专题：圆周运动.doc

学科：物理 教学内容：圆周运动
【基础知识归纳】
一、描述圆周运动的物理量
1．线速度
（1）物理意义：描述质点沿圆周运动的快慢．
（2）方向：质点在圆弧某点的线速度方向沿圆弧该点的切线方向．
（3）大小：v＝s/t（s是t时间内通过的弧长）．
2．角速度
（1）物理意义：描述质点绕圆心转动的快慢．
（2）大小：ω＝φ/t（rad/s），φ是连接质点和圆心的半径在t时间内转过的角度．
3．周期T，频率f
做圆周运动的物体运动一周所用的时间叫做周期．
做圆周运动的物体单位时间内沿圆周绕圆心转过的圈数，叫做频率，也叫转速．
4．v、ω、T、f的关系
T＝，
ω＝，
v＝
注意：T、f、ω三个量中任一个确定，其余两个也就确定了．
5．向心加速度
（1）物理意义：描述线速度方向改变的快慢．
（2）大小：a＝＝ω2r＝4π2f 2r＝r
（2）方向：总是指向圆心．所以不论a的大小是否变化，它都是个变化的量．
6．向心力
（1）作用效果：产生向心加速度，只改变线速度的方向，不改变速度的大小．因此，向心力不做功．
（2）大小：F＝ma＝m＝mω2r
＝m＝4π2mf 2r
（2）方向：总是沿半径指向圆心，向心力是个变力．

二、匀速圆周运动
1．特点：匀速圆周运动是线速度大小不变的运动．因此它的角速度、周期和频率都是恒定不变的．物体受的合外力全部提供向心力．
2．质点做匀速圆周运动的条件：合外力大小不变，方向始终与速度方向垂直．

三、一般的圆周运动（非匀速圆周运动）
速度的大小有变化，向心力和向心加速度的大小也随着变化．公式v＝ωr、a＝＝ω2r、F＝m＝mω2r对非匀速圆周运动仍然适用，只是利用公式求圆周上某一点的向心力和向心加速度的大小，必须用该点的瞬时速度值．

【方法解析】
1．在分析传动装置的各物理量时，要抓住不等量和相等量的关系．同轴的各点角速度ω相等，而线速度v＝ωr与半径r成正比，向心加速度a＝ω2r与半径成正比．在不考虑皮带打滑的情况下，传动皮带与皮带连接的两轮边缘的各点线速度大小相等，而角速度ω＝与半径r成反比，向心加速度a＝与半径成反比．
2．处理圆周运动的动力学问题时，在明确研究对象以后，首先要注意两个问题：
（1）确定研究对象运动的轨道平面和圆心的位置，以便确定向心力的方向．例如，沿半球形碗的光滑内表面，一小球在水平面上做匀速圆周运动，如图4—2—1所示．小球做圆周运动的圆心在与小球同一水平面上的O′点，不在球心O，也不在弹力FN所指的PO线上．

图4—2—1
（2）向心力是根据力的效果命名的．在分析做圆周运动的质点受力情况时，切不可在物体的相互作用力（重力、弹力、摩擦力等）以外再添加一个向心力．
3．圆周运动的临界问题：

（1）如图4—2—2和图4—2—3所示，没有物体支撑的小球，在竖直平面做圆周运动过最高点的情况：
①临界条件：绳子或轨道对小球没有力的做用：mg＝mv临界＝
②能过最高点的条件：v≥，当v＞时，绳对球产生拉力，轨道对球产生压力．
③不能过最高点的条件：v＜v临界（实际上球还没到最高点时就脱离了轨道）

（2）如图4—2—4的球过最高点时，轻质杆对球产生的弹力情况：
①当v＝0时，FN＝mg（FN为支持力）．
②当0＜v＜时，FN随v增大而减小，且mg＞FN＞0，FN为支持力．
③当v＝时，FN＝0．
④当v＞时，FN为拉力，FN随v的增大而增大．
若是图4—2—5的小球在轨道的最高点时，如果v≥此时将脱离轨道做平抛运动，因为轨道对小球不能产生拉力．

