F2
D2
E2
题10图（2）
题10图（3）

答案：

（2011年广东省）21．如图（1），△ABC与△EFD为等腰直角三角形，AC与DE重合，AB=AC=EF=9，∠BAC=∠DEF=90º，固定△ABC，将△DEF绕点A顺时针旋转，当DF边与AB边重合时，旋转中止．现不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设DE，DF(或它们的延长线)分别交BC(或它的延长线) 于G，H点，如图(2)

题21图(1)
B
H
F
A（D）
G
C
E
C（E）
B
F
A（D）
题21图(2)

（1）问：始终与△AGC相似的三角形有 及 ；
（2）设CG=x，BH=y，求y关于x的函数关系式（只要求根据图(2)的情形说明理由）
（3）问：当x为何值时，△AGH是等腰三角形.

（1）、△HAB △HGA；
（2）、由△AGC∽△HAB，得AC/HB=GC/AB，即9/y=x/9，故y=81/x (0<x<)
（3）因为：∠GAH= 45°
①当∠GAH= 45°是等腰三角形.的底角时，如图（1）：可知CG=x=/2
②当∠GAH= 45°是等腰三角形.的顶角时, 如图（2）：由△HGA∽△HAB
知：HB= AB=9，也可知BG=HC，可得：CG=x=18-
B
（D）
A
F
E
G
（H）
C
B
（D）
A
F
E
G
H
C

图（1） 图（2）

（2011年凉山州）如图，抛物线与轴交于（，0）、（，0）两点，且，与轴交于点，其中是方程的两个根。
（1）求抛物线的解析式；
（2）点是线段上的一个动点，过点作∥，交于点，连接，当的面积最大时，求点的坐标；
（3）点在（1）中抛物线上，点为抛物线上一动点，在轴上是否存在点，使以为顶点的四边形是平行四边形，如果存在，求出所有满足条件的点的坐标，若不存在，请说明理由。
y
x
O
B
M
N
C
A
28题图

28．（1）∵，∴，。
∴，。····················1分
又∵抛物线过点、、，
故设抛物线的解析式为，
将点的坐标代入，求得。
　　∴抛物线的解析式为。········3分
（2）设点的坐标为（，0），过点作轴于点（如图（1））。
∵点的坐标为（，0），点的坐标为（6，0），
∴，。···························4分
∵，∴。
∴，∴，∴。·················5分
y
x
O
B

E
A
图（2）

D
∴
······6分
。
∴当时，有最大值4。
此时，点的坐标为（2，0）。··············7分
（3）∵点（4，）在抛物线上，
y
x
O
B

A
图（3）

D

∴当时，，
∴点的坐标是（4，）。
如图（2），当为平行四边形的边时，，
∵（4，），∴（0，），。
∴，。 ··········9分
如图（3），当为平行四边形的对角线时，
设，则平行四边形的对称中心为
（，0）。·················10分
∴的坐标为（，4）。
把（，4）代入，得。
解得 。
，。····