考点跟踪训练34图形的相似.doc

考点跟踪训练34　图形的相似

一、选择题
1．(2010·北京)如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，DE∥BC，若AD∶AB＝3∶4，AE＝6，则AC等于 (　　)

A. 3 B. 4 C. 6 D．8

答案　D
解析　∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝.
∴＝，AC＝8.
2．(2011·威海)在▱ABCD中，点E为AD的中点，连接BE，交AC于点F，则AF∶CF＝(　　)

A．1∶2
B．1∶3
C．2∶3
D．2∶5
答案　A
解析　在▱ABCD中，AD綊BC，
∴AE＝AD＝BC.
由△AFE∽△CFB得，＝＝＝.
3．(2011·泰安)如图，点F是▱ABCD的边CD上一点，直线BF交AD的延长线于点E，则下列结论错误的是(　　)

A.＝ B.＝
C.＝ D.＝
答案　C
解析　在▱ABCD中，BC∥AD，所以△BCF∽△EDF，＝，故结论C错误．
4．(2011·潼南)若△ABC∽△DEF，它们的面积比为4∶1，则△ABC与△DEF的相似比为(　　)
A．2∶1 B．1∶2 C．4∶1 D．1∶4
答案　A
解析　由△ABC∽△DEF，得AB∶DE＝＝2.

5．(2010·黔东南)如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，CD为斜边上的高，若AC＝m，AB＝n，则△BCD的面积与△ACD的面积比的值是(　　)

A. B．1－
C. －1 D. ＋1
答案　C
解析　在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝m，AB＝n.得BC2＝n2－m2；又∠ACB＝90°，CD⊥AB，所以△BCD∽△CAD，＝2＝＝＝－1.
二、填空题

6．(2010·兰州)如图，上体育课甲、乙两名同学分别站在C、D的位置时，乙的影子恰好在甲的影子里边，已知甲、乙两同学相距1 m，甲身高1.8 m，乙身高1.5 m，则甲的影子是________m.

答案　6
解析　由△ADE∽△ACB，得＝.
又∵AC＝AD＋1，
∴＝，AD＝5，
∴AC＝5＋1＝6.

7．(2011·黄冈)如图，在△ABC中，E是BC上的一点，EC＝2BE，点D是AC的中点，设△ABC、△ADF、△BEF的面积分别为S△ABC、S△ADF、S△BEF，且S△ABC＝12，则S△ADF－S△BEF＝__________.

答案　2
解析　过D画DG∥BC交AE于G，易证△BEF≌△DGF，
S△BEF＝S△DGF，△ADG∽ACE，S△ADG∶S△ACE＝1∶4，
所以S△ADF－S△BEF＝S△ADG＝S△ACE
＝×＝2.

8．(2011·苏州)如图，已知△ABC是面积为的等边三角形，△ABC∽△ADE，AB＝2AD，∠BAD＝45°，AC与DE相交于点F，则△AEF的面积等于______(结果保留根号)．

答案　
解析　过F画FG⊥AE于G，易求△ABC的边长AB＝2，则AD＝AE＝1.在Rt△EFG中，∠E＝60°，EG＝FG，在Rt△AFG中，∠FAG＝45°，FG＝AG.∵EG＋AG＝AE＝1，∴FG＋FG＝1，FG＝，∴S△AEF＝AE·FG＝×1×＝.

9．(2011·鸡西)如图，△ABC是边长为1的等边三角形．取BC边中点E，作ED∥AB，EF∥AC，得到四边形EDAF，它的面积记作S1；取BE中点E1，作E1D1∥FB，E1F1∥EF，得到四边形E1D1FF1，它的面积记作S2；……；照此规律作下去，则S2011＝____________.

答案　·2010
解析　∵AB＝BC＝AC＝1，
∴S△ABC＝，S1＝×＝＝×0，
S2＝×＝＝×1，
S3＝×2，……，
Sn＝×n－1，所以S2011＝×2010.
10．(2011·凉山)已知菱形ABCD的边长是8，点E在直线AD上，若DE＝3，连接BE与对角线AC相交于点M，则的值是________．
答案　或

解析　(1)当点E在线段AD上，AE＝AD－DE＝8－3＝5，由AD∥BC，得△AEM∽△CBM，＝＝.

(2)当点E在线段AD的延长线上，AE＝AD＋DE＝8＋3＝11，由AD∥BC，得△AEM∽△CBM，＝＝.
三、解答题
11．(2010·衢州)如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1，△ABC和△DEF的顶点都在方格纸的格点上．
(1)判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由；
(2)P1、P2、P3、P4、P5、D、F是△DEF边上的7个格点，请在这7个格点中选取3个点作为三角形的顶点，使构成的三角形与△ABC相似(要求写出2个符合条件的三角形，并在图中连结相应线段，不必说明理由)．

解　(1)△ABC和△DEF相似．理由如下：
根据勾股定理，得AB＝2 ，AC＝，
BC＝5；
DE＝4 ，DF＝2 ，EF＝2.
∵＝＝＝，
∴△ABC∽△DEF.
(2)答案不唯一，下面6个三角形中的任意2个均可．
△P2P5D，△P4P5F，△P2P4D，
△P4P5D，△P2P4 P5，△P1FD.

