浅谈“判别式法”的作用.doc

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浅谈“判别式法”的作用
徐国锋 袁玉凤

“判别式法”是我们解题时常用的方法，对初高中同学来说，在解题中常常用到，掌握它很有必要，下面举例说明它的作用。
一. 求函数的值域
例1. 求函数的值域。
解：将原函数变形得，把此方程看作关于x的一元二次方程，该方程一定有解，利用方程有解的条件求得y的取值范围，即为原函数的值域。
当时，（说明函数值可以为0）。
当时，令，解得
故原函数的值域为

二. 求最值
例2. 已知，且，试求实数a、b为何值时，ab取得最大值。
解：构造关于a的二次方程，应用“判别式法”。设 （1）
由已知得 （2）
由（1）（2）消去，对a整理得 （3）
对于（3），由，解得或。由，舍去，得。
把代入（3）（注意此时），得，即从而。
故当时，取得最大值为18。

三. 证明不等式
例3. 已知。证明：恒成立。
解：不等式变形为
将不等式左边看作关于y的二次函数，令。由，从而有：
，即。
对于二次函数，图象开口向上，且在x轴上方，所以恒成立，即恒成立。

四. 求参数的取值范围
例4. 对于函数，若存在，使成立，则称为的不动点。已知函数，对于任意实数，函数恒有两个相异的不动点，求a的取值范围。
解：对任意实数b，恒有两个相异的不动点对任意实数恒有两个不等实根对任意实数b，恒有两个不等实根对任意实数恒成立。
可以将看作关于b的二次函数，则对任意实数恒成立

故的取值范围是