数学冲刺140分最后大题精讲220081018_3918726_0.doc

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高考数学140分必读之把关题解析30讲
1．杭州二模
21． (本小题满分14分)

第21题
设双曲线=1( a > 0, b > 0 )的右顶点为A，P是双曲线上异于顶点的一个动点，从A引双曲线的两条渐近线的平行线与直线OP分别交于Q和R两点.
(1) 证明：无论P点在什么位置，总有||2 = |·| ( O为坐标原点)；
(2) 若以OP为边长的正方形面积等于双曲线实、虚轴围成的矩形面积，求双曲线离心率的取值范围；
解：(1) 设OP：y = k x, 又条件可设AR: y = (x – a ),
解得：= (,), 同理可得= (,),
∴|·| =|+| =. 4分
设 = ( m, n ) , 则由双曲线方程与OP方程联立解得:
m2 =, n2 = ,
∴ ||2 = :m2 + n2 = + = ,
∵点P在双曲线上，∴b2 – a2k2 > 0 .
∴无论P点在什么位置，总有||2 = |·| . 4分
（2）由条件得：= 4ab, 2分
即k2 = > 0 , ∴ 4b > a, 得e > 2分
22. (本小题满分12分)
已知常数a > 0, n为正整数，f n ( x ) = x n – ( x + a)n ( x > 0 )是关于x的函数.
(1) 判定函数f n ( x )的单调性，并证明你的结论.
(2) 对任意n ³ a , 证明f `n + 1 ( n + 1 ) < ( n + 1 )fn`(n)
解: (1) fn `( x ) = nx n – 1 – n ( x + a)n – 1 = n [x n – 1 – ( x + a)n – 1 ] ,
∵a > 0 , x > 0, ∴ fn `( x ) < 0 , ∴ f n ( x )在（0，+∞）单调递减. 4分
（2）由上知：当x > a>0时, fn ( x ) = xn – ( x + a)n是关于x的减函数,
∴ 当n ³ a时, 有：(n + 1 )n– ( n + 1 + a)n £ n n – ( n + a)n. 2分
又 ∴f `n + 1 (x ) = ( n + 1 ) [xn –( x+ a )n ] ,
∴f `n + 1 ( n + 1 ) = ( n + 1 ) [(n + 1 )n –( n + 1 + a )n ] < ( n + 1 )[ nn – ( n + a)n] = ( n + 1 )[ nn – ( n + a )( n + a)n – 1 ] 2分
( n + 1 )fn`(n) = ( n + 1 )n[n n – 1 – ( n + a)n – 1 ] = ( n + 1 )[n n – n( n + a)n – 1 ], 2分
∵( n + a ) > n ,
∴f `n + 1 ( n + 1 ) < ( n + 1 )fn`(n) . 2分
2．杭州一模
21. (本小题满分12分)
已知：y = f (x) 定义域为［–1，1］，且满足：f (–1) = f (1) = 0 ，对任意u ,vÎ[–1，1］，都有|f (u) – f (v) | ≤ | u –v | .
(1) 判断函数p ( x ) = x2 – 1 是否满足题设条件？
(2) 判断函数g(x)=，是否满足题设条件？
解： (1) 若u ,v Î [–1，1]， |p(u) – p (v)| = | u2 – v2 |=| (u + v )(u – v) |，
取u = Î[–1，1]，v = Î[–1，1],
则 |p (u) – p (v)| = | (u + v )(u – v) | = | u – v | > | u – v |，
所以p( x)不满足题设条件.
（2）分三种情况讨论：
10. 若u ,v Î [–1，0]，则|g(u) – g (v)| = |(1+u) – (1 + v)|=|u – v |，满足题设条件；
20. 若u ,v Î [0，1]， 则|g(u) – g(v)| = |(1 – u) – (1 – v)|= |v –u|，满足题设条件；
30. 若uÎ[–1，0]，vÎ[0，1]，则：
|g (u) –g(v)|=|(1 – u) – (1 + v)| = | –u – v| = |v + u | ≤| v – u| = | u –v|，满足题设条件;
40 若uÎ[0，1]，vÎ[–1，0], 同理可证满足题设条件.
综合上述得g(x)满足条件.

22. (本小题满分14分)
已知点P ( t , y )在函数f ( x ) = (x ¹ –1)的图象上，且有t2 – c2at + 4c2 = 0 ( c ¹ 0 ).
(1) 求证：| ac | ³ 4;
(2) 求证：在(–1，+∞）上f ( x )单调递增.
(3) (仅理科做)求证：f ( | a | ) + f ( | c | ) > 1.
证：(1) ∵ tÎR, t ¹ –1,
∴ ⊿ = (–c2a)2 – 16c2 = c4a2 – 16c2 ³ 0 ，
∵ c ¹ 0, ∴c2a2 ³ 16 , ∴| ac | ³ 4.
(2) 由 f ( x ) = 1 – ,
法1. 设–1 < x1 < x2, 则f (x2) – f ( x1) = 1– –1 + = .
∵ –1 < x1 < x2, ∴ x1 – x2 < 0, x1 + 1 > 0, x2 + 1 > 0 ,
∴f (x2) – f ( x1) < 0 , 即f (x2) < f ( x1) , ∴x ³ 0时，f ( x )单调递增.
法2. 由f ` ( x ) = > 0 得x ¹ –1,
∴x > –1时，f ( x )单调递增.
（3）（仅理科做）∵f ( x )在x > –1时单调递增，| c | ³ > 0 ,
∴f (| c | ) ³ f () = =
f ( | a | ) + f ( | c | ) = + > +=1.
即f ( | a | ) + f ( | c | ) > 1.
3．南通二模
19．（本小题满分15分）
设定义在R上的函数（其中∈R，i=0,1,2,3,4），当
x= －1时，f (x)取得极大值，并且函数y=f (x+1)的图象关于点（－1，0）对称．
（1） 求f (x)的表达式；
（2） 试在函数f (x)的图象上求两点，使这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在区间上；
（3） 若，求证：
解：（1）…………………………5分
（2）或…………10分
（3）用导数求最值，可证得……15分

20．（本小题满分13分）
设M是椭圆上的一点，P、Q、T分别为M关于y轴、原点、x轴的对称点，N为椭圆C上异于M的另一点，且MN⊥MQ，QN与PT的交点为E，当M沿椭圆C运动时，求动点E的轨迹方程．
解：设点的坐标
则……1分
………………………………………………………3分
由（1）－（2）可得………………………………6分
又MN⊥MQ，所以
直线QN的方程为，又直线PT的方程为……10分
从而得所以
代入（1）可得此即为所求的轨迹方程.………………13分

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