算法设计与分析基础习题解答.doc

习题1.1
5..证明等式gcd(m,n)=gcd(n,m mod n)对每一对正整数m,n都成立.
Hint:
根据除法的定义不难证明:
l 如果d整除u和v, 那么d一定能整除u±v;
l 如果d整除u,那么d也能够整除u的任何整数倍ku.
对于任意一对正整数m,n,若d能整除m和n,那么d一定能整除n和r=m mod n=m-qn；显然，若d能整除n和r，也一定能整除m=r+qn和n。
数对(m,n)和(n,r)具有相同的公约数的有限非空集，其中也包括了最大公约数。故gcd(m,n)=gcd(n,r)

6.对于第一个数小于第二个数的一对数字,欧几里得算法将会如何处理?该算法在处理这种输入的过程中,上述情况最多会发生几次?
Hint:
对于任何形如0<=m<n的一对数字,Euclid算法在第一次叠代时交换m和n, 即
gcd(m,n)=gcd(n,m)
并且这种交换处理只发生一次.

7.a.对于所有1≤m,n≤10的输入, Euclid算法最少要做几次除法?(1次)
b. 对于所有1≤m,n≤10的输入, Euclid算法最多要做几次除法?(5次)
gcd(5,8)

习题1.2
1.(农夫过河)

P—农夫 W—狼 G—山羊 C—白菜
2.(过桥问题)

1,2,5,10---分别代表4个人, f—手电筒
4. 对于任意实系数a,b,c, 某个算法能求方程ax^2+bx+c=0的实根,写出上述算法的伪代码(可以假设sqrt(x)是求平方根的函数)
算法Quadratic(a,b,c)
//求方程ax^2+bx+c=0的实根的算法
//输入:实系数a,b,c
//输出:实根或者无解信息

If a≠0
D←b*b-4*a*c
If D>0
temp←2*a
x1←(-b+sqrt(D))/temp
x2←(-b-sqrt(D))/temp
return x1,x2
else if D=0 return –b/(2*a)
else return “no real roots”
else //a=0
if b≠0 return –c/b
else //a=b=0
if c=0 return “no real numbers”
else return “no real roots”

5. 描述将十进制整数表达为二进制整数的标准算法
a.用文字描述
b.用伪代码描述
解答：
a.将十进制整数转换为二进制整数的算法
输入：一个正整数n
输出：正整数n相应的二进制数
第一步：用n除以2，余数赋给Ki(i=0,1,2...)，商赋给n
第二步：如果n=0，则到第三步，否则重复第一步
第三步：将Ki按照i从高到低的顺序输出

b.伪代码
算法 DectoBin(n)
//将十进制整数n转换为二进制整数的算法
//输入：正整数n
//输出：该正整数相应的二进制数，该数存放于数组Bin[1...n]中
i=1
while n!=0 do {
Bin[i]=n%2;
n=(int)n/2;
i++;
}
while i!=0 do{
print Bin[i];
i--;
}
9.考虑下面这个算法,它求的是数组中大小相差最小的两个元素的差.(算法略)
对这个算法做尽可能多的改进.
算法 MinDistance(A[0..n-1])
//输入:数组A[0..n-1]
//输出:the smallest distance d between two of its elements

习题1.3
1. 考虑这样一个排序算法,该算法对于待排序的数组中的每一个元素,计算比它小的元素个数,然后利用这个信息,将各个元素放到有序数组的相应位置上去.

a.应用该算法对列表”60,35,81,98,14,47”排序
b.该算法稳定吗?
c.该算法在位吗?
解:
a. 该算法对列表”60,35,81,98,14,47”排序的过程如下所示:

b.该算法不稳定.比如对列表”2,2*”排序
c.该算法不在位.额外空间for S and Count[]
4.(古老的七桥问题)