【典型例题精讲】
［例1］如图4—2—6所示为一皮带传动装置，右轮的半径为r，a是它边缘上的一点，左侧是一轮轴，大轮半径为4r，小轮半径为2r，b点在小轮上，到小轮中心距离为r，c点和d点分别位于小轮和大轮的边缘上，若在传动过程中，皮带不打滑，则

图4—2—6
A．a点与b点线速度大小相等
B．a点与c点角速度大小相等
C．a点与d点向心加速度大小相等
D．a、b、c、d四点，加速度最小的是b点
【解析】 分析本题的关键有两点：其一是同一轮轴上的各点角速度相同；其二是皮带不打滑时，与皮带接触的各点线速度相同．这两点抓住了，然后再根据描述圆周运动的各物理量之间的关系就不难得出正确的结论．
由图4—2—6可知，a点和c点是与皮带接触的两个点，所以在传动过程中二者的线速度相等，即va＝vc，又v＝ωR， 所以ωar＝ωc·2r，即ωa＝2ωc．而b、c、d三点在同一轮轴上，它们的角速度相等，则ωb＝ωc＝ωd＝ωa，所以选项Ｂ错．又vb＝ωb·r＝ ωar＝va，所以选项A也错．向心加速度：aa＝ωa2r；ab＝ωb2·r＝（ωa）2r＝ωa2r＝aa；
ac＝ωc2·2r＝（ωa）2·2r＝ ωa2r＝aa；ad＝ωd2·4r＝（ωa）2·4r＝ωa2r＝aa．所以选项C、D均正确．
【思考】 在皮带传动装置中，从动轮的转动是静摩擦力做用的结果．试分析一下主动轮和从动轮上的与皮带接触的各点所受摩擦力的情况．
【思考提示】 从动轮的摩擦力带动轮子转动，故轮子受到的摩擦力方向沿从动轮的切线与轮的转动方向相同；主动轮靠摩擦力带动皮带，故主动轮所受摩擦力方向沿轮的切线与轮的转动方向相反．
【设计意图】 帮助学生理清表示圆周运动的各物理量间的关系．并掌握讨论有关问题的方法．
［例2］如图4—2—7所示，在电机距轴O为r处固定一质量为m的铁块．电机启动后，铁块以角速度ω绕轴O匀速转动．则电机对地面的最大压力和最小压力之差为__________．

【解析】 铁块在竖直面内做匀速圆周运动，其向心力是重力mg与轮对它的力F的合力．由圆周运动的规律可知： 当m转到最低点时F最大，当m转到最高点时F最小．设铁块在最高点和最低点时，电机对其做用力分别为F1和F2，且都指向轴心，根据牛顿第二定律有：
在最高点：mg＋F1＝mω2r ①
在最低点：F2－mg＝mω2r ②
电机对地面的最大压力和最小压力分别出现在铁块m位于最低点和最高点时，且压力差的大小为：ΔFN＝F2＋F1 ③
由①②③式可解得：ΔFN＝2mω2r
【思考】 （1）若m在最高点时突然与电机脱离，它将如何运动?
（2）当角速度ω为何值时，铁块在最高点与电机恰无做用力?
（3）本题也可认为是一电动打夯机的原理示意图．若电机的质量为M，则ω多大时，电机可以“跳”起来?此情况下，对地面的最大压力是多少?
【思考提示】 （1）平抛运动
（2）电机对铁块无做用力时，重力提供铁块的向心力，则
mg＝mω12r
即 ω1＝
（3）铁块在最高点时，铁块与电动机的相互做用力大小为F1，则
F1＋mg＝mω22r
F1＝Mg
即当ω2≥时，电动机可以跳起来，当ω2＝时，铁块在最低点时电机对地面压力最大，则
F2－mg＝mω22r
图4—2—8 FN＝F2＋Mg
解得电机对地面的最大压力为FN＝2（M＋m）g
【设计意图】 通过本例说明在竖直平面内物体做圆周运动通过最高点和最低点时向心力的来源，以及在最高点的临界条件的判断和临界问题分析方法．
［例3］如图4—2—8所示，光滑的水平面上钉有两枚铁钉A和B，相距0.1 m、长1 m的柔软细绳拴在A上，另一端系一质量为0.5 kg的小球，小球的初始位置在AB连线上A的一侧，把细线拉紧，给小球以2 m/s的垂直细线方向的水平速度使它做圆周运动．由于钉子B的存在，使线慢慢地缠在A、B上．

