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“存在性”和“最值”的解决方法
一、关于存在性问题
1、什么样的情况会引发出“存在性问题？

从一个整体情况或一个变化过程中，判断满足某种特殊要求的情况是否存在，并在存在时将其寻找出来，这样的问题就是“存在性”问题。

如：
日 一 二 三 四 五 六
1 2 3 4 5
6 7 8 9 10 11 12
13 14 15 16 17 18 19
20 21 22 23 24 25 26
27 28 29 30
题1 如某月的月历，像图中那样用方框框住4个数字，是否存在以下情况：使框住的4个数字和为100？为90？若存在，请写出这4个数字，若不存在，请说明理由。

题 2 如图（1），四边形是边长为6的正方形，动点P从
A点P出发，以每秒1个单位的速度沿边向点运动，动点
BC
CD
DA
从点出发，以每秒3个单位的速度沿边

运动，两点同时出发，点P到达处
时两点运动停止，记的运动时间为。
（1）是否存在时刻，使线段将正方形的周长分为相等的两部分？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。

A
B
C
A
D
B
C
Q
P
（2）是否存在时刻，，使线段将正方形的面积分为1：2两部分，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。

（1） （2）

题 3 如图（2），在中，，在斜边上是否存在点，使以为圆心，以为半径的圆，恰好与相切？
若存在，请作出⊙（保留作图痕迹）；若不存在，请说明理由。

像以上三个题目都属于“存在性”问题。

2、“存在性”问题的基本类型和解决方法

“存在性”问题大体可分为两类：
Ⅰ、由数量关系确定的“存在性”问题（即要找的是满足一个“特殊”数量方面的要求）；

Ⅱ、由位置关系确定的“存在性”问题（即要找的是满足一个“特殊”位置方面的要求）。

（1）由数量关系确定的“存在性”问题

这种类型的“存在性”问题，解决的方法主要是借助于构造方程。

例1 （见前面的题1）
【观察与思考】第一，框住的4个数字，若设左上角的数字为，则这4个数字的和为。本题就是判断图中有无数字，使和分别为100，90？有这样的数字时，求出的值。
第二，落实的办法就是根据和为100，90分别构造关于的方程，判断相应的方程是否有解，有解时求出解来。

解：设框住的4个数为

则它们的和为：，
令，解得。
21
22
28
29

即当框住的4个数字为 时，它们的和恰为100。

又，令，解得，这样的不在月历中。
所以，不存在框住的4个数字的和为90的情况。

【说明】在这里，把方框中的第一个数字看作一个变量（范围是1—22），框内的4个数字之和是的函数，而“和为100，为90”就是对函数值的特定要求，从而变成了求特定函数值所对应的自变量的值，那当然就是解方程。

例2 （见前面的题2）
A
D
B
C
Q
P
A
D
B
C
Q
P
A
D
B
C
Q
P

（1`） （1``） （1```）

【观察与思考】容易知道，按点在上，上，上，和的运动全过程可分为三段：
①当时，如图（1`），②当时，如图（1``），③当时，如图（1```）。应分类考虑将正方形分成部分的周长与面积的情况。

解：（1）①当时，点在AB上，点在上，正方形的周长被分成的两部分中，顶点B所在部分显然小于（正方形的周长），而另一部分大于（正方形的周长）。因此，不可能有二者相等的时刻；
②当时，点在上，顶点B所在的部分的“周长”为，另一部分的“周长”为。
令，解得。
（或令12，也得同样的结果）。
③当时，点在AB上，点在AD上，分成的两部分中，含顶点B的部分的“周长”显然
大于（的周长），因此不存在二者相等的时刻。
所以，存在，使将的周长分为相等的两部分（其实，此时和分别为边AB，的中点）。
（2）①当时，，
，
令，解得（与矛盾，舍去）。