习题1.4
1.请分别描述一下应该如何实现下列对数组的操作,使得操作时间不依赖数组的长度.
a.删除数组的第i个元素(1<=i<=n)
b.删除有序数组的第i个元素(依然有序)
hints:
a. Replace the ith element with the last element and decrease the array size of 1
b. Replace the ith element with a special symbol that cannot be a value of the array’s element(e.g., 0 for an array of positive numbers ) to mark the ith position is empty.
(“lazy deletion”)

第2章
习题2.1
7.对下列断言进行证明:(如果是错误的,请举例)
a. 如果t(n)∈O(g(n),则g(n)∈Ω(t(n))
b.α>0时,Θ(αg(n))= Θ(g(n))
解:
a. 这个断言是正确的。它指出如果t(n)的增长率小于或等于g(n)的增长率，那么 g(n)的增长率大于或等于t(n)的增长率
由 t(n)≤c·g(n) for all n≥n0, where c>0
则： for all n≥n0
b. 这个断言是正确的。只需证明。
设f(n)∈Θ(αg(n)),则有：
for all n>=n0, c>0
for all n>=n0, c1=cα>0
即：f(n)∈Θ(g(n))
又设f(n)∈Θ(g(n)),则有： for all n>=n0,c>0

for all n>=n0,c1=c/α>0
即：f(n)∈Θ(αg(n))
8．证明本节定理对于下列符号也成立：
a.Ω符号
b.Θ符号
证明：
a。we need to proof that if t1(n)∈Ω(g1(n)) and t2(n)∈Ω(g2(n)), then t1(n)+ t2(n)∈Ω(max{g1(n), g2(n)})。
由 t1(n)∈Ω(g1(n))，
t1(n)≥c1g1(n) for all n>=n1, where c1>0
由 t2(n)∈Ω(g2(n))，
T2(n)≥c2g2(n) for all n>=n2, where c2>0
那么，取c>=min{c1,c2},当n>=max{n1,n2}时：
t1(n)+ t2(n)≥c1g1(n)+ c2g2(n)
≥c g1(n)+c g2(n)≥c[g1(n)+ g2(n)]
≥cmax{ g1(n), g2(n)}
所以以命题成立。
b. t1(n)+t2(n) ∈Θ(
证明：由大Ⓗ的定义知，必须确定常数c1、c2和n0，使得对于所有n>=n0，有：

由t1(n)∈Θ(g1(n))知，存在非负整数a1,a2和n1使：
a1*g1(n)<=t1(n)<=a2*g1(n)-----(1)
由t2(n)∈Θ(g2(n))知，存在非负整数b1,b2和n2使：
b1*g2(n)<=t2(n)<=b2*g2(n)-----(2)
(1)+(2):
a1*g1(n)+ b1*g2(n)<=t1(n)+t2(n) <= a2*g1(n)+ b2*g2(n)
令c1=min(a1,b1),c2=max(a2,b2)，则
C1*(g1+g2)<= t1(n)+t2(n) <=c2(g1+g2)-----(3)
不失一般性假设max(g1(n),g2(n))=g1(n).
显然，g1(n)+g2(n)<2g1(n)，即g1+g2<2max(g1,g2)
又g2(n)>0，g1(n)+g2(n)>g1(n),即g1+g2>max(g1,g2)。
则（3）式转换为：
C1*max(g1,g2) <= t1(n)+t2(n) <=c2*2max(g1,g2)
所以当c1＝min(a1,b1),c2＝2c2=2max(c1,c2)，n0＝max(n1,n2)时，当n>=n0时上述不等式成立。
证毕。

习题2.4
1. 解下列递推关系 （做a,b）
当n>1时
a.

解：

当n>1时
b.

解：

2. 对于计算n!的递归算法F(n)，建立其递归调用次数的递推关系并求解。
解：

3. 考虑下列递归算法，该算法用来计算前n个立方的和：S(n)=13+23+…+n3。
算法S(n)
//输入：正整数n
//输出：前n个立方的和
if n=1 return 1
else return S(n-1)+n*n*n
a. 建立该算法的基本操作次数的递推关系并求解
b. 如果将这个算法和直截了当的非递归算法比，你做何评价？
解：
a.

