江苏省南通市教研室2012年高考全真模拟试卷三(数学).doc

南通市教研室2012年数学全真模拟试卷三
试题Ⅰ

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上.
1． 已知向量，，则 ▲ ．
2． 若直线为函数的一条切线，则实数 ▲ ．
3． 若使“”与“”恰有一个成立的的取值范围为，则实数的值是 ▲ ．
4． 已知点为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点，则劣弧的长度大于1的概率为 ▲ ．
5． 给出如下10个数据：63，65，67，69，66，64，66，64，65，68．根据这些数据制作频率分布直方图，其中这组所对应的矩形的高为 ▲ ．
6． 已知，且，则 ▲ ．
7． 某圆锥的侧面展开图是半径为1cm的半圆，则该圆锥的体积是 ▲ cm．
8． 对于定义在上的函数，下列正确的命题的序号是 ▲ ．
①若，则是上的单调增函数；②若，则不是上的单调减函数；
③若在区间、上都是单调增函数，则一定是上的单调增函数．
9． 给出下列等式： ， ， ， ……
请从中归纳出第个等式： ▲ ．
10．已知电流随时间变化的关系式是，设，则电流
首次达到峰值时的值为 ▲ ．
11．在平面直角坐标系xOy中，已知点，，，分别以△的边向
外作正方形与，则直线的一般式方程为 ▲ ．

（第11题图）

12．设，且，则函数的最小值为 ▲ ．
13．已知过某定圆上的每一点均可以作两条相互垂直的直线与椭圆的公共点都各只有一个，那么该定圆的方程为 ▲ ．
14．已知为非零常数，数列与均为等比数列，且，则 ▲ ．

二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证
明过程或演算步骤．
15．（本题满分14分）
已知．
（1）求的值；
（2）求的值．

D
N
（第16题）
P
A
B
C
M
Q

16．（本题满分14分）
如图，在正四棱锥中，点为棱的
中点，点为棱上的点.
（1）若，求证：平面；
（2）试写出（1）的逆命题，并判断其真假.
若为真，请证明；若为假，请举反例.

17．（本题满分15分）
在平面直角坐标系xOy中，设点，点为直线l：与抛物线C：异于原点的另一交点．
（1）若a1，b2，求点的坐标；
（2）若点在椭圆上，求证：点落在双曲线上；
（3）若点始终落在曲线（其中为常数，且）上，问动点的轨迹落
在哪种二次曲线上？并说明理由．

18．（本题满分15分）

（图乙）

（图甲）

如图甲，一个正方体魔方由27个单位（长度为1个单位长度）小立方体组成，把魔方中间的一
层转动，如图乙，设的对边长为．
（1）试用表示；
（2）求魔方增加的表面积的最大值．

19．（本题满分16分）
设各项均为非负数的数列的为前项和（，）．
（1）求实数的值；
（2）求数列的通项公式（用表示）．
（3）证明：当（）时，．

20．（本题满分16分）
记定义在上的函数（p，q∈R）的最大值、最小值分别为M、N，又记．
（1）当时，求M、N（用p、q表示），并证明；
（2）直接写出的解析式（不需给出演算步骤）；
（3）在所有形如题设的函数中，求出所有这样的使得的最大值为最小．

试题Ⅱ（附加题）
21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若
多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

（第21—A题）
A．（几何证明选讲）
如图，为单位圆的切线，过切点引的垂线，为垂足．
求证：为定值．

B．（矩阵与变换）
已知矩阵，满足，求矩阵．

C．（极坐标与参数方程）
将参数方程（为参数，为常数）化为普通方程（结果可保留）．
D．（不等式选讲）
已知正实数成等比数列，求证：．

【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文
字说明、证明过程或演算步骤．
22．一批产品共100件，其中有3件不合格品，从中随机抽取（）件，用表示所抽取的件产品中不合格品的个数．
（1）若，求的概率分布；
（2）求使的概率取得最大值时的的值．（参考数据：）