（1）如果细线不会断裂，从小球开始运动到细线完全缠在A、B上需要多长时间?
（2）如果细线的抗断拉力为7 N，从开始运动到细线断裂需经历多长时间?
【解析】 小球交替地绕A、B做匀速圆周运动，因线速度不变，随着转动半径的减小，线中张力F不断增大，半周期不断减小．推算出每个半周期的时间及半周期数，就可求出总时间，根据绳子能承受的最大拉力，可求出细绳断裂所经历的时间．
在第一个半周期内：F1＝m t1＝
在第二个半周期内：F2＝m
t2＝
在第三个半周期内：F3＝m
t3＝
……
在第n个半周期内：
Fn＝m
tn＝
由于＝10 所以n≤10
（1）小球从开始运动到细线完全缠到A、B上的时间
t＝t1＋t2＋…＋t10
＝
＝≈8.6 s
（2）设在第x个半周期时，Fx＝7 N
由Fx＝m
代入数据后得x＝8
则所经历的时间
t＝
＝s≈8.2 s
【说明】 运用递推规律写出通式及对数列的求和都是物理解题中常用到的数学方法．物理和数学是紧密联系的，应用数学处理物理问题的能力是高考要求的五种能力之一，近几年的高考均对该能力提出了较高的要求．因此，在平时的练习中，应注意数学知识与物理知识的结合，能在正确分析、清楚地理解试题所给的物理现象、物理过程的基础上，运用数学知识列式、推导和求解．
【设计意图】 如何对于这种多过程问题，利用递推规律总结出有关物理量变化的通式的方法；提高学生应用数学知识解决物理问题的能力．

【达标训练】
【基础练习】
1．一辆卡车在丘陵地匀速行驶，地形如图4—2—9所示，由于轮胎太旧，途中爆胎，爆胎可能性最大的地段应是

图4—2—9
A．a处 B．b处
C．c处 Ｄ．d处
【解析】 汽车在不同路段上的运动，可认为是半径不同的圆周运动．在a、c两处有mg－FN1＝mv2/2，则正压力FN1小于重力．在b、d两处有：FN2－mg＝mv2/2，则正压力FN2大于重力，又因为d处的半径小，所以轮胎在d处受的正压力最大．
【答案】 D
2．有一种大型游戏器械，它是一个圆筒型大容器，筒壁竖直，游客进入容器后靠筒壁站立，当圆筒开始转动后，转速加快到一定程度时，突然地板塌落，游客发现自己没有落下去，这是因为
A．游客受到的筒壁的作用力垂直于筒壁
B．游客处于失重状态
C．游客受到的摩擦力等于重力
D．游客随着转速的增大有沿壁向上滑动的趋势
【解析】 人做圆周运动的向心力由容器壁的弹力提供；竖直方向人受到的静摩擦力跟重力是一对平衡力，C选项正确．游客受到筒壁的作用力为弹力和摩擦力的合力，不与筒壁垂直，A选项错．游客在竖直方向加速度为零，故不是处于失重状态，B选项错，转速增大时，游客仍有沿筒壁下滑的趋势，受到向上的静摩擦力做用．D选项错．
【答案】 C
3．对滑冰运动员的最大摩擦力为其重力的k倍，在水平冰面上沿半径为R的圆周滑行的运动员，若仅依靠摩擦力来提供向心力而不冲出圆形滑道，其运动的速度应满足
A．v≥ B．v≤
C．v≤ D．v≤
【解析】 摩擦力提供向心力；根据临界条件，mgk＝m，得v＝
则v≤
【答案】 B
4．如图4—2—10所示，将完全相同的两小球A、B用长L＝0.8 m的细绳悬于以速度v＝4 m/s向右匀速运动的小车顶部，两球与小车的前、后壁接触，由于某种原因，小车突然停止，此时悬线的拉力之比FB∶FA为（g取10 m/s2）