7. a. 请基于公式2n=2n-1+2n-1，设计一个递归算法。当n是任意非负整数的时候，该算法能够计算2n的值。
b. 建立该算法所做的加法运算次数的递推关系并求解
c. 为该算法构造一棵递归调用树，然后计算它所做的递归调用次数。
d. 对于该问题的求解来说，这是一个好的算法吗？
解:
a.算法power(n)
//基于公式2n=2n-1+2n-1,计算2n
//输入:非负整数n
//输出: 2n的值
If n=0 return 1
Else return power(n-1)+ power(n-1)

c.

8.考虑下面的算法
算法 Min1(A[0..n-1])
//输入:包含n个实数的数组A[0..n-1]
If n=1 return A[0]
Else temp←Min1(A[0..n-2])
If temp≤A[n-1] return temp
Else return A[n-1]
a.该算法计算的是什么?
b.建立该算法所做的基本操作次数的递推关系并求解
解:
a.计算的给定数组的最小值
for all n>1
n=1
b.
9.考虑用于解决第8题问题的另一个算法,该算法递归地将数组分成两半.我们将它称为Min2(A[0..n-1])
算法 Min(A[r..l])
If l=r return A[l]
Else temp1←Min2(A[l..(l+r)/2])
Temp2←Min2(A[l..(l+r)/2]+1..r)
If temp1≤temp2 return temp1
Else return temp2
a.建立该算法所做的的操作次数的递推关系并求解
b.算法Min1和Min2哪个更快?有其他更好的算法吗?
解:
a.

习题2.6
1. 考虑下面的排序算法,其中插入了一个计数器来对关键比较次数进行计数.
算法SortAnalysis(A[0..n-1])
//input:包含n个可排序元素的一个数组A[0..n-1]
//output:所做的关键比较的总次数
count←0
for i←1 to n-1 do
v←A[i]
j←i-1
while j>0 and A[j]>v do
count←count+1
A[j+1]←A[j]
j←j+1
A[j+1]←v
return count
比较计数器是否插在了正确的位置?如果不对,请改正.
解:应改为:
算法SortAnalysis(A[0..n-1])
//input:包含n个可排序元素的一个数组A[0..n-1]
//output:所做的关键比较的总次数
count←0
for i←1 to n-1 do
v←A[i]
j←i-1
while j>0 and A[j]>v do
count←count+1
A[j+1]←A[j]
j←j+1
if j>=0 count=count+1
A[j+1]←v
return count

习题3.1
4. a.设计一个蛮力算法,对于给定的x0,计算下面多项式的值:
P(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0
并确定该算法的最差效率类型.
b.如果你设计的算法属于Θ(n2),请你为该算法设计一个线性的算法.
C.对于该问题来说,能不能设计一个比线性效率还要好的算法呢?
解:
a. Algorithms BruteForcePolynomialEvaluation(P[0..n],x)
//由高幂到低幂用蛮力法计算多项式p在给定点x的值
//输入:P[0..n]是多项式按低幂到高幂的常系数,以及定值x
//输出: 多项式p在给定点x的值
p=0.0
for i=n to 0 do
power=1
for j=1 to i do
power=power*x
p=p+P[i]*power
return p
算法效率分析:
基本操作:两个数相乘,且M(n)仅依赖于多项式的阶n

b. tha above algorithms is very inefficient, because we recompute powers of x again and again as if there were no relationship among them.In fact ,we can move from the lowest term to the highest and compute xi by using xi-1.
Algorithms BetterBruteForcePolynomialEvaluation(P[0..n],x)
//由高幂到低幂用蛮力法计算多项式p在给定点x的值
//输入:P[0..n]是多项式按低幂到高幂的常系数,以及定值x
//输出: 多项式p在给定点x的值
P=P[0]
power=1
for i←1 to n do
power←power*x
p←p+P[i]*power
return p
基本操作乘法运算总次数M(n):

c.不行.因为计算任意一个多项式在任意点x的值,都必须处理它的n+1 个系数.例如: (x=1,p(x)=an+an-1+..+a1+a0,至少要做n次加法运算)
5.应用选择排序对序列example按照字母顺序排序.