23．设等差数列的首项为1，公差d（），m为数列中的项．
（1）若d=3，试判断的展开式中是否含有常数项？并说明理由；
（2）证明：存在无穷多个d，使得对每一个m，的展开式中均不含常数项．
南通市教研室2012年数学全真模拟试卷三
参考答案
1. 4； 2. ； 3. 0； 4. ； 5. ； 6. ； 7. ； 8. ②；
9. ； 10. ； 11. ； 12. ； 13. ； 14. 3．
答案解析
1．；
2. 由得，故切点为或，代入得；
3. 易得；
4. “劣弧的长度大于1”的概率等于；
5. 落在区间的数据依次为65，66，66，65，共4个，则矩形的高等于；
6. 法1 由得，且，所以，则，
此时；
法2由得，且，所以，则；
7. 设圆锥的底面圆的半径为，高为，则由得，，所以该圆锥
体积；
8. 对于①：不符合单调增函数的定义；②正确；对于③：注意在处，若函数不连续时
该命题就不一定正确；
9. 易得第个等式：；
10. 易得周期，则函数首次达到峰值时；
11. 易得，则直线的方程为；
12. 易得，设，则
（当且仅当时等号成立），则原式（当且仅当时等号
成立）；
13. 易得椭圆的外切矩形的四个顶点必在该定圆上，则该定圆必是该外切矩形
的外接圆，方程为，可以验证过该圆上除点的任意一点也均可作两条相互
垂直的直线与椭圆的交点都各只有一个；
14. 因为数列与均为等比数列，所以且，
得，故数列也为等差数列，不难得数列为非零常数列，则．
15．命题立意：本题主要考查两角和与差的正、余弦公式，考查运算求解能力．
（1）因为①， ②，
②①得，（3分）
即2+2， 所以；（6分）
（2）②①得
即，（8分）
故，（12分）
化简得，
由（1）得. （14分）
D
N
（第16题图）
P
A
B
C
M
Q
16．命题立意：本题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，考查空间想象、
推理论证能力．
【证明】（1）延长，交于点，连结，
因为点为线段上的点，
且，
所以点为线段的中点，
又点为线段的中点，
所以，（3分）
又平面，
平面，
所以平面.（6分）
（2）（1）的逆命题为：若平面，
则（真命题），（8分）
下证之： 因为平面， 平面，
平面平面，
所以，（12分）
在中，点为线段的中点，点为线段上的点，
所以，点为线段的中点.（14分）
17．命题立意：本题主要考查求直线、抛物线、双曲线、圆、椭圆等基础知识，考查运算求解与探
究能力．
解：（1）由与则联立方程组得，
又a1，b2，则；（3分）
（2）将代入椭圆得，
将代入，即证；（7分）
（3）将代入（其中为常数，）得，，
① 若，则，，所以点的轨迹落在抛物线上；（9分）
若，则，
②若，则点的轨迹落在圆上；（11分）
③若，且，则点的轨迹落在椭圆上；（13分）
④若，则点的轨迹落在双曲线上.（15分）
18．命题立意：本题主要考查数学建模和解决实际问题的能力，考查运算求解能力．
解：（1）由题意得，
解得，（6分）
（2）魔方增加的表面积为，
由（1）得，（10分）
令，
则（当且仅当即时等号成立），
答：当时，魔方增加的表面积最大为．（15分）
19．命题立意：本题主要考查等差、等比数列的通项公式、求和公式、基本不等式等基础知识，考
查灵活运用基本量进行探索求解、推理分析能力．
解：（1）当时，，所以或，（2分）
若，则，取得，即，这与矛盾；
所以，取得，又，故，所以，（4分）
（2）记①，
则 ②，
①②得 ，又数列各项均为非负数，且，
所以，（6分）
则，即，
当或时，也适合，
所以；（10分）
（3）因为，所以 ，

又（）
则

（当且仅当时等号成立）

（当且仅当时等号成立）
所以.（16分）
20．命题立意：本题主要考查函数的概念、图象、性质等基础知识，考查灵活运用数形结合思想、
分类讨论思想进行推理论证的综合能力．
解：（1）当时，函数的对称轴为，
所以
此时，；（3分）
（2）由（1）同理可得，（6分）
（3）记，下证：，且，所求函数，（8分）
①若，即时，则，
所以，即；（10分）
②若，即时，则，
若时，则，
所以（当且仅当p = 0，时等号成立）；（12分）
若时，则，
所以中至少有一个大于，即，（14分）
由得，，且，此时，
综上所述，所有形如题设的函数即为所求.（16分）
21．A．命题立意：本题主要考查三角形、圆的有关知识，考查推理论证、运算求解能力．
证明：因为为圆的切线，为的垂线，
所以，（3分）
故直角三角形相似于直角三角形，（6分）
则，即，即证.（10分）
B．命题立意：本题主要考查矩阵的乘法，考查运算求解能力．
解：设，
由得（7分） 解得此时.（10分）
C．命题立意：本题主要考查参数方程，考查运算求解能力．
解：当t0时，y0，xcos，即y0，且；（2分）
当t0时，，
所以.（10分）
D．命题立意：本题主要考查证明不等式的基本方法，考查推理论证能力．
证明：因为正实数成等比数列，所以，
即有（当且仅当时等号成立），（4分）
则，
即证.（10分）
22．命题立意：本题主要考查概率分布等基础知识，考查运算求解能力．
一批产品共100件，其中有3件不合格品，从中随机抽取（）件，用表示所抽取的件产品中不合格品的个数．
（1）若，求的概率分布；
（2）求使的概率取得最大值时的的值．（参考数据：）
解：（1）当时，，
则，，，

0
1
2

所以，的概率分布为：

（5分）
（2）的概率为，且 （7分）
记函数，
则由得，
由参考数据知或，
而，
结合函数的图象性质可知，当时，的概率取得最大值．（10分）

23．命题立意：本题主要考查二项式定理，考查探究与推理论证的综合能力．
（1）解：因为是首项为1，公差为3的等差数列，所以．（2分）
假设的展开式中的第r+1项为常数项（），
，于是.
设，则有，即，这与矛盾.
所以假设不成立，即的展开式中不含常数项. （5分）
（2）证明：由题设知an=，设m=，
由（1）知，要使对于一切m，的展开式中均不含常数项，
必须有：对于，满足=0的r无自然数解，
即. （8分）
当d=3k时，.
故存在无穷多个d，满足对每一个m，的展开式中均不含常数项．（10分）

13