②当时，令或
，分别解得（矛盾，舍去），。

③当时，令，解得（舍去），（舍去）。
所以，存在时刻和，使得把正方形的面积分为1：2的两部分。
【说明】在，的运动过程中，正方形的周长与面积总是被分为两部分，且两部分的值在运动中变化着，现对变化着的值提出特定的要求，以确定这种特殊情况是否真的出现在运动过程之中，这正是“存在性”问题的典型特征，而构造出相应的方程来求解。也真是普遍适用的方法。

例3 如图（3）， 在直角梯形中，。动点从点D出发，沿射线DA的方向以每秒2个单位长度的速度运动，动点从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位的速度向点B运动，点，分别从点D，C同时出发，设运动时间为（秒）。
A
D
P
B
C
Q
（1）是否存在时刻，使得？若存在，求出的值；
若不存在，请说明理由。
（2）是否存在时刻，使得，若存在，求出的值； （3）
若不存在，请说明理由。

【观察与思考】 （1）和（2）应分别由“”和“”出发构造关于的方程求解。
A
D
P
B
C
Q
M
解：（1）假若有作交射线DA于，如图（3`）则。

在中，
， （3`）
，

，
由，解得（秒）。
即（秒）时。
（2）假若有，如图（3``），易知此时四边形为平行四边形，
，即，解得，但点只在线段CB上运动，即不合题意，舍去。
A
D
P
B
C
Q
P
不存在时刻，使得。
【说明】在的运动过程中，线段和的位置 （3``）
关系是变化的，本题是从中考虑位置关系特定情况的“存在性”，方法也是按
特定情况对应的数量关系去构造相应的方程，用该方程在允许范围内有解、
无解来回答“存在”或“不存在”。

A
B
C
D
E
45°
例4 在中，，点D在BC所在的直线上运动，作（A，D，E按逆时针方向）。

（1） 如图①，若点D在线段BC上运动，DE交AC于E。
①
①求证：∽;

②当是等腰三角形时，求的长。

(2) ①如图②，若点D在BC的延长线上运动，DE的反向延长线与AC的延长线相交于点，是否存在点D，使是等腰三角形？若存在，写出所有点D的位置；若不存在，请简要说明理由；
A
B
C
D
E
45°
A
B
C
D
E
45°

③
②

②如图③，若点D在BC的反向延长线上运动，是否存在点D，使是等腰三角形？若存在，写出所有点D的位置；若不存在，请简要说明理由；

【观察与思考】对于问题（1），就是我们熟悉的几何证明与几何计算问题；
对于问题（2），只要求出满足要求的BD的长，就是确定了D点的位置。为此只需要通过三角形的相似关系去构造关于BD和方程。

解：（1）①，又，即。

∽

②当时，。
。

（2）①若为等腰三角形，只有。
而，得。
∽，，由，得。
，
存在点D使为等腰三角形，点D在BC的延长线上，距点B的处。
②

不存在为等腰三角形的情况。

例5 二次函数的图象如图（1）所示，过轴上一点的直线与抛物线交于两点，过点分别作轴的垂线，垂足分别为。
（1）当点A的横坐标为时，求点B的坐标；
（2）在（1）的情况下，分别过点作轴于，轴于在上是否存在点，使为直角，若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由。
A

M
B
C
D

【观察与思考】（1）由∽，可求得点B的坐标。
（2）这时，如图（1`），若在线段上有点使， （1）
那么立刻推得∽依次构造关于点坐标的方程。
解：（1）设点B的坐标为其中，
，
，
∽，，即
，解得（舍去），B的坐标为（8，8）
（2）若满足要求的点存在，设的长为，连结，如图（1`）
A

M
B
C
D
E
F
P
。
，（同为的余角）。
∽，即。
解得，。 （1`）
均满足要求。

可以看出：构造方程是解决各种形式的由“数量关系”确定的“存在性”问题的最有效最常用的方法。

（2）由位置关系确定的“存在性”问题

例6 现在来看开始时提出的题3
A
B
C
如图（1），在中，，在斜边上是否存在点，使以为圆心，以为半径的圆，恰好与相切？若存在，请求出⊙（保留作图痕迹）；若不存在请说明理由。