6.选择排序是稳定的吗?(不稳定)
7.用链表实现选择排序的话,能不能获得和数组版相同的Θ(n2)效率?
Yes.Both operation—finding the smallest element and swapping it –can be done as efficiently with the linked list as with an array.
9.a.请证明,如果对列表比较一遍之后没有交换元素的位置,那么这个表已经排好序了,算法可以停止了.
b.结合所做的改进,为冒泡排序写一段伪代码.
c.请证明改进的算法最差效率也是平方级的.
Hints:
a. 第i趟冒泡可以表示为:

如果没有发生交换位置,那么:

b.Algorithms BetterBubblesort(A[0..n-1])
//用改进的冒泡算法对数组A[0..n-1]排序
//输入:数组A[0..n-1]
//输出:升序排列的数组A[0..n-1]
count←n-1 //进行比较的相邻元素对的数目
flag←true //交换标志
while flag do
flag←false
for i=0 to count-1 do
if A[i+1]<A[i]
swap(A[i],A[i+1])
flag←true
count←count-1
c最差情况是数组是严格递减的,那么此时改进的冒泡排序会蜕化为原来的冒泡排序.
10.冒泡排序是稳定的吗?(稳定)
习题3.2
1. 对限位器版的顺序查找算法的比较次数:
a. 在最差情况下
b. 在平均情况下.假设成功查找的概率是p(0<=p<=1)
Hints:
a. Cworst(n)=n+1
b. 在成功查找下,对于任意的I,第一次匹配发生在第i个位置的可能性是p/n,比较次数是i.在查找不成功时,比较次数是n+1,可能性是1-p.

