立体几何在物理中的应用-(2).doc

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立体几何在物理中的应用

数学作为工具学科，其思想、方法和知识始终渗透、贯穿于整个物理学习和研究的过程中，为物理概念、定律的表述提供简洁、精确的数学语言，为学生进行抽象思维和逻辑推理提供有效的方法，为物理学中的数量分析和计算提供有力工具．所谓数学方法，就是要把客观事物的状态、关系和过程用数学语言表达出来，并进行推导、演算和分析，以形成对问题的判断、解释和预测．可以说，任何物理问题的分析、处理过程，都是数学方法的运用过程．本文中所指的数学方法，是一种特殊的很重要的方法---立体几何法。　
物理学的研究对象具有形象性，很多物理问题一般只给出最简单的图形及最基本的条件。在解决这些问题时，需要以此为依托，对最简单的图形进行直观处理，一个很重要的方法就是充分发挥空间想象力，把物理问题与真实空间相联系，结合立体几何进行表述、分析，这是研究、处理物理问题的重要手段，请看以下几例。
[例1]在水平桌面M上放置一块正方形薄木板,在木板的正中央处放置一个质量为m的小木块，如图5示。先以木板的ad边为轴，将木板向上缓慢转动，使木板的ab边与桌面的夹角为θ；再接着以木板的ab边为轴，将木板向上缓慢转动，使木板的ad边与桌面的夹角也为θ（ab边与桌面的夹角θ不变）。转动过程中小木块在木板上没有滑动，则转动以后小木块受到的摩擦力大小为：（　　）
a
b
c
d
M
图5
A. B.
C. D.

[分析与解] 由题意构建出如图6所示的立体图, 其中ac′是正方形的对角线ac在水平桌面上的投影，显然，构成一个直角三角形。设正方形ab cd的边长为l，∠c ac′=α　，则由力的平衡得小木块受到的摩擦力为：
a
d
c
c
b
′
θ
图7
θ
′
b
′
b
′
d
a
d
c
c
b
′
α
图6

①
由几何关系得：
ac′= ②
作正方形的投影，如图7所示，
add′和ab b′均构成直角三角形，且这两个直角三角形全等，∠dad′＝∠b ab′=θ。由几何关系得：
③
a
d
c
c
b
′

图8

′
b
′
b
′
d
如图8所示，构成矩形，所以：
＝＝　　 　 ④
正方形的投影是一个菱形，如图9所示，其中o′为正方形
a
d
′
c
′
o
′
b
′
图9
的中心（对角线的交点）o点在水平桌面上的投影，由几何关系得：
　　　　　⑤
将②、③、④式代入⑤式得：
⑥
⑥式代入①式得：