【观察与思考】假设这样的点存在，如图（1`）的情况：点在上，以为圆心
以的半径的⊙和相切于点D，若连结，可知，得 （1）
由得即有

，也就是说，AD是的平分线，如此一来，就找到了确定点的位置方法：先作的平分线AD，交于点D，再由D作交AB于点。
A
B
C

D

A
B
C

D

（1`） （1``）

解：这样的点存在，作法如图（1``）

例7 已知，如图（1）四边形是矩形，E和F分别是边AB，BC的中点，P为对角线AC上一个
题`）C动点（不与A，C重合），试问：点能否构成直角三角形？若能，共有几个？并在图中画出所有满足条件的三角形。
A
B
C
D
F
P
E

【观察与思考】第一，分情况来考虑：
①若要只需； （1）
②若要只需；
③若要只需P为以为直径的圆与的交点，且因所以大于与之间的距离，所以以为直径的圆与必有两个交点。

第二，表示出以上四个点的位置：
A
B
C
D
F
E

解：能使为顶点的三角形成为直角三角形的点P共有四个，如图（1`）。

【说明】其实作图法确定符合某要求的图形，基本思想和用方程求
（1`）
未知数量的值有极大的相仿之处，都是先假定“存在”，按其具有的

特定要求逆推出它应当是怎样的。

二、关于“最值”问题
所谓“最值”问题，就是求一个变动的数量在某范围内取最大或最小值的问题。

“最值”问题大都归于两类基本模型：

Ⅰ、归于函数模型：即利用一次函数的增减性和二次函数的对称性及增减性，确定某范围内函数的最大或最小值。

Ⅱ、归于几何模型，这类模型又分为两种情况：

（1）归于“两点之间的连线中，线段最短”。凡属于求“变动的两线段之和的最小值”时，大都应用这一模型。

（2）归于“三角形两边之差小于第三边”凡属于求“变动的两线段之差的最大值”时，大都应用这一模型。

1、利用函数模型求最值
由于这类问题在关节三“函数知识的三个支点”已有涉及和说明，这里我们只举一例。
A
B
C
D
E
F
例1 如图（1），平行四边形中，，E为BC上一动点（不与B重合），作于，设的面积为当运动到何处时，有最大值，最大值为多少？

【观察与思考】容易知道是的函数，为利用函数的性质求的最大值，

就应先把关于的函数关系式求出来，而这又需要借助几何计算。 （1）

解：如图（1`），延长交的延长线于易知。
，而，
A
B
C
D
E
F
G
又，在中，。
。
其中。 （1`）
对称轴当，随的增大而增大。
当，即E与C重合时，有最大值，。

【说明】可以看出，函数是解决“数量”最值问题的最基本的方法。

2、利用几何模型求最值
（1）归入“两点之间的连线中，线段最短”
例2 如图（1）所示，在一笔直的公路的同一旁有两个新开发区，已知千米，直线与公路的夹角新开发区B到公路的距离千米。
（1）求新开发区A到公路的距离；
（2）现从上某点处向新开发区修两条公路，使点到新开发区的距离之和最短，请用尺规作图在图中找出点的位置（不用证明，不写作法，保留作图痕迹），并求出此时的值。
A
B
C
N
O
M

A
B
C
N
O
M
30°
D
【观察与思考】对于（1），直接归于几何计算。
对于（2），首先利用“轴对称”的性质，把原题中的求“” （1）
最短，转化成求“ ”最短（其中是A关于的对称点。

解：（1）先作垂直于于点如图（1`）

在中，（千米）

在中，（千米）
（千米）

（2）作点A关于的对称点，连结交于点。
（1`）
结果如图（1``），点即为所求。
如图（1``），作交的延长线于点。

在中，（千米），

A
B
C
N
O
M
30°
D
P

（千米）。
（千米）。
此时（千米）

【说明】本题的关键在于将“在直线上确定一点，使它到直线
同侧的两点距离之和最短”，转化为“直线异侧两点距离之和最
短”，进而再用“两点之间的所有连线中，线段最短。 （1``）