6.给出一个长度为n的文本和长度为m的模式构成的实例,它是蛮力字符串匹配算法的一个最差输入.并指出,对于这样的输入需要做多少次字符比较运算.
Hints:
文本:由n个0组成的文本
模式:前m-1个是0,最后一个字符是1
比较次数: m(n-m+1)
7.为蛮力字符匹配算法写一个伪代码,对于给定的模式,它能够返回给定的文本中所有匹配子串的数量.
Algorithms BFStringmatch(T[0..n-1],P[0..m-1])
//蛮力字符匹配
//输入:数组T[0..n-1]—长度为n的文本,数组P[0..m-1]—长度为m的模式
//输出:在文本中匹配成功的子串数量
count←0
for i←0 to n-m do
j←0
while j<m and P[j]=T[i+j]
j←j+1
if j=m
count←count+1
return count
8.如果所要搜索的模式包含一些英语中较少见的字符,我们应该如何修改该蛮力算法来利用这个信息.
Hint:每次都从这些少见字符开始比较,如果匹配, 则向左边和右边进行其它字符的比较.习题4.1
1.a.为一个分治算法编写伪代码,该算法求一个n个元素数组中最大元素的位置.
b.如果数组中的若干个元素都具有最大值,该算法的输出是怎样的呢?
c.建立该算法的键值比较次数的递推关系式并求解.
d.请拿该算法与解同样问题的蛮力算法做一个比较
解:a.
Algorithms MaxIndex(A[l..r]){
Input:A portion of array A[0..n-1] between indices l and r(l≤r)
Output: The index of the largest element in A[l..r]
if l=r return l
else temp1←MaxIndex(A[l..(l+r)/2])
temp2←MaxIndex(A[(l+r)/2..r])
if A[temp1]≥A[temp2] return temp1
else return temp2
}
b.返回数组中位于最左边的最大元素的序号.
c.键值比较次数的递推关系式:
C(n)=C( n/2 )+C( n/2 )+1 for n>1
C(1)=0
设n=2k，C(2k)=2C(2k-1)+1
=2[2 C(2k-2)+1]+1=22C(2k-2)+2+1
=2[22C(2k-3)+1]+2+1=23C(2k-3)+ 22+2+1
=...
=2iC(2k-i)+ 2i-1+2 i-2 +...+2+1
=...
=2kC(2k-k)+ 2k-1+2 k-2 +...+2+1=2k－1=n-1
可以证明C(n)=n-1对所有n>1的情况都成立（n是偶数或奇数）
d.比较的次数相同，但蛮力算法不用递归调用。
2、a.为一个分治算法编写伪代码，该算法同时求出一个n元数组的最大元素和最小元素的值。
b.请拿该算法与解同样问题的蛮力算法做一个比较。
c.请拿该算法与解同样问题的蛮力算法做一个比较。
解答：
a.同时求出最大值和最小值，只需要将原数组一分为二，再使用相同的方法找出这两个部分中的最大值和最小值，然后经过比较就可以得到整个问题的最大值和最小值。
算法 MaxMin(A[l..r],Max,Min)
//该算法利用分治技术得到数组A中的最大值和最小值
//输入：数值数组A[l..r]
//输出：最大值Max和最小值Min
if(r=l) Max←A[l]；Min←A[l]; //只有一个元素时
else
if r－l=1 //有两个元素时
if A[l]≤A[r]
Max←A[r]; Min←A[l]
else
Max←A[l]; Min←A[r]
else //r－l>1
MaxMin(A[l,(l+r)/2],Max1,Min1); //递归解决前一部分
MaxMin(A[(l+r/)2..r],Max2,Min2); //递归解决后一部分
if Max1＜Max2 Max= Max2 //从两部分的两个最大值中选择大值
if Min2<Min1 Min=Min2; //从两部分的两个最小值中选择小值
}
b.假设n=2k,比较次数的递推关系式:
C(n)=2C(n/2)+2 for n>2
C(1)=0, C(2)=1
C(n)=C(2k)=2C(2k-1)+2
=2[2C(2k-2)+2]+2
=22C(2k-2)+22+2
=22[2C(2k-3)+2]+22+2
=23C(2k-3)+23+22+2
...
=2k-1C(2)+2k-1+2k-2+...+2 //C(2)=1
=2k-1+2k-1+2k-2+...+2 //后面部分为等比数列求和
=2k-1+2k-2 //2(k-1)=n/2,2k=n
=n/2+n-2
=3n/2－2
b.蛮力法的算法如下：
算法 simpleMaxMin(A[l..r])
//用蛮力法得到数组A的最大值和最小值
//输入：数值数组A[l..r]
//输出：最大值Max和最小值Min
Max=Min=A[l];
for i=l+1 to r do
if A[i]>Max Max←A[i];
else if A[i]<Min Min←A[i]
return Max,Min
}
时间复杂度t(n)=2(n-1)
算法MaxMin的时间复杂度为3n/2-2，simpleMaxMin的时间复杂度为2n-2，都属于Θ(n)，但比较一下发现，MaxMin的速度要比simpleMaxMin的快一些。
6.应用合并排序对序列E,X,A,M,P,L,E按字母顺序排序.

3
2
1

8.a.对合并排序的最差键值比较次数的递推关系式求解.(for n=2k)
b.建立合并排序的最优键值比较次数的递推关系式求解.(for n=2k)
c.对于4.1节给出的合并排序算法,建立它的键值移动次数的递推关系式.考虑了该算法的键值移动次数之后,是否会影响它的效率类型呢?
解:
a. 递推关系式见4.1节.

b. 最好情况(列表升序或降序)下:
Cbest(n)=2Cbest(n/2)+n/2 for n>1 (n=2k)
Cbest(1)=0

c. 键值比较次数M(n)
M(n)=2M(n)+2n for n>1
M(1)=0
习题4.2
1.应用快速排序对序列E,X,A,M,P,L,E按字母顺序排序

4. 请举一个n个元素数组的例子,使得我们有必须对它使用本节提到的”限位器”.限位器的值应是多少年来?为什么一个限位器就能满足所有的输入呢?
Hints:
With the pivot being the leftmost element, the left-to-right scan will get out of bounds if and only if the pivot is larger than the other elements.
Appending a sentinel(限位器) of value equal A[0](or larger than A[0]) after the array’s last element , the quicksort algorithms will stop the index of the left-to-right scan of A[0..n-1] from going beyond position n.

