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北京市燕山2012年初中毕业暨一模考试
数学试卷 2012年5月
考生须知
1．本试卷共4页，共五道大题，25个小题，满分120分；考试时间120分钟。
2．答题纸共6页，在规定位置认真填写学校名称、班级和姓名。
3．试题答案一律书写在答题纸上，在试卷上作答无效。
4．考试结束，请将答题纸交回，试卷和草稿纸可带走。

一、选择题（在下列各题的四个备选答案中，只有一个是符合题意的，请将正确答案前的字母写在答题纸上；本题共32分，每小题4分）
1. 下列每两个数中,互为相反数的是
A. 3和 B. －3和 C. －3和0 D. －3和3
2. 已有600年历史的紫禁城在中国独一无二，在世界也是独一无二. 据媒体报道，2011年参观故宫的人数已突破1400万，把1400万用科学记数法表示应为
A．0.14×108 B．1.4×107 C．1.4×106 D．14×106
3．已知某多边形的每一个外角都是72°，则它的边数为
A . 4 B . 5 C. 6 D. 8
4. 下列各式计算正确的是
A． B. =±3
C. (m+n)(n-m)=n2-m2 D.
5. 学雷锋活动中，初四1班评选出了7名学雷锋活动带头人，其中团员同学占了4位，现需要采用抽签的方法从中确定一人参加表彰大会，被选中的同学为共青团员的概率是
y

O x
A. B. C. D．
6. 某一次函数y=ax+b 的图象如图所示，则下列结论正确的是
A. a<0, b<0 B. a<0, b>0
C. a>0, b<0 D. a>0, b>0

7．某短跑运动员在集训中的5次测试成绩（单位：秒）如下：12.5，12.7，12.1，12.8，12.4.这组数据的方差是
A．0.06 B．0.3 C．0.6 D．6
B
A
S1
S2 O S4
S3
D C
8. 如图，任意四边形ABCD中，AC和BD相交于点O，把△AOB、△AOD、△COD、△BOC的面积分别记作S1 、S2 、S3 、S4，则下列各式成立的是
A．S1 + S3 = S2+S4 B．S3－S2 = S4－S1
C．S1·S4= S2·S3 D．S1·S3 = S2·S4

A

M

C
N B
二、填空题（本题共16分, 每小题4分）
9．函数y =中，自变量x的取值范围是 _____ .
10．如图，平地上A、B两点被池塘隔开，测量员在岸边
选一点C，并分别找到AC和BC的中点M、N，经量得
MN=24米，则AB=_________米.

11. 已知圆锥的底面直径是4cm，侧面上的母线长为3cm，则它的侧面积为 ________cm2．
y

O x
12．图中的抛物线是函数y=x2+1的图象，把这条抛物线
沿射线y＝x（x≤0）的方向平移个单位，其函数
解析式变为_________；若把抛物线y=x2+1沿射线
y =x-1（ x≥0）方向平移个单位，其函数解析
式则变为_________.

三、解答题（本题共30分, 每小题5分）
13. 计算：－４cos45°＋－
14. 解不等式组 并把解集在数轴上表示出来．

　　－４　－３　－２　－１　　０　　 １ 2 3 4 x

D
C
E
A F B
15. 如图，点F在线段AB上，AD∥BC，AC交DF于点E，∠BAC=∠ADF，AE=BC.
求证：△ACD是等腰三角形.

16．已知x2-1=0，求代数式的值．
17. 列方程或方程租应用题:
北京到石家庄的铁路里程约为280km , 2012年底京石高铁即将通车，其上运行的新型动车速度可比目前的普通列车提高1.8倍, 届时从北京到石家庄乘坐高铁新型动车将比现在乘坐普通列车少用一个半小时即可到达，求目前普通列车的运行速度．
18. 已知：关于x的一元二次方程kx2－(4k+1)x+3k+3=0 (k是整数)．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根分别为x1，x2（其中x1<x2），设y= x2－x1，判断y是否为变量k的函数？如果是，请写出函数解析式；若不是，请说明理由.
A B

D C

四、解答题（本题共20分, 每小题5分）
19. 如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，
AB=2，BC=CD=4，求∠B的度数和AC的长．

20. 寒假期间，某校同学积极参加社区公益活动. 开学后，校团委随机选取部分学生对每人的“累计参与时间”进行了调查，将数据绘制成图1、图2. 请结合这两幅不完整的统计图解答下列问题：

（1）这次调查共选取了多少名学生？
（2）将图1的内容补充完整；
（3）求图2中“约15小时”对应的圆心角度数，并把图2的内容补充完整；
（4）若该校共有学生680人，估计这个寒假有多少学生参加了社区公益活动？

21. 已知：如图， M是AB的中点，以AM为直径的⊙O与BP相切于点N，OP∥MN.
P
N

B M O A

·

（1）求证：直线PA与⊙O相切；
（2）求tan∠AMN的值.

