湖北省黄冈中学等八校2013届高三第一次联考理科数学试题.doc

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2013届高三第一次联考数学试题（理）
考试时间：2012年12月21日下午15:00——17:00 试卷满分：150分

一、 选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个符合一目要求的.
1. 集合A=，集合B=，则( )
A. B. C. D.
2. 若命题p:，则对命题p的否定是（ ）
A B
C. D.
3. 某实心机器零件的三视图如图所示，该机器零件的体积为（ ）
A. B. C. D.

4. 等比数列各项为正，成等差数列.为的前n项和，则=（ ）
A.2 B. C. D.
5. 如图MN是半圆O的直径，MN=2，等边三角形OAB的顶点A、B在半圆弧上，且AB//MN，点P半圆弧上的动点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.

6. 若双曲线的一条渐近线的倾斜角，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7. 在中，则（ ）
A. B. C. D.
8. 已知，则是的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
9. 若实数满足：，则的最大值是（ ）
A.3 B. C.5 D
10. 已知函数，函数.关于的零点，下列判断不正确的是（ ）
A.若有一个零点 B.若有两个零点
C.若有三个零点 D.若有四个零点
二、 填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.
（一）必做题（11-14题）
11.已知复数为虚数单位，则的共轭复数是 .
12.函数，，则从小到大的排列是 .
13.阅读如图所示程序框图，运行相应程序，输出结果= .

14. 如图把函数
，依次称为在上的第1项、2项、3项、4项、5项多项式逼近函数.以此类推，请将的项多项式逼近函数在横线上补充完整：( ) .
（二）选做题（请考生在15、16两题中任选一题作答.如果全选，则按第15题作答结果计分）
15. （选修4-1：几何证明选讲）
如图过点作圆的一条切线，切点为，交圆于点.
若,则 .
16. (选修4-4：坐标系与参数方程）
曲线的极坐标方程为：，化成普通方程为 .
三、 解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
A． （本小题满分12分）
函数 的最大值为2，其图像相邻两个对称中心之间的距离为，且经过点.
(1) 求函数的单调递增区间；
(2) 若，且，求的值.

18. （本小题满分12分）
已知数列满足：.
（1） 证明数列是等差数列，并求的通项公式；

第一次八校联考数学（理）试题 第3页 （共5页）

（2） 数列满足：，求的前项和.

19. （本小题满分12分）
如图I，平面四边形中，把沿直线折起，使得平面
平面，连接得到如图II所示四面
体.设点分别是
的中点.连接交于点,连接
.
（1） 证明：；
（2） 求二面角的大小.

20.（本小题满分12分）
在淘宝网上，某店铺专卖当地某种特产.由以往的经验表明，不考虑其他因素，该特产每日的销售量（单位：千克）与销售价格（单位：元/千克，）满足：当时，，；当时，.已知当销售价格为2元/千克时，每日可售出该特产700千克；当销售价格为3元/千克时，每日可售出150千克.
18. 求的值，并确定关于的函数解析式；
19. 若该特产的销售成本为1元/千克，试确定销售价格的值，使店铺每日销售该特产所获利润最大（精确但0.01元/千克）.
21. （本小题满分13分）
如图所示，过点作直线交抛物线于两点，且,过作轴的垂线交抛物线于点.连接记三角形的面积为,记直线与抛物线所围成的阴影区域的面积为.
（1） 求的取值范围；
（2） 当最大时，求的值；
（3） 是否存在常数，使得若存在，求出的值；
若不存在，请说明理由.
第一次八校联考数学（理）试题 第4页 （共5页）
22. （本小题满分14分）
已知函数的定义域为，其中实数满足.直线是的图像在处的切线.
（1） 求的方程：；
（2） 若恒成立，试确定的取值范围；
（3） 若，求证：.
注：当为实数时，有求导公式.

湖北省八校2013届高三第一次联考数学（理科）参考答案

一 选择题：
1．D 2．A 3．A 4．C 5．B 6．A 7．B 8． A 9．C 10．D
二 填空题
11．
12.
13. 3
14． [供参考：，（i为虚数单位）]
15.
16.

三 解答题：
17．
解：（１）由已知： ……….3’
令 得
所以单调递增区间是； ……….6’
（2）由，得，
所以
=
=． ………12’
18．
解：
（1）因为
所以
所以{}是首项为3，公差为3的等差数列。 　　．．．．．．．．．．．．．．４＇
所以，
所以 ； ．．．．．．．．．．．．．．．．．．５＇
（２）由已知 ．．．．．．．．．．．．．．．．6’
　①
②
① － ②得

．．．．．．．．．．．．．．．．9’
所以
． ．．．．．．．．．．．．．．．．12’

19．
解： （以下仅提供一种解法，其它解法酌情给分）
(1) 由已知，是等边三角形，取的中点,连接、CM、FM
在三角形ABM中，BM=3，AB=4，B=，
由余弦定理得AM=
在三角形CBM中，BC=2，BM=3，,得CM=
所以AM=CM，
因为F为AC中点，所以MFAC
由已知，G为三角形ABC的重心，
所以BG：GF=BO：OM=2：1
所以OG//MF，
所以；　　　　　　　　　　　　
．．．．．．．．．．．．．．．．．6＇
(2)平面平面,
平面平面=BD

面ABD

取AD中点N，连接CN，BN，
则CNAD，BNAD
所以是二面角的平面角．
在三角形BNC中，CB BN，BC=2，BN=，所以=
所以二面角的大小为　 ．．．．．．．．．．．．．．．12＇

20．
解：（I）因为x=2时，y=700；x=3时，y=150，所以
解得
每日的销售量　；　　　　　．．．．．．．４＇
（II）由（I）知，
当时：
每日销售利润
（）

当或时
当时，单增；当时，单减．
是函数在上的唯一极大值点，；
．．．．．．．．．8＇
当时：
每日销售利润=
在有最大值，且． 　　．．．．．．．．．11＇
综上，销售价格元/千克时，每日利润最大．　　　　　　　．．．．．．．．．．12＇
21．
解：（１）易知直线AB的斜率存在，设AB直线方程为
代入抛物线方程得， （*）
设
因为M是AB的中点，所以，即
方程（*）即为：（**）
由得
所以的取值范围是； ．．．．．．4＇
（２）因为轴，
所以|MC|=，
由方程（**）得
所以=＝=
==≤1
所以当最大时，；　　　　　　　　　　　　．．．．．．８＇
（３）常数存在且
不妨设

由方程（**）得，
代入上式化简得
由（2）知=
所以
所以常数存在且． ．．．．．．．．．．．．．．．．．１３＇
22．
解：（1）因为，所以，
又，所以；　　　　　　　　　　　　　　．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．２＇
（2）令

当时，
单调递减，当时，
当，，单调递减；当，，单调递增．
所以，是的唯一极小值点，所以，≥恒成立；．．．．４＇
当时，
单调递减，当时，
当，，单调递增；当，，单调递减．
所以，是的唯一极大值点，所以，不满足≥恒成立；．．．．．．．．６＇
当时，
单调递增，当时，
当，，单调递减；当，，单调递增．
所以，是的唯一极小值点，所以，≥恒成立；
综上，；　　　　　　　　　　　　　　．．．．．．．．．．．．．．８＇
（３） 当，不等式显然成立；　　　　　　　　　　．．．．．．．．．．．．９＇
当时，不妨设
＞
令，　　　　　　
下证是单调减函数：

易知，，
由（2）知当，，
所以
所以
所以
所以，
所以在上单调递减．
所以，即
所以＞．
综上，≥成立．　　　．．．．．．．．．．．．．．．１４＇

·11·