图4—2—10
A．1∶1 B．1∶2
C．1∶3 D．1∶4
【解析】 小车突然停止，球B也随之停止，故FB＝mg
球A开始从最低点摆动，则
FA－mg＝m
FA＝m（g＋）＝3mg
所以
【答案】 C
5．用同样材料做成的A、B、C三个物体，放在匀速转动的水平平台上，已知，mA＝2mB＝2mC，各物体到轴的距离rC＝2rA＝2rB，若它们相对于平台无滑动，则下面说法中不正确的是
A．C的向心加速度最大 B．B的摩擦力最小
C．转速增大时，C比B先滑动 D．转速增大时，B比A先滑动
【解析】 由a＝ω2r知，C的向心加速度最大．由Ff＝mω2r知，B所受的静摩擦力最小．物体将要滑动时有μmg＝m ω2r，即μg＝ω2r．所以在转速增大时，C先滑动．所以D选项的说法不正确．
【答案】 D
6．在光滑杆上穿着两个小球m1、m2，且m1＝2m2，用细线把两球连起来，当盘架匀速转动时，两小球刚好能与杆保持无相对滑动，如图4—2—11所示，此时两小球到转轴的距离r1与r2之比为

图4—2—11
A．1∶1 B．1∶
C．2∶1 D．1∶2
【解析】 两球向心力、角速度均相等，由公式
F＝mω2r 得r∝，则．
【答案】 D
7．童非，江西人，中国著名体操运动员，首次在单杠项目上实现了“单臂大回环 ”:用一只手抓住单杠，伸展身体，以单杠为轴做圆周运动．假设童非的质量为65 kg，那么，在完成“单臂大回环” 的过程中，童非的单臂至少要能够承受______ N的力．（g取10 m/s2）
【解析】 由机械能守恒可知从杠上面静止开始到转至杠下面的运动员的速度为：
mg·2·h＝mv12，由圆周运动的知识可得：
F－mg＝m
综合两式可得：F＝5mg＝3250 N
【答案】 3250
8．如图4—2—12所示，直径为d的纸制圆筒，使它以角速度ω绕轴O匀速转动，然后使子弹沿直径穿过圆筒．若子弹在圆筒旋转不到半周时在圆筒上留下a、b两个弹孔，已知aO、bO夹角为φ，求子弹的速度．

图4—2—12
【解析】 子弹从a穿入圆筒到从b穿出圆筒，圆筒转过的角度为π－φ，则子弹穿过圆筒的时间为t＝（π－φ）/ω
在这段时间内子弹的位移为圆筒的直径d，则子弹的速度为
v＝d/t＝ωd/（π－φ）．
【答案】 ωd/（π－φ）
9．质量相等的小球A、B分别固定在轻杆的中点及端点，当杆在光滑水平面上绕O点匀速转动时，如图4—2—13所示，求杆的OA段及AB段对球的拉力之比．

图4—2—13
【解析】 A、B两球在光滑水平面上做匀速圆周运动时，B球受到重力、支持力、杆的拉力三个力做用，重力和支持力平衡，杆AB对它的拉力即为它做匀速圆周运动的向心力，设杆转动的角速度为ω，则FAB＝mω2L ①
A球受到四个力的做用，其重力和支持力平衡，其做匀速圆周运动的向心力为OA和AB两段杆对A球拉力的合力，即
FOA－FAB＝mω2L/2 ②
由①②得FOA＝3mω2L/2
由OA段与AB段的拉力之比为：
FOA∶FAB＝3∶2
【答案】 3∶2
10．汽车以一定的速度在一宽阔水平路上匀速直线行驶，突然发现正前方有一堵长墙，为了尽可能避免碰到墙壁，司机紧急刹车好?还是马上转弯好?试定量分析并说明道理（“马上转弯”可近似地看做匀速圆周运动）．
【解析】 刹车好还是转弯好，要看哪种方法撞墙的可能性小．设摩擦因数为μ，质量为m，速度为v．
刹车：μmg＝ma 则a＝μg．
由2as＝vt2－v02 得s＝
转弯：μmg＝m 得R＝
比较得刹车比转弯好．
【答案】 紧急刹车好

