北师大_一元二次方程课件.doc

中小数理化（加油站）

南苑中学教师备课笔记
课　　题
§2.1.1　花边有多宽(一)
第2课时
共1课时
教　　学
目　　标
1．理解一元二次方程的概念及它的有关概念；2．经历由具体问题抽象出一元二次方程的概念的过程，进一步体会方程是刻画现实世界的一个有效数学模型．
重　　点
一元二次方程的概念及它的一般形式
难　　点
一元二次方程的概念
教具准备

施教时间
2006年　月　日
教学过程：
Ⅰ．创设现实情景、引入新课
经济时代的今天，你能根据商品的销售利润作出一定的决策吗?你能为一个矩形花园提供多种设计方案吗?……
下面我们来学习第一节：花边有多宽．（板书）
Ⅱ．讲授新课
例1　我们来看一个实际问题(小黑板)
一块四周镶有宽度相等的花边的地毯，如图所示，它的长为8m，宽为5m，如果地毯中央长方形图案的面积为18m2，那么花边有多宽?
分析：从题中，找出已知量、未知量及问题中所涉及的等量关系．
这个题已知：这块地毯的长为8m，宽为5m，它中央长方形图案的面积为18m2．
所要求的是；地毯的花边有多宽．本题是以面积为等量关系．
如果设花边的宽为xm，那么地毯中央长方形图案的长为(8－2x)m，宽为(5－2x)m，根据题意，可得方程(8－2x)(5－2x)＝18
例2．下面我们来看一个数学问题（小黑板）
观察下面等式
102＋112＋122＝132＋142．
你还能找到其他的五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗?
总结： 这个问题可以有不同的设未知数的方法，同学们可灵活设未知数，即可设这五个数中的任意一个，其他四个数可随之变化．
例3 下面我们来看一个实际问题(小黑板)：
如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m，如果梯子的顶端下滑1m，那么梯子的底端滑动多少米?
分析：墙与地面是垂直的，因而墙、地面和梯子构成了直角三角形．已知梯子的长为10m，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m，所以由勾股定理可知，滑动前梯子底端距墙有6m．
设梯子底端滑动xm，那么滑动后梯子底端距墙(6＋x)m，根据题意，利用勾股定理，可得方程．
上面的三个方程都是只含有一个未知数x的整式方程，等号两边都是关于未知数的整式的方程，称为整式方程，如：我们学习过的一元一次方程，二元一次方程等都是整式方程．这三个方程还都可以化为ax2＋bx＋c＝0(a、b、c为常数，a≠0)的形式，这样的方程我们叫做一元二次方程(quadratic equatton with one unknown)，即只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．
2．任何一个关于x的一元二次方程都可以化为ax2＋bx＋＋c＝0(a≠0)的形式，其中a≠0是定义的一部分，不可漏掉，否则就不是一元二次方程了．
Ⅲ．应用、深化
课本P44随堂练习1、2 课本P44习题2．1 1、2
Ⅳ．课时小结
本节课我们由讨论“花边有多宽”得出一元二次方程的概念．
1．一元二次方程属于“整式方程”，其次，它只含有一个未知数，并且都可以化为 ax2＋bx＋c＝0(a、b、c为常数，a≠0)的形式．
2．一元二次方程的一般形式为ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，一元二次方程的项及系数都是根据它的一般形式定义的，这与多项式中的项、次数及其系数的定义是一致的．
Ⅴ.课后作业
作业本（ ）
Ⅵ．活动与探究
当d、b、c满足什么条件时，方程(a－1)x2－bx＋c＝0是一元二次方程?这时方程的二次项系数、一次项系数分别是什么?当a、b、c满足什么条件时，方程(a－1)x2－bx＋c＝0是一元一次方程?
板书设计
§2.1.1　花边有多宽(一)
例1方程
例2方程
例3方程
一元二次方程的定义
活动与探究

教学反思
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南苑中学教师备课笔记
课　　题
§2.1.2　花边有多宽
第2课时
共2课时
教　　学
目　　标
1、经历方程解的探索过程，增进对方程解的认识，发展估算意识和能力；
2、渗透“夹逼”思想。
重　　点
用“夹逼”方法估算方程的解；求一元二次方程的近似解。
难　　点
用“夹逼”方法估算方程的解；求一元二次方程的近似解。
教具准备