8.设计一个算法对n个实数组成的数组进行重新排列,使得其中所有的负元素都位于正元素之前.这个算法需要兼顾空间和时间效率.
Algorithms netbeforepos(A[0..n-1])
//使所有负元素位于正元素之前
//输入:实数组A[0..n-1]
//输出:所有负元素位于于正元素之前的实数组A[0..n-1]
A[-1]←-1; A[n]←1 //限位器
i←0; j←n-1
While i<j do
While A[i]≤0 do
i←i+1
while A[j]≥0 do
j←j-1
swap A[i]and A[j]
swap A[i]and A[j] //undo the last swap

当全是非负数或全是非正数时需要限位器.
习题4.3
1.(题略)
解:
a.由公式4.4得:4次
b.二分查找判定树:

所以,14,31,42,74,85,98需要比较4次
c.

d.

2. 当n=2k时,用反向替换法求下面的递推方程:
当n>1时, Cw(n)=Cw(n/2)+1, Cw(1)=1
(略)
4.如果对于一个100000个元素的数组成功查找的话,使用折半查找比顺序查找要快多少倍?

6． 如何将折半查找应用于范围查找?范围查找就是对于一个有序数组,找出位于给定值L、U之间（包含L、U）的所有元素，L<=U。该算法的最差效率是多少？
Hints:
Step1: 检查A[0]≤L，A[n-1]≥U是否成立，若不成立，则无解。否则进入step 2
Step2:在数组A中用二分查找法查找值L，如果查找成功，则返回数组下标m，否则l二分查找结束时的值.
Step3: 在数组A中用二分查找法查找值U，如果查找成功，则返回数组下标m，否则r为二分查找结束时的值.
最后，结果就是在数组序号范围在low和high（包含low,high）之间的范围。（low和high是step2和step3的值。）
7． 为折半查找写递归的伪代码。

Algorithms BSR(A[o..n-1],K)
//折半查找递归算法
//有序子数组A[l..r]和查找键值K
//查找成功则输出其下标，否则输出-1
if l>r return -1
else m← (l+r)/2
if K=A[m] return m
else if K< A[m] return BSR(A[l..m-1],K)
else if K> A[m] return BSR(A[m+1,r],K)
8.设计一个只使用两路比较的折半查找算法，即只用≤和=, 或者只用≥和=.
Algorithms TwoWaysBinarySearch(A[o..n-1],K)
//二路比较的折半查找
//有序子数组A[l..r]和查找键值K
//查找成功则输出其下标，否则输出-1
l←0, r←n-1
while l<r do
m← (l+r)/2
if K≤A[m]
r ←m
else l ←m+1
if K=A[l] return l
else return -1

习题4.4
1. 设计一个分治算法来计算二叉树的层数.(空树返回0,单顶点树返回1),并分析效率类型.
Algorithms Level(Tree T)
//递归计算二叉树的层数
//输入:二叉树T
//输出:二叉树T的层数
If T=NULL return 0
Else return max{Level(TL),Level(TR)}+1
算法效率类型是Θ(n)(同4.4节算法height(T))
2.选择一个二叉树的经典遍历算法(前\中\后序),写出它的递归伪代码,并求它的递归调用次数.
Algorithms preorder(T)
//先序遍历二叉树T
//输入: 二叉树T
//输出:先序遍历的结点序列表
If T≠NULL
Visit T’s root
Preorder(TL)
Preorder(TR)

递归调用次数C(n)=扩展树中内部结点+外部结点=n+(n+1)
=2n+1
7.设计一个算法计算有根有序树的高度.
Algorithms height(T)
//递归计算有根有序树的高度
//输入:一棵有根有序树的高度T
//输出:T的高度
i=NumChildren(T) //根的孩子个数
if i=0 return 0
else return max{height(T1),height(T2),…,height(Ti)}+1

