【数学】安徽省池州市七校2010届高三元旦调研考试（理）03.doc

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池州市七校2010届高三元旦调研模拟考试
数学试题（理）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
1．设，，，则( )
A． B． C． D．
2．已知是实数，则“且”是“且”的 ( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3. 设、、是单位向量，且·＝0，则的最小值为 ( )
（A） （B） （C） (D)
4. 如果函数的图像关于点中心对称，那么的最小值为
（A） （B） （C） (D)
5．在三棱柱中，各棱长相等，侧掕垂直于底面，点是侧面的中心，则与平面所成角的大小是 ( )
A． B． C． D．
6. 已知直线y=x+1与曲线相切，则α的值为( )
(A)1 (B)2 (C) -1 (D)-2
7．设向量，满足：，，．以，，的模为边长构成三角形，则它的边与半径为的圆的公共点个数最多为 ( )
A． B． C． D．
8．已知是实数，则函数的图象不可能是 ( )
9．过双曲线的右顶点作斜率为的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为．若，则双曲线的离心率是 ( )
A B． C． D．
10．对于正实数，记为满足下述条件的函数构成的集合：且，有．下列结论中正确的是 ( )
A．若，，则
B．若，，且，则
C．若，，则
D．若，，且，则
11.曲线在点处的切线方程为
A. B. C. D.

12.若将函数的图像向右平移个单位长度后，与函数的图像重合，则的最小值为
A． B. C. D.
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。
13．设等比数列的公比，前项和为，则 ．

14．若某几何体的三视图（单位：）如图所示，则此几何体的体积是 ．

15．若实数满足不等式组则的最小值 是 ．

16. 14．已知数列满足：则________；=_________.
三、解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.在中，内角A、B、C的对边长分别为、、，已知，且 求b
18.在数列中，,
（I）设，求数列的通项公式;
（II）求数列的前项和
19.设函数有两个极值点，且，
求的取值范围，并讨论的单调性；

20090423

20．如图，平面平面，
是以为斜边的等腰直角三角形，分别为，
，的中点，，．
（I）设是的中点，证明：平面；
（II）证明：在内存在一点，使平面．
20090423

21．已知，椭圆C过点A，两个焦点为（－1，0），（1，0）。
（1）求椭圆C的方程；
(2) E,F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，
证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值。

20090423

22．（本题满分14分）已知函数，，
其中．
（I）设函数．若在区间上不单调，求的取值范围；
（II）设函数 是否存在，对任意给定的非零实数，存在惟一
的非零实数（），使得成立？若存在，求的值；若不存
在，请说明理由．

数学试题（理）答案
1.答案：B 【解析】 对于，因此．
2.答案：C 【解析】对于“且”可以推出“且”，反之也是成立的
3.解: 是单位向量
故选D.
.解: 函数的图像关于点中心对称
由此易得.故选A
5.答案：C 【解析】取BC的中点E，则面，，因此与平面所成角即为，设，，即有．
6.解:设切点，则,又
.故答案选B
7.答案：C
【解析】对于半径为1的圆有一个位置是正好是三角形的内切圆，此时只有三个交点，对于圆的位置稍一右移或其他的变化，能实现4个交点的情况，但5个以上的交点不能实现．
8.答案：D 【解析】对于振幅大于1时，三角函数的周期为，而D不符合要求，它的振幅大于1，但周期反而大于了．

9.答案：C
【解析】对于，则直线方程为，直线与两渐近线的交点为B，C，，则有
，因．
10.答案：C 【解析】对于，即有，令，有，不妨设，，即有，因此有，因此有．
11.解：,
故切线方程为,即 故选B.
12.解：
，
又.故选D
13.答案：15【解析】对于
14.答案：18【解析】该几何体是由二个长方体组成，下面体积为，上面的长方体体积为，因此其几何体的体积为18
15.答案：4 【解析】通过画出其线性规划，可知直线过点时，
16. 【答案】1，0【解析】本题主要考查周期数列等基础知识.属于创新题型.
依题意，得，.∴应填1，0.
17.分析:此题事实上比较简单,但考生反应不知从何入手.对已知条件(1)左侧是二次的右侧是一次的,学生总感觉用余弦定理不好处理,而对已知条件(2) 过多的关注两角和与差的正弦公式,甚至有的学生还想用现在已经不再考的积化和差,导致找不到突破口而失分.
解法一：在中则由正弦定理及余弦定理有:化简并整理得：.又由已知.解得.
解法二:由余弦定理得: .又,。
所以…………………………………①
又，
，即
由正弦定理得，故………………………②
由①，②解得。
18.分析：（I）由已知有
利用累差迭加即可求出数列的通项公式: ()
（II）由（I）知,
=
而,又是一个典型的错位相减法模型，
易得 =

19.解: （I）
令，其对称轴为。由题意知是方程的两个均大于的不相等的实根，其充要条件为，得
⑴当时，在内为增函数；
⑵当时，在内为减函数；
⑶当时，在内为增函数；
20.证明：（I）如图，连结OP，以O为坐标原点，分别以OB、OC、OP所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系O，
则，由题意得，因，因此平面BOE的法向量为，得，又直线不在平面内，因此有平面
（II）设点M的坐标为，则，因为平面BOE，所以有，因此有，即点M的坐标为，在平面直角坐标系中，的内部区域满足不等式组，经检验，点M的坐标满足上述不等式组，所以在内存在一点，使平面，
（21）解：
（Ⅰ）由题意，c=1,可设椭圆方程为，解得，（舍去）
所以椭圆方程为。 ……………4分
（Ⅱ）设直线AE方程为：，代入得

设,,因为点在椭圆上，所以
;
又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，在上式中以—K代K，可得
;
所以直线EF的斜率.

22.解析：（I）因，，因在区间上不单调，所以在上有实数解，且无重根，由得
，令有，记则在上单调递减，在上单调递增，所以有，于是，得，而当时有在上有两个相等的实根，故舍去，所以；
（II）当时有；
当时有，因为当时不合题意，因此，
下面讨论的情形，记A，B=，（ⅰ）当时，在上，
单调递增，所以要使成立，只能且，因此有，（ⅱ）当时，在上单调递减，所以要使成立，只能且，因此，综合（ⅰ）（ⅱ）；
当时A=B，则，即使得成立，因为在上单调递增，所以的值是唯一的；
同理，，即存在唯一的非零实数，要使成立，所以满足题意．

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