施教时间
2006年　月　日
教学过程：
一、复习：
1、什么叫一元二次方程？它的一般形式是什么？一般形式：ax2＋bx＋c－0(a≠0)
2、指出下列方程的二次项系数，一次项系数及常数项。
（1）2x2―x＋1＝0 (2)―x2＋1＝0 (3)x2―x＝0 (4)―x2＝0
二、新授：
1、估算地毯花边的宽。
地毯花边的宽x(m)，满足方程 (8―2x)(5―2x)＝18
也就是：2x2―13x＋11＝0
你能求出x吗？
（1）x可能小于0吗？说说你的理由；x不可能小于0，因为x表示地毯的宽度。
（2）x可能大于4吗？可能大于2.5吗？为什么？
x不可能大于4，也不可能大于2.5， x>4时，5―2x<0 ， x>2.5时， 5―2x<0.
（3）完成下表
x
0
0.5
1
1.5
2
2.5
2x2―13x＋11

从左至右分别11，4.75，0，―4，―7，―9
（4）你知道地毯花边的宽x(m)是多少吗？还有其他求解方法吗？与同伴交流。
地毯花边1米，另，因8―2x比5―2x多3，将18分解为6×3，8―2x＝6，x＝1
2、例题讲析：
例：梯子底端滑动的距离x（m）满足(x＋6)2＋72＝102
也就是x2＋12x―15＝0
（1）你能猜出滑动距离x(m)的大致范围吗？
（2）x的整数部分是几？十分位是几？
x
0
0.5
1
1.5
2
x2＋12x―15
－15
－8.75
－2
5.25
13
所以1<x<1.5
进一步计算
x
1.1
1.2
1.3
1.4
x2＋12x―15
－0.59
0.84
2.29
3.76
所以1.1<x<1.2
因此x 的整数部分是1，十分位是1
注意：（1）估算的精度不适过高。（2）计算时提倡使用计算器。
三、巩固练习：
P47，随堂练习1 ； P47，习题2.2：1、2
四、小结：
估计方程的近似解可用列表法求，估算的精度不要求很高。
五、作业：作业本( )

板书设计
§2.1.2　花边有多宽
引例

例题
随堂练习

教学反思
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南苑中学教师备课笔记
课　　题
§2.2　配方法（1）
第3课时
共1课时
教　　学
目　　标
1、会用开平方法解形如(x＋m)2＝n (n≥0)的方程；
2、理解配方法，会用配方法解简单的数字系数的一元二次方程；
3、体会转化的数学思想，用配方法解一元二次方程的过程。
重　　点
利用配方法解一元二次方程
难　　点
把一元二次方程通过配方转化为(x十m)2＝n(n0)的形式．
教具准备

施教时间
2006年　月　日
教学过程：
一、复习：
1、解下列方程：
（1）x2＝9 （2）(x＋2)2＝16
2、什么是完全平方式？
利用公式计算：
（1）(x＋6)2 （2）(x－)2
注意：它们的常数项等于一次项系数一半的平方。
3、解方程：（梯子滑动问题）
x2＋12x－15＝0
二、新授：
1、引入：像上面第3题，我们解方程会有困难，是否将方程转化为第1题的方程的形式呢？
2、解方程的基本思路（配方法）
如：x2＋12x－15＝0 转化为
(x＋6)2＝51
两边开平方，得
x＋6＝±
∴x1＝―6 x2＝――6(不合实际)
因此，解一元二次方程的基本思路是将方程转化为(x＋m)2＝n 的形式，它的一边是一个完全平方式，另一边是一个常数，当n≥0 时，两边开平方便可求出它的根。
3、配方：填上适当的数，使下列等式成立：
（1）x2＋12x＋ ＝(x＋6)2
（2）x2―12x＋ ＝(x―)2
（3）x2＋8x＋ ＝(x＋)2
从上可知：常数项配上一次项系数的一半的平方。
4、讲解例题：
例1：解方程：x2＋8x―9＝0
分析：先把它变成(x＋m)2＝n （n≥0）的形式再用直接开平方法求解。
解：移项，得：x2＋8x＝9
配方，得：x2＋8x＋42＝9＋42 ，（两边同时加上一次项系数一半的平方）
即：(x＋4)2＝25
开平方，得：x＋4＝±5
即：x＋4＝5 ，或x＋4＝―5
所以：x1＝1，x2＝―9
5、配方法：通过配成完全平方式的方法得到了一元二次方程的根，这种解一元二闪方程的方法称为配方法。
三、巩固练习：
P50，随堂练习：1； P50习题2.3　　1、2
四、小结：
（1）什么叫配方法？
（2）配方法的基本思路是什么？
（3）怎样配方？
五、作业：作业本

