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立体几何
基本知识点
1．平面的基本性质
（1）公理1：；
（2）公理2：设，则平面相交于过点的一条公共直线；
（3）公理3：设为不共线的三点，则三点确定一个平面。
公理3是确定平面的依据，它的推论是“过直线和直线外一点确定一个平面”，“过两条相交（平行）直线确定一个平面”
2．直线和平面的位置关系
（1）直线与直线：分为共面（相交或平行）直线与异面直线两大类；
（2）直线和平面：分为线面平行、线面相交（含线面垂直）和直线在平面内三种情形；
（3）平面与平面：分为面面平行与面面相交两类。
3．面积和体积问题
计算几何体的表面积和体积问题，是立体几何中一类较常见的综合问题，往往需要运用立体几何中的多种知识、概念和方法。对较复杂的几何体计算其表面积时，先要将几何体是由哪些面围成弄清楚，每个面又分别是什么形状，以保证计算准确无误。在求复杂几何体的体积时，有时将图形补成规则几何体，或将其剖分成几个规则几何体；对四面体（三棱锥）体积计算时注意利用等积法。补形法、剖分法和等积法是计算体积的非常有效的方法
（1）球的表面积：为球的半径；
（2）锥体的体积：为其底面积，是它的高；
（3）外切于半径为的球的多面体的体积为，为多面体的表面积
（4）球的体积：为球的不半径
典型例题讲解
1.给定下列两个关于异面直线的命题：
命题一、若平面上的直线与平面上的直线为异面直线，直线是的交线，那么至多与中的一条相交；
命题二、不存在这样的无穷条直线，它们中的任意两条都是异面直线。则此两命题的真假情况是
2. 正方体ABCD－A1B1C1D1中，过顶点A1作直线l，使l与直线AC和直线BC1所成的角均为60°，则这样的直线l的条数为 （ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 大于3
3.在正方体中，P为棱AB上一点，过点P在空间作直线l，使l与平面ABCD和平面AB均成角，则这样的直线l的条数为（ ）
A. 1 B .2 C. 3 D .4
4.过空间一定点的直线中，与长方体的12条棱所在直线成等角的直线共有（ ）
A．0条 B．1条 C．4条 D．无数多条
5. 已知为四面体的侧面内的一个动点，且点与顶点的距离等于点到底面的距离，那么在侧面内，动点的轨迹是某曲线的一部分，则该曲线一定是 （ ）
A．圆或椭圆　 B．椭圆或双曲线
C．双曲线或抛物线 D．抛物线或椭圆
6. 圆锥的轴截面SAB是边长为2的等边三角形，O为底面中心，M为SO的中点，动点P在圆锥底面内（包括圆周）。若AM⊥MP，则P点形成的轨迹的长度为（ ）
A. B. C. 3 D.
7. 设有一立体的三视图如下，则该立体体积为（ ）
2
2
3
1
2
2
1
2
2

正视图 侧视图 俯视图（圆和正方形）
A. 4+ B. 4+ C. 4+ D. 4+
8. 连结球面上两点的线段称为球的弦. 半径为4的球的两条弦AB、CD的长度分别等于和，、分别为、的中点，每两条弦的两端都在球面上运动，有下面四个命题：
①弦、可能相交于点 ②弦、可能相交于点
③的最大值为5 ④的最小值为1
其中真命题为（ ）
A.①③④ B.①②③ C.①②④ D.②③④
9. 为正方体。任作平面与对角线垂直，使得 与正方体的每个面都有公共点，记这样得到的截面多边形的面积为S，周长为.则（ ）
A．S为定值，不为定值 B．S不为定值，为定值
C．S与均为定值 D．S与均不为定值
10. 已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，以顶点A为球心，为半径作一个球，则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于___。
11. 一个半径为1的小球在一个内壁棱长为的正四面体容器内可向各个方向自由运动，则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是
12. 在一个棱长为5的正方体封闭的盒内，有一个半径等于1的小球，若小球在盒内任意地运动，则小球达不到的空间的体积的大小等于
13. 在三棱锥中，，，，，，．则三棱锥体积的最大值为
第14题图
14. 如图，四面体DABC的体积为，且满足 则 .

10. 解：如图，球面与正方体的六个面都相交，所得的交线分为两类：一类在顶点A所在的三个面上，即面AA1B1B、面ABCD和面AA1D1D上；另一类在不过顶点A的三个面上，即面BB1C1C、面CC1D1D和面A1B1C1D1上。在面AA1B1B上，交线为弧EF且在过球心A的大圆上，因为，AA1=1，则。同理，所以，故弧EF的长为，而这样的弧共有三条。在面BB1C1C上，交线为弧FG且在距球心为1的平面与球面相交所得的小圆上，此时，小圆的圆心为B，半径为，，所以弧FG的长为。这样的弧也有三条。
于是，所得的曲线长为。
11. [解] 如答12图1，考虑小球挤在一个角时的情况，记小球半径为，作平面//平面，与小球相切于点，则小球球心为正四面体的中心，，垂足为的中心．
因
答12图1

，
故，从而．
记此时小球与面的切点为，连接，则
．
考虑小球与正四面体的一个面(不妨取为)相切时的情况，易知小球在面上最靠近边的切点的轨迹仍为正三角形，记为，如答12图2．记正四面体
的棱长为，过作于．
答12图2
因，有，故小三角形的边长．
小球与面不能接触到的部分的面积为（如答12图2中阴影部分）
．　　　　　　　　　
又，，所以
．
由对称性，且正四面体共4个面，所以小球不能接触到的容器内壁的面积共为．
12.
13. 设，根据余弦定理有，
故，．由于棱锥的高不超过它的侧棱长，所以.事实上，取，且时，可以验证满足已知条件，此时，棱锥体积可以达到最大．
14.
即
又
等号当且仅当时成立，这时面ABC，.
9. 解：将正方体切去两个正三棱锥后，得到一个以平行平面为上、下底面的几何体V，V的每个侧面都是等腰直角三角形，截面多边形W的每一条边分别与V的底面上的一条边平行，将V的侧面沿棱剪开，展平在一张平面上，得到一个
，而多边形W的周界展开后便成为一条与平行的线段（如图中），显然，故为定值.
当位于中点时，多边形W为正六边形，而当移至处时，W为正三角形，易知周长为定值的正六边形与正三角形面积分别为与，故S不为定值。
8. ：假设、相交于点，则、共面，所以、、、四点共圆，而过圆的弦的中点的弦的长度显然有，所以②是错的．容易证明，当以为直径的圆面与以为直径的圆面平行且在球心两侧时，最大为５，故③对．当以为直径的圆面与以为直径的圆面平行且在球心同侧时，最小为1，故④对.显然是对的．①显然是对的.故选Ａ．
7. 解答：该几何体是一个圆柱与一个长方体的组成，其中重叠了一部分（），所以该几何体的体积为。正确答案为A。6.B, 5.D 4.C 3.B 2.C