8.下面的算法试图计算一棵二叉树中叶子的数量
Algorithms LeafCount(T)
//递归计算二叉树中叶子的数量
//输入:一棵二叉树
//输出:T中叶子的数量
if T=NULL return 0
else return LeafCount(TL)+LeafCount(TR)
应为:
if T=NULL return 0 //empty tree
else if TL =NULL AND TR=NULL return 1 //single-node tree
else return LeafCount(TL)+LeafCount(TR) //general case
习题4.6
1.a.为最近对问题的一维版本设计一个直接基于分治技术的算法,并确定它的效率类型
b.对于这个问题,它是一个好算法吗?
解:
a. Algorithms ClosestNumber(A[l..r])
//分治计算最近对问题的一维版本
//输入:升序排列的实数子数组A[l..r]
//输出:最近数对的距离
If r=l return ∞
Else if r－l=1 return A[r]－A[l]
Else return min{ClosestNumber(A[l… (l+r)/2 ]),
ClosestNumber(A[ (l+r)/2 ...r])
A[ (l+r)/2 +1]－A[ (l+r)/2 ]
}
设递归的时间效率为T(n):
对n=2k, 则: T(n)=2T(n/2)+c
利用主定理求解.T(n)=Θ(n)
2.(题略)

习题5.1
2.a.设计一个递归的减一算法,求n个实数构成的数组中最小元素的位置.
b.确定该算法的时间效率,然后把它与该问题的蛮力算法作比较
Algorithms MinLocation(A[0..n-1])
//find the location of the smallest element in a given array
//an array A[0..n-1] of real numbers
//An index of the smallest element in A[0..n-1]
if n=1 return 0
else temp←MinLocation(A[0..n-2])
if A[temp]<A[n-1] return temp
else return n-1
时间效率分析见习题2.4中8
C(n)=C(n-1)+1 for n>1 C(1)=0
4.应用插入排序对序列example按照字母顺序排序

5.a.对于插入排序来说,为了避免在内部循环的每次迭代时判断边界条件j>=0,应该在待排序数组的第一个元素前放一个什么样的限位器?
b.带限位器版本和原版本的效率类型相同吗?
解: a. 应该在待排序数组的第一个元素前放-∞或者小于等于最小元素值的元素.
b. 效率类型相同.对于最差情况(数组是严格递减):

7.算法InsertSort2(A[0..n-1])
for i←1 to n-1 do
j←i-1
while j>=0 and A[j]>A[j+1] do
swap(A[j],A[j+1])
j←j+1
分析:在教材中算法InsertSort的内层循环包括一次键值赋值和一次序号递减,而算法InsertSort2的内层循环包括一次键值交换和一次序号递减,设一次赋值和一次序号递减的时间分别为ca和cd,那么算法InsertSort2和算法InsertSort运行时间的比率是(3ca+cd)/(ca+cd)
习题5.2
1.a.(略)
b.

4.

习题5.3
1.

DFS的栈状态:

退栈顺序: efgbcad 拓扑排序: dacbgfe
b.

这是一个有环有向图.DFS 从a出发,…,遇到一条从e到a的回边.
4.能否利用顶点进入DFS栈的顺序(代替它们从栈中退出的顺序)来解决拓扑排序问题?
Hints:
不能.

5. 对第1题中的有向图应用源删除算法.

拓扑序列: dabcgef
习题5.4
4.下面是生成排列的B.Heap算法.
算法HeapPermute(n)
//实现生成排列的Heap算法
//输入:一个正整数n和一个全局数组A[1..n]
//输出:A中元素的全排列
If n=1
Write A
Else
For i←1 to n do
HeapPermute(n-1)
If n is odd
Swap A[1] and A[n]
Else swap A[i] and A[n]
对于n=2,3,4的情况,手工跟踪该算法.