板书设计
§2.2　配方法（1）
复习题
引例
配方法的基本思路
例题
配方法定义

教学反思
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南苑中学教师备课笔记
课　　题
§2.2　配方法（2）
第3课时
共2课时
教　　学
目　　标
1、利用配方法解数字系数的一般一元二次方程。
2、进一步理解配方法的解题思路。
重　　点
用配方法解一元二次方程的思路；给方程配方。
难　　点
用配方法解一元二次方程的思路；给方程配方。
教具准备

施教时间
2006年　月　日
教学过程：
一、复习：
1、什么叫配方法？
2、怎样配方？方程两边同加上一次项系数一半的平方。
3、解方程：
（1）x2＋4x＋3＝0 （2）x2―4x＋2＝0
二、新授：
1、例题讲析：
例3：解方程：3x2＋8x―3＝0
分析：将二次项系数化为1后，用配方法解此方程。
解：两边都除以3，得：x2＋x―1＝0
移项，得：x2＋x＝1
配方，得：x2＋x＋()2＝1＋()2 （方程两边都加上一次项系数一半的平方）
(x＋)2＝()2
即：x＋＝± 所以x1＝，x2＝―3
2、用配方法解一元二次方程的步骤：
（1）把二次项系数化为1；
（2）移项，方程的一边为二次项和一次项，另一边为常数项。
（3）方程两边同时加上一次项系数一半的平方。
（4）用直接开平方法求出方程的根。
3、做一做：
一小球以15m/s的初速度竖直向上弹出，它在空中的高度h（m）与时间t（s）满足关系：h＝15t―5t2
小球何时能达到10m高？
三、巩固：
练习：P51，随堂练习：1　　P33，习题2.4　1、2
四、小结：
1、用配方法解一元二次方程的步骤。
（1）化二次项系数为1；
（2）移项；
（3）配方：
（4）求根。
五、作业：作业本

板书设计
§2.2　配方法（2）
配方法定义
复习题

例3
配方法的步骤

教学反思
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南苑中学教师备课笔记
课　　题
§2.2　配方法（三）
第3课时
共3课时
教　　学
目　　标
1、经历用方程解决实际问题的过程，体会一元二次方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型，培养学生数学应用的意识和能力；
2、进一步掌握用配方法解题的技能。
重　　点
列一元二次方程解方程。
难　　点
列一元二次方程解方程。
教具准备

施教时间
2006年　月　日
教学过程：
一、复习：
1、配方：
（1）x2―3x＋＝(x―)2
（2）x2―5x＋＝(x―)2
2、用配方法解一元二次方程的步骤是什么？
3、用配方法解下列一元二次方程？
（1）3x2―1＝2x (2)x2―5x＋4＝0
二、引入课题：
我们已经学习了用配方法解一元二次方程，在生产生活中常遇到一些问题，需要用一元二次方程来解答，请同学们将课本翻到54页，阅读课本，并思考：
三、出示思考题：
1、

如图所示：
（1）设花园四周小路的宽度均为xm，可列怎样的一元二次方程？
(16－2x)(12－2x)＝×16×12
（2）一元二次方程的解是什么？
x1＝2，x2＝12
（3）这两个解都合要求吗？为什么？
x1＝2合要求，x2＝12不合要求，因荒地的宽为12m，小路的宽不可能为12m，它必须小于荒地宽的一半。
2、设花园四角的扇形半径均为xm，可列怎样的一元二次方程？
x2π＝×12×16
（2）一元二次方程的解是什么？
X1＝≈5.5
X2≈－5.5
（3）符合条件的解是多少？
X1＝5.5
3、你还有其他设计方案吗？请设计出来与同伴交流。
（1）花园为菱形？　　　　　　　　（2）花园为圆形
（3）花园为三角形？　　　　　　　（4）花园为梯形

四、练习：P56随堂练习　　P56，习题2.5，1、2
五、小结：
1、本节内容的设计方案不只一种，只要符合条件即可。
2、设计方案时，关键是列一元二次方程。
3、一元二次方程的解一般有两个，要根据实际情况舍去不合题意的解。
六、作业：作业本
板书设计
§2.2　配方法（三）
配方法解一元二次方程的步骤
复习题

思考题
随堂练习
习题
教学反思
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南苑中学教师备课笔记
课　　题
2.3　公式法
第1课时
共1课时
教　　学
目　　标
1．一元二次方程的求根公式的推导；
2．会用求根公式解一元二次方程。
重　　点
一元二次方程的求根公式．
难　　点
求根公式的条件：b2－4ac0。
教具准备

