数学中的估算与数感.doc

[初中数学论文]
数学中的估算与数感

在现实生活中有的事需要知道大致数目，如国家的财政预算，工农业生产的总值，某人的身高约1.70米，掂掂一位小学生的书包的重量约3千克等，这些数学都是非精确的，但是已经可以真实地反映某些现象。
估算是我们研究和处理有关数量问题时经常运用的一种方法,加强估算,培养数感是新课程的基本要求。
估算是用放大或缩小的方法，估计出一个数大概的大小方法。常见的估算法有：（1）近似估算。（2）放缩估算。（3）整体估算与分段估算。（4）特例估算。（5）范围估算。（6）排序估算。
一、近似估算：
例1： 估算下列各题（精确到0.1）
（1） （2）
解： （1）原式= 0.3+0.4=0.7 （2）原式=0.8+0.9+1=2.7
点评：近似估算是根据精确度要求采用四舍五入法，（1）当对两个数的估算时，一个取略大一些，一个取略小一些，如第（1）题中＞0.4，这样样估算出来的值误差不大；（2）形如的数，当时，一般都可取0. 9，当时，一般都可以取1。
二、放缩估算：
例2．已知 求S的整数部分（山东省竞赛题）
解：因为
所以

21个
= （运用“放大”的思想）
且

21个
=（运用“缩小”的思想）
这就是说，S的分母类在和之间。
则S的大小在和之间。
即
故S的整数部分是95。
点评：如果把S的分母中的12个分数进行通分求和，那太繁了。因此，只有求出这个数的范围，而且将范围确定在两个连续整数之间，这就要用到放缩估算，将所求值“放大”或“缩小”来求。
三、整体估算与分段估算
例3：证明
解：证S=，在S中共有加数21个，若采用整体估算即每个加数都用取代，得；若每一个数都用取代，得则0.175＜S＜0.21。与本题所证不符。
故采用分段估算：
证
=
又
=
则
点评：一般来说，分段估算比整体估算来得精确些。所谓精确一些主要是看估算出来的大数与小数的差，越小越精确。由于0.21-0.175=0.035＞=0.018，所以的范围比S的范围精确些。若将21个数平均分成3段进行估算，得到的范围更为精确些，读者不妨自己试试。
四、特值估算：
例4：求中的数学（全俄第19届中学生竞赛题）
解：因为
52×2×157
用特值估算得到
点评：本题有三个未知数只有一个方程，属不定方程，若想通解方程求解，非常困难，用特值估算，再检验，便能迅速得出答案。
五、范围估算：
例5：甲组同学每人有28个核桃，乙组同学每人有30个核桃，丙组同学每人有31个核桃，三组的核桃总数是365个，问三个小组共有多少名同学？（海峡两岸友谊赛试题）
解：设甲、乙、丙三组学生人数分别为
由题意得

………………①
又
……………②
由①②得
而都是整数，故。
当时，与联立得，此方程无整数解，舍去13，因此，即三个小组共有12名同学。
点评：本题在得出三元一次方程之后，运用放缩法，从估算的范围入手。
六、排序估算：
例6：如果三个边长为整数的正方形纸片的面积之和为2004，其中最大的正方形面积为P，最小的正方形纸片面积为S。确定的最大值。（2004年北京市竞赛题）
解：设三个正方形的边长分别为为正整数）。则.
用排序估算，不妨设
442<2004<452
的最大值为44。
从而 2 +2=68
82 < 68 < 92
故z2 =4
因此 442,22，的最大值为484。
点评：本题所列方程是三元二次方程，很难用通常方法求解，通过排序估计，逐步求出正方形边长最大值，较小值及最小值，从而使问题得到解答。
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