【能力突破】
11．一把雨伞边缘的半径为r，且高出水平地面h．当雨伞以角速度ω旋转时，雨滴自边缘甩出落在地面上成一个大圆周．这个大圆的半径为_______．
【解析】 雨滴离开雨伞的速度为
v0＝ωr
雨滴做平抛运动的时间为
t＝
雨滴的水平位移为
x＝v0t＝ωr
雨滴落在地上形成的大圆的半径为
R＝

【答案】 r
12．如图4—2—14所示，用细绳一端系着的质量为M＝0.6 kg的物体A静止在水平转盘上，细绳另一端通过转盘中心的光滑小孔O吊着质量为m＝0.3 kg的小球B，A的重心到O点的距离为0.2 m．若A与转盘间的最大静摩擦力为Ff＝2 N，为使小球B保持静止，求转盘绕中心O旋转的角速度ω的取值范围．（取g＝10 m/s2）

图4—2—14
【解析】 要使B静止，A必须相对于转盘静止——具有与转盘相同的角速度．A需要的向心力由绳拉力和静摩擦力合成，角速度取最大值时，A有离心趋势，静摩擦力指向圆心O；角速度取最小值时，A有向心力运动的趋势，静摩擦力背离圆心O．
对于B，F＝mg
对于A，F＋Ff＝Mrω12
F－Ff＝Mrω22
解得：ω1＝＝6.5 rad/s；
ω2＝＝2.9 rad/s
【答案】 2.9 rad/s≤ω≤6.5 rad/s
※13．如图4—2—15，电视画面每隔1/30 s更迭一帧，当屏幕上出现一辆车匀速奔驰的情景时，观众如果注视车辆的辐条，往往会产生奇怪的感觉，设车上有八根对称分布的完全相同的辐条，试问下列说法不正确的是

A．若在s内，每根辐条恰好转过45°，则观众觉得车轮是不动的
B．若在s内，每根辐条恰好转过360°，则观众觉得车轮是不动的
C．若在s内，每根辐条恰好转过365°，则观众觉得车轮是倒转的
D．若在s内，每根辐条恰好转过355°，则观众觉得车轮是倒转的
【解析】 若在1/30 s内，转过45°或360°，相邻辐条之间，后面辐条转至前面辐条位置，由于视觉暂留，观众认为不动．同理可判定D的说法正确．不正确的判断为C．
【答案】 C
※14．如果表演“水流星”节目时（一个杯子），拴杯子的绳长为L，绳子能承受的最大拉力是杯子和杯内水重力的8倍，要使绳子不断裂，节目成功，则杯子通过最高点的速度最小为______，通过最低点的速度最大为______．
【解析】 据圆周运动的知识，对最高点分析有：mg＝m
对最低点有：Fmax－mg＝m
【答案】
※15．质量为mA和mB的两个小球A和B用轻质弹簧连在一起，用长为L1的细绳将A球系于O轴上，使AB两球均以角速度ω在光滑的水平面上绕OO′轴做匀速圆周运动，如图4—2—16所示，当两球间的距离为L2时，将线烧断，线被烧断的瞬间，两球加速度aA和aB各是多少？

图4—2—16
【解析】 B球绕O点做匀速圆周运动时，向心力由弹簧的弹力提供，则
F＝mBω2（L1＋L2）
烧断线的瞬间，A、B受的合外力均为F＝mBω2（L1＋L2），所以，两球的加速度分别为
aA＝
aB＝
【答案】
※16．如图4—2—17所示，质量为m＝1 kg的小球用细线拴住，线长l＝0.5 m，细线所受拉力达到Fm＝18 N时就会被拉断．当小球从图示位置释放后摆到悬点的正下方时，细线恰好被拉断，若此时小球距水平地面的高度h＝5 m，重力加速度g＝10 m/s2，求小球落地处到地面上P点的距离．（P点在悬点的正下方）

图4—2—17
【解析】 小球摆到悬点正下方时，细线的拉力达到Fm＝18 N，此时球的速度为v，则Fm－mg＝m
解得 v＝2 m/s
线断后小球做平抛运动，则
h＝gt2
x＝vt
解得x＝v t＝v＝2×＝2 m
【答案】 2 m