施教时间
2006年　月　日
教学过程：
一、复习
1、用配方法解一元二次方程的步骤有哪些？
2、用配方法解方程：x2－7x－18＝0
二、新授：
1、推导求根公式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)
解：方程两边都作以a，得x2＋x＋＝0
移项，得：x2＋x＝－
配方，得： x2＋x＋()2＝－＋()2
即：（x＋）2＝
∵a≠0，所以4a2>0
当b2－4ac≥0时，得
x＋＝±＝±
∴x＝
一般地，对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，当b2－4ac≥0时，
它的根是x＝
注意：当b2－4ac<0时，一元二次方程无实数根。
2、公式法：
利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法。
3、例题讲析：
例：解方程：x2―7x―18＝0
解：这里a＝1，b＝―7，c＝―18
∵b2－4ac＝(―7)2―4×1×(―18)＝121>0
∴x＝，即：x1＝9，x2＝―2
例：解方程：2x2＋7x＝4
解：移项，得2x2＋7x―4＝0
这里，a＝1，b＝7，c＝―4
∵b2－4ac＝72―4×1×(―4)＝81>0
∴x＝＝
即:x1＝ ， x2＝―4
三、巩固练习：
P58随堂练习：1、⑴⑶　2
习题2.6　1、2、⑵⑶
四、小结：
（1）求根公式：x＝（b2－4ac≥0）
（2）利用求根公式解一元二次方程的步骤
五、作业：作业本

板书设计
2.3　公式法
一、 复习
二、 求根公式的推导

三、 练习
四、 小结
五、 作业

教学反思
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南苑中学教师备课笔记
课　　题
2.4　分解因式法
第2课时
共1课时
教　　学
目　　标
1．能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法。体会解决问题方法的多样性。
2．会用分解因式（提公因式法、公式法）解某些简单的数字系数的一元二次方程。
重　　点
掌握分解因式法解一元二次方程。
难　　点
灵活运用分解因式法解一元二次方程。
教具准备

施教时间
2006年　月　日
教学过程：
一、回顾交流
1、用两种不同的方法解下列一元二次方程。
1.5x2－2x－1＝0　　　2.10(x＋1)2－25(x＋1)＋10＝0
观察比较：一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相等，这个数是几？你是怎样求出来的？
分析小颖、小明、小亮的解法：
小颖：用公式法解正确；
小明：两边约去x，是非同解变形，结果丢掉一根，错误。
小亮：利用“如果ab＝0，那么a＝0或b＝0”来求解，正确。
分解因式法：
利用分解因式来解一元二次方程的方法叫分解因式法。
因式分解法的理论根据是：如果两个因式的积等于零，那么这两个因式至少有一个等于零．如：若(x+2)(x-3)＝0，那么x+2＝0或．x-3＝0；反之，若x+2＝0或x-3＝0，则一定有(x+2)(x-3)＝0．这就是说，解方程(x+2)(x-3)=0就相当于解方程x+2＝0或x-3=0．
二、范例学习
例：解下列方程。
1.5x2＝4x　　　2.x－2＝x(x－2)
想一想
你能用几种方法解方程x2－4＝0，(x＋1)2－25＝0。
三、随堂练习
随堂练习　1、2　P62　习题2.7　1、2
[拓展题]
分解因式法解方程：x3－4x2＝0。
四、课堂总结
利用因式分解法解一元二次方程，能否分解是关键，因此，要熟练掌握因式分解的知识，通过提高因式分解的能力，来提高用分解因式法解方程的能力，在使用因式分解法时，先考虑有无公因式，如果没有再考虑公式法。
五、布置作业
补充：
用分解因式法解：
（1）(2x-5)2-2x+5=0；
（2）4(2x-1)2＝9(x+4)2；
（3）(x-1)(x+3)＝12．

板书设计
2.4　分解因式法
一、 复习
二、 例题
三、 想一想
四、 练习
五、 小结
六、 作业
教学反思
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南苑中学教师备课笔记
课　　题
2.5　为什么是0.618（1）
第2课时
共2课时
教　　学
目　　标
1、掌握黄金分割中黄金比的来历；
2、经历分析具体问题中的数量关系，建立方程模型并解决问题的过程，认识方程模型的重要性。
重　　点
列一元一次方程解应用题，依题意列一元二次方程
难　　点
列一元一次方程解应用题，依题意列一元二次方程
教具准备

施教时间
2006年　月　日
教学过程：
一、复习
1、解方程：
（1）x2＋2x＋1＝0 (2)x2＋x－1＝0
2、什么叫黄金分割？黄金比是多少？（0.618）
3、哪些一元二次方程可用分解因式法来求解？
（方程一边为零，另一边可分解为两个一次因式）
二、新授
1、黄金比的来历
如图，如果＝，那么点C叫做线段AB的黄金分割点。