12．(2010·南京)如图，△ABC是等边三角形，CE是外角平分线，点D在AC上，连接BD并延长交CE于点E.

(1)求证：△ABD∽CED；
(2)若AB＝6，AD＝2CD，求BE的长．
解　(1)在正△ABC中，
∠ACB＝∠A＝60°，
∴∠ACF＝120°.
∵CE平分∠ACF，
∴∠ACE＝∠ACF＝60°.
∴∠A＝∠ACE.
又∵∠ADB＝∠CDE，
∴△ABD∽△CED.

(2)∵△ABD∽△CED，
∴＝＝2.
∴CE＝AB＝3.
过E作EG⊥BF于G，
在Rt△CEG中，
∠ECG＝60°，CE＝3，
∴CG＝，EG＝ .
在Rt△BEG中，BG＝BC＋CG＝6＋＝，
∴BE＝＝
＝＝3 .
13．(2011·盐城)
情境观察
将矩形ABCD纸片沿对角线AC剪开，得到△ABC和△A′C′D，如图1所示．将△A′C′D的顶点A′与点A重合，并绕点A按逆时针方向旋转，使点D、A(A′)、B在同一条直线上，如图2所示．
观察图2可知：与BC相等的线段是________，∠CAC′＝_________度．

问题探究
如图3，△ABC中，AG⊥BC于点G，以A为直角顶点，分别以AB、AC为直角边，向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q. 试探究EP与FQ之间的数量关系，并证明你的结论．

拓展延伸
如图4，△ABC中，AG⊥BC于点G，分别以AB、AC为一边向△ABC外作矩形ABME和矩形ACNF，射线GA交EF于点H. 若AB＝k AE，AC＝k AF，试探究HE与HF之间的数量关系，并说明理由．

解　情境观察
AD(或A′D)；90.
问题探究
结论：EP＝FQ.
证明：∵Rt△ABE是等腰三角形，
∴AB＝AE，∠BAE＝90°，
∴∠BAG＋∠EAP＝90°.
∵AG⊥BC，∴∠BAG＋∠ABG＝90°，
∴∠ABG＝∠EAP.
∵EP⊥AG，∴∠AGB＝∠EPA＝90°，
∴Rt△ABG≌Rt△EAP, ∴AG＝EP.
同理AG＝FQ.∴EP＝FQ.

拓展延伸
结论： HE＝HF.
理由：过点E作EP⊥GA，FQ⊥GA，垂足分别为P、Q.

∵四边形ABME是矩形，
∴∠BAE＝90°，
∴∠BAG＋∠EAP＝90°.
∵AG⊥BC，∴∠BAG＋∠ABG＝90°，
∴∠ABG＝∠EAP.
∵∠AGB＝∠EPA＝90°，
∴△ABG∽△EAP，
∴＝.
同理△ACG∽△FAQ，∴＝.
∵AB＝k AE，AC＝k AF，∴＝＝k，∴＝.
∴EP＝FQ.

∵∠EHP＝∠FHQ，∴Rt△EPH≌Rt△FQH.
∴HE＝HF.
14．(2010·成都)已知：在菱形ABCD中，O是对角线BD上的一动点．

(1)如图甲，P为线段BC上一点，连接PO并延长交AD于点Q，当O是BD的中点时，求证：OP＝OQ；
(2)如图乙，连接AO并延长，与DC交于点R，与BC的延长线交于点S.若AD＝4，∠DCB＝60°，BS＝10，求AS和OR的长．
解　(1)在菱形ABCD中，AD∥BC，
∴∠QDO＝∠PBO，∠DQO＝∠BPO.
∵O是BD中点，∴BO＝DO.
∴△BOP≌△DOQ.
∴OP＝OQ.
(2)如图，过A作AT⊥BC，与CB的延长线交于T.

∵ABCD是菱形，∠DCB＝60°，
∴AB＝AD＝4，∠ABT＝60°，
∴AT＝AB·sin 60°＝2 ，TB＝AB·sin 60°＝2.
∵BS＝10，∴TS＝TB＋BS＝12.
∴AS＝＝2.
∵AD∥BS，∴△AOD∽△SOB，
∴＝＝＝.
则＝，∴＝.
∵AS＝2，∴OS＝AS＝.
同理可得△ARD∽△SRC，∴＝＝＝，
则＝，∴＝，∴RS＝AS＝.
∴OR＝OS－RS＝－＝.