A
C
B
P
Q
例3 如图，（1），在中，，为边上一定点，（不与点B，C重合），为边上一动点，设的长为，请写出最小值，并说明理由。

【观察与思考】其实，本题和例2中的（2）基本上是相同的，是“在
直线上求一点，使它到同侧的两个定点和的距离之和
最小”。因此，可由图（1`）（连结关于的对称点与所成线段， （1）
交于。或图（1``）（连结关于的对称点与所成线段，
交于，都同样可得最小值。
A
C
B
P

A
C
B
P
Q

A
C
B
P
Q

（1`） （1``） （1```）

解：如图（1```），作点关于的对称点，连结交于点，易知，
。
在中，，
又，在上任意取一异于的点，连结，则

对边上的动点，最小值为。
【说明】Ⅰ、在本题，关键仍是将最小问题，转化成求线段的长，转化的桥梁仍是利用“轴对称”的性质；
Ⅱ、至于求线段的长，仍是以归入“解直角三角形”为第一选择。

A
F
E
M
例4 如图（1），抛物线和轴的交点为为的中点，若有一动点，自点处出发，沿直线运动到轴上的某点（设为点），再沿直线运动到该抛物线对称轴上的某点（设为点），最后又沿直线运动到点，求使点运动的总路程最短的点，点的坐标，并求出这个最短路程的长。

【观察与思考】容易知道，点的坐标为，抛物线的对称轴为
，点的坐标为。实际上是求点E，F位于何处时有
最短，仍归于用“两点之间的所有连线中，线段最短” （1）
来求解，这只需作关于轴的对称点，点A关于对称轴
的对称点连结，如图（1`），即可将原问题解决。
解：如图（1`），由题意可得（0，3），，抛物线的对称点

A
F
E
M

B
3
3
为，点关于轴的对称点为，点关于抛物线
对称轴的对称点为（6，3）。连结。

根据轴对称性及两点间线段最短可知，的长就是所求点运动中
最短总路程的长，在直线的方程为（过程略）。
设与的交点为则为在轴上所求的点，与直线
的交点为所求的F点。

可得点的坐标为（2，0），F点的坐标为）。
由勾股定理可求出（过程略）
所以点运动的总路程（）最短时间为。
不管在什么背景下，有关线段之和最短问题，总是化归到“两点之间的所有连线中，线段最短”，而转化的方法大都是借助于“轴对称点”。

（2）归于“三角形两边之差小于第三边”

例5 如图（1），直线与轴交于点C，与轴交于点B，点A为轴正半轴上的一点，⊙A经过点B和点，直线BC交⊙A于点D。

（1）求点D的坐标；

（2）过，C，D三点作抛物线，在抛物线的对称轴上是否存在一点，使线段与之差的值最大？若存

A

D
C
B
在，请求出这个最大值和点P的坐标。若不存在，请说明理由。

【观察与思考】对于（1），可通过解直角三角形求得点D的坐标。
对于（2）如图（1`），过，C，D三点的抛物线的对称轴为。 （1）
对于该对称轴上的任意一点P都有，而只
有当点P恰为直线与抛物线的对称轴
的交点时，，为最大。

解：（1）在中，分别令得B点的坐标为（2，0），C点的坐标为

D
C
B
P
为⊙A的直径，。
且。 （1`）
在中，由和，得点D的坐标为（）。

（2）如图（1``），当点P为该抛物线的对称轴和所在的
直线的交点处时，，其值最大，而。

由 解得此时点P的坐标为。

D
C
B
P
P
点P为时取最大值为。

【说明】这里将求“两线段之差的最大值”，借助“三角形两边之差
小于第三边”转化为求一条特殊线段的长，其间，还借助了抛物线 （1``）
对称轴的性质。

练习题

1、已知：四边形中，分别是上的点，且。设四边形的面积为，。
A
B
C
D
E
F
G
H
如图，当四边形为菱形，且时，四边形的面积能否等于若能，求出相应的值，若不能，请说明理由。