22. 请你先动笔在草稿纸上画一画，再回答下列问题：
（1）平面内两条直线，可以把平面分成几部分？
（2）平面内3条直线，可以把平面分成几部分？
（3）平面内4条直线，可以把平面最多分成多少部分？
（4）平面内100条直线，可以把平面最多分成多少部分？

五、解答题（本题共22分, 第23、24题各7分，第25题8分）
y

A

O M x

23．已知：如图，在直角坐标系xOy中，直线y=2x与函数y=的图象在第一象限的交于A点，AM⊥x轴，垂足是M，把线段OA的垂直平分线记作l，线段AN与OM关于l对称.
（1）画出线段AN（保留画图痕迹）；
（2）求点A的坐标；
（3）求直线AN的函数解析式.

24. 已知：如图，点P是线段AB上的动点，分别以AP、BP为边向线段AB的同侧作正△APC和正△BPD，AD和BC交于点M.
（1）当△APC和△BPD面积之和最小时，直接写出AP : PB的值和∠AMC的度数；
（2）将点P在线段AB上随意固定，再把△BPD按顺时针方向绕点P旋转一个角度α，当α<60°时，旋转过程中，∠AMC的度数是否发生变化？证明你的结论.
C

M D

A P B
（3）在第（2）小题给出的旋转过程中，若限定60°<α<120°，∠AMC的大小是否会发生变化？若变化，请写出∠AMC的度数变化范围；若不变化，请写出∠AMC的度数.

25. 已知点A（1，）在抛物线y=x2+bx+c上，点F（-，）在它的对称轴上，点P为抛物线上一动点.
（1）求这条抛物线的函数解析式；
（2）判断是否存在直线l，使得线段PF的长总是等于点P到直线l的距离，需说明理由.
（3）设直线PF与抛物线的另一交点为Q，探究：PF和QF这两条线段的倒数和是否为定值？证明你的结论.
燕山初中数学毕业暨一模考试评卷参考2012.5.2
一、 DBBC　DAAD
二、
题号
9
10
11
12
答案
x≠3
48
6π
y=x2+2x+1，y=x2-4x+6
三、13. 原式=5-2-1+-1 ………………………………………4分
= 3-. ………………………………………………5分
14. 解①得 x >-2， ……………………………………………1分
解②得 x3， ……………………………………………2分
∴ 不等式组的解集是-2 < x 3 . ……………………………………………3分
D
C
E
A F B
数轴上正确表示解集 ……………………………………………5分
15. 证明：∵AD∥BC，
∴ ∠CAD=∠BCA，即∠EAD=∠BCA. ……………………1分
在△ADE和△CAB中,
又∵∠ADE=∠ADF=∠CAB，
AE=BC，
∴△ADE≌△CAB. …………………………………………3分
∴ AD=AC. …………………………………………4分
∴ △ACD是等腰三角形. ……………………………………5分
16. 原式=÷ ………………………………………1分
=÷ ………………………………………2分
=·
= ……………………………………3分
由x2 -1=0 ，得x=±1. ……………………………………4分
∴当x=1时， 原式无意义；
当x= -1时，原式= - ………………………………………5分
17. 设目前普通列车的运行速度是x千米/时， ………………………………1分
依题意，得 - = . ……………………………………2分
解得 x=120. ……………………………………3分
经检验, x=120是原分式方程的根. ……………………………………4分
答: 目前普通列车的运行速度是120千米/时. ………………………………5分
18. ⑴证明：Δ= (4k+1)2-4k(3k+3) ……………………………………1分
=(2k-1)2
∵k是整数，∴k≠，2k-1≠0. ∴Δ= (2k-1)2 >0
∴方程有两个不相等的实数根. …………………………………2分
⑵ y是k的函数；
解方程得，x=.
∴x=3，或x=1+. ……………………………………………3分
∵k是整数， ∴1，1+2<3.
又∵x1< x2, ∴x1=1+, x2=3. …………………………………………4分
∴ y=3-(1+)=2-. ……………………………………………5分
A B

D E C

四、19.作BE⊥CD于E， ………………………………………………1分
∵梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，
∴四边形ABED是矩形.
∴DE=AB=2，CE=CD-DE=4-2=2. ………………………2分
在Rt△BEC中，又∵BC=4=2CE，
∴∠EBC=30°，CE=2，BE=2. …………………3分
∴∠B=∠ABC=120°. ………………4分
在Rt△ADC中，又∵AD=BE
∴AC===2. ………………………………………5