由＝，得AC2＝AB·CB
设AB＝1，AC＝x，则CB＝1－x
∴x2＝1×(1－x) 即：x2＋x－1＝0
解这个方程，得
x1＝ ， x2＝（不合题意，舍去）
所以：黄金比＝≈0.618
注意：黄金比的准确数为，近似数为0.618.
上面我们应用一元二次方程解决了求黄金比的问题，其实，很多实际问题都可以应用一元二次方程来解决。
2、例题讲析：
例1：P64 题略（幻灯片）
（1）小岛D和小岛F相距多少海里？
（2）已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处，那么相遇时补给船航行了多少海里？（结果精确到0.1海里）
解：（1）连接DF，则DF⊥BC，
∵AB⊥BC，AB＝BC＝200海里
∴AC＝AB＝200海里，∠C＝45°
∴CD＝AC＝100海里 DF＝CF，DF＝CD
∴DF＝CF＝CD＝×100＝100海里
所以，小岛D和小岛F相距100海里。
（2）设相遇时补给船航行了x海里，那么DE＝x海里，AB＋BE＝2x海里
EF＝AB＋BC―（AB＋BE）―CF＝（300―2x）海里
在Rt△DEF中，根据勾股定理可得方程：x2＝1002＋(300－2x)2
整理得，3x2－1200x＋100000＝0
解这个方程，得：x1＝200－≈118.4
x2＝200＋(不合题意，舍去)
所以，相遇时，补给船大约航行了118.4 海里。
三、巩固：练习，P65 随堂练习：1 P66 习题2.8：1、2
四、小结：
列方程解应用题的三个重要环节：
1、整体地，系统地审清问题；
2、把握问题中的等量关系；
3、正确求解方程并检验解的合理性。
五、作业：作业本
板书设计
2.5　为什么是0.618（1）
复习题
关于黄金分割的计算

例1
列方程解应用题的三个重要环节

教学反思
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南苑中学教师备课笔记
课　　题
2.5 为什么是0.618（2）
第1课时
共1课时
教　　学
目　　标
1、分析具体问题中的数量关系，列出一元二次方程；
2、通过列方程解应用题，进一步提高逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力。
重　　点
列一元一次方程解应用题，找出等量关系列方程。
难　　点
列一元一次方程解应用题，找出等量关系列方程。
教具准备

施教时间
2006年　月　日
教学过程：
一、复习：
1、黄金分割中的黄金比是多少？ [准确数为，近似数为0.618 ]
2、列方程解应用题的三个重要环节是什么？
3、列方程的关键是什么？（找等量关系）
4、销售利润＝ －
[销售价] [销售成本]
二、新授
在日常生活生产中，我们常遇到一些实际问题，这些问题可用列一元二次方程的方法来解答。
1、讲解例题：
例2、新华商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元，市场调研表明，为销售价为2900元时，平均每天能售出8台，而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台，商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，每台冰箱的定价为多少元？
分析：

每天的销售量（台）
每台的利润（元）
总利润（元）
降价前
8
400
3200
降价后
8＋4×
400－x
(8＋)×(400－x)
每台冰箱的销售利润×平均每天销售冰箱的数量＝5000元
如果设每台冰箱降价为x 元，那么每台冰箱的定价就是（2900－x）元，每台冰箱的销售利润为(2900－x－2500)元。这样就可以列出一个方程，进而解决问题了。
解：设每台冰箱降价x元，根据题意，得：
(2900－x－2500)（8＋4×）＝5000
2900－150＝2750 元
所以，每台冰箱应定价为2750元。
关键：找等量关系列方程。
2、做一做：某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个，调查表明这种台灯的售价每上涨一元，某销售量就减少10个，为了实现平均每月20000的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？这时应进台灯多少个？
分析：每个台灯的销售利润×平均每天台灯的销售量＝10000元
可设每个台灯涨价x元。
(40＋x－30) ×(600－10x)＝10000
答案为：x1＝10， x2＝40
10＋40＝50， 40＋40＝80
600－10×10＝500 600－10×40＝200
三、练习：P68随堂练习1 P68 习题2.9 1
四、小结：
1、利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系
2、列一元二次方程解应用题：
（1）步骤：a、设未知数；b、列方程；c、解方程；d、检验；e、作答。
（2）关键：寻找等量关系。
五、作业：作业本

板书设计
2.5 为什么是0.618（2）
复习黄金比
利用方程解决实际问题的三个环节
利用方程解决实际问题的关键
例2
做一做
小结
教学反思
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