高三文科数学036.doc

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期数： 0511 SXG3 036
学科：文科数学 年级：高三 编稿老师：李晓松
审稿老师：杨志勇

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预 习 篇

预习篇二十八 高三文科数学总复习二十三
——正弦定理和余弦定理

【学法引导】
利用正弦定理、余弦定理解关于三角形的问题可借助计算器进行计算，由于解三角形问题易于与多种知识综合且在实际中应用比较广泛，因而是高考考查的一个热点. 题型一般是选择题、填空题，也可能是中等难度的解答题.
【应用举例】
例1 在△ABC中，，则∠A=______.
分析：先弄清∠A是什么角（锐角、直角、钝角），由3cosA＞0两边平方，解方程可求出∠A.
解：∵3cosA＞0，∴A为锐角，
两边平方得：，
解得：，
又A为锐角，所以A=60°.
点拨解疑：
三角形中的角有两个隐含条件：
①A、B、；
②解题时注意运用.
例2 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c.
证明：.
分析：展开sin（A－B），运用正、余弦定理，把边化成角或将角化成边.
证明：（方法一）边化角
左边=右边，
∴命题得证；
（方法二）角化边
右边=

=左边
点拨解疑：
有关三角形边、角的恒等式的证明问题，一般是通过正、余弦定理，或者把边化成角，或者将角化成边，消除条件式中的差异使问题迎刃而解.
例3 在△ABC中，已知，试判断这个三角形的形状.
分析：这里的已知条件为边角等式，要么边化角，要么角化边.
解：由已知，得，
由正弦定理，
∴，
∴，∴2A=2B或，
∴A=B或，
∴△ABC为等腰三角形或直角三角形.
说明：本题还可以将角化成边，请读者自行完成. 一般说来，采用边化角较简单.
例4 已知A、B、C为三角形的三个内角，
且方程有两个相等的实数根.
求的值.
分析：观察方程可知，原方程有一个x=1的根，则另一个根也为1，从而得三角等式，寻求解题途径.
解：原方程可变为：

可知x=1是方程的一个根，又知原方程有两相等实根，
∴x=1也是方程的根，
则有.
点拨解疑：
本题通过第一步的变形得方程的一个根，是解题的巧妙步骤，而没有按照一般的一元二次方程的理论处理.
例5 已知△ABC的三内角A、B、C满足A+C=2B，设x=cos，f(x)=cosB().
(1)试求函数f(x)的解析式及其定义域；
(2)判断其单调性，并加以证明；
(3)求这个函数的值域.
命题意图：本题主要考查考生运用三角知识解决综合问题的能力，并且考查考生对基础知识的灵活运用的程度和考生的运算能力.
知识依托：主要依据三角函数的有关公式和性质以及函数的有关性质去解决问题.
技巧与方法：本题的关键是运用三角函数的有关公式求出f(x)的解析式，公式主要是和差化积和积化和差公式.在求定义域时要注意||的范围.
解：(1)∵A+C=2B，∴B=60°，A+C=120°，

∵0°≤||＜60°，∴x=cos∈(，1.
又4x2－3≠0，∴x≠，∴定义域为(，)∪(，1］.
(2)设x1＜x2，∴f(x2)－f(x1)==，
若x1，x2∈()，则4x12－3＜0，4x22－3＜0，4x1x2+3＞0，x1－x2＜0，
∴f(x2)－f(x1)＜0，即f(x2)＜f(x1) .
若x1，x2∈(，1］，则4x12－3＞0，
4x22－3＞0，4x1x2+3＞0，x1－x2＜0，∴f(x2)－f(x1)＜0，即f(x2)＜f(x1) .
∴f(x)在(,)和(，1上都是减函数.
(3)由(2)知，f(x)＜f()=－或f(x)≥ f(1)=2，
故f(x)的值域为(－∞，－)∪［2，+∞.
【强化训练】
一、选择题
1．在△ABC中，“”是“C=90°”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．已知△ABC中，其面积为，，则角A等于（ ）
A．30° B．60°
C．30°或150° D．60°或120°
3．在△ABC中，C=2B，且A≠B，则的值为（ ）
A． B．
C．1 D．2
4．在△ABC中，若a,b,c为∠A、∠B、∠C的对边，且，则（ ）
A．a,b,c成等差数列 B．a,c,b成等差数列
C．a,c,b成等比数列 D．a,b,c成等比数列
5．在△ABC中，A=60°，b=1，，则等于（ ）
A． B．
C． D．
6．给出下列四个命题：
①若，则△ABC是等腰三角形.
②若，则△ABC是直角三角形.
③若，则△ABC是钝角三角形.
④若，则△ABC是等边三角形.
以上命题正确的是（ ）
A．①② B．③④
C．①④ D．②③
二、填空题
7．在△ABC中，若C=90°，则________.
8．在△ABC中，，则=________.
9．半径为1的圆内接三角形的面积为，则abc=________.
10．在△ABC中，，则C的大小为________.
三、解答题
11．在△ABC中，若，
（1）求角C的大小；
（2）又若，试判断三角形的形状.
12．已知圆O的半径为R，它的内接△ABC中，有成立，求△ABC的面积S的最大值.
点击答案
一、1．C 2．D 3．C 4．D 5．B 6．B
二、7．0
8．
9．1
10．
三、11．（1）∠C=60°；
（2）
，
∴A=B，∴△ABC为等腰三角形.
12．由已知
，
∴

∴当A=B时，.