（1）

2、抛物线与轴的交点为A，B（点B在点A的右侧），与轴的交点为C，是否存在这样的值，使点B在轴的正半轴上，点C在轴的负半轴上，且为等腰三角形？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由。

3、已知抛物线（为常数，且）。的顶点为A，与轴交于点C；抛物线与抛物线关于轴对称，其顶点为B，连结。
（1）请在横线上直接写出抛物线的解析式： ；
（2）当时，判定的形状，并说明理由；
（3）抛物线上是否存在点P，使得四边形为菱形？如果存在，请求出的值；如果不存在，请说明理由。

4、如图，已知二次函数图象的顶点坐标为C（1，0），直线与该二次函数的图象交于两点，其中A点的坐标为（3，4），B点在轴上。

（1）求的值及这个二次函数的解析式；
（2）P为线段AB上的一个动点（点P与不重合），过P作轴的垂线与这个二次函数的图象交于E点，设线段PE的长为，点P的横坐标为，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；

B
D
A
P
E
C
（3）D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段AB上是否存在一点P，使和四边形是平行四边形？若存在，请求出此时P点的坐标；若不存在，请说明理由。

5、已知，中，，是边上的动点（与点A，B不重合）Q是BC边上的动点（与点B，C不重合）。
（1）如图，当且Q为BC的中点时，求线段的长。

A
C
B
Q
P
（2）当与不平行时，可能为直角三角形吗？若有可能，请求出线段的长的取值范围，若不可能，请说明理由。

A
C
6、已知，如图，抛物线，它和轴交点中右侧的一点为和轴的交点为C。在该抛物线上是否存在点，使如果存在，请指明点P所在的位置，如果不存在，请说明理由。

7、已知抛物线
（1）在抛物线上求一点使得为等腰三角形，并写出点的坐标。

-1
1
C
B
E
A
（2）除（1）中所求的点外，在抛物线上是否还存在其它的点使得为等腰三角形？若存在，请求出一共有几个满足条件的点（要求简要说明理由，但不证明）；若不存在这样的点，请说明理由。

A
B
C
D
E
8、如图，中，，是BC的中点，E是AB边上的一动点，则的最小值 。

9、已知矩形的边长，点是AD边上的一个动点（异于A，D），是BC边上任意一点，连结。过点作交AQ于E，作交DQ于F。
（1）求证：∽；
（2）设的长为试求的面积关于 的函数关系式，并求当点在何处时，取最大值，最大值是多少？
A
B
C
D
Q
P
F
E
（3）当点在何处时，的周长最小？（指出确定点在何处的过程或方法，不必证明）。

A
B
C
10、已知，如图，抛物线与轴交于A，B两点，交轴于点在该抛物线的对称轴上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由。

11、抛物线交轴于A，B两点，交轴于点已知抛物线的对称轴为。
（1）求抛物线的解析式；

A
B
C
（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点，使点到B，C两点的距离之差最大？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由。

12. 如图所示，在平面直角坐标系中，Rt△AOB的顶点坐标分别为A（-2，0），O（0，0），B（0，4），把△AOB绕点O按顺时针方向旋转90°，得到△COD。
（1）求C、D两点的坐标；
（2）求经过A、B、D三点的抛物线的解析式；
（3）在（2）中抛物线的对称轴上取两点E、F（点E在点F的上方），且EF=1，使四边形ACEF的周长最小，求出E、F两点的坐标。

13、如图，已知平面直角坐标系，两点的坐标分别为。
（1）若是轴上一个动点，则当 时，的周长最短。
（2）若是轴上两个动点，则当 时，四边形ABDC的周长最短。
（3）设分别为轴和轴上的动点，请问：是否存在这样的点，使四边形ABMN的周长最短？若存在，请求出 ， ，若不存在，请说明理由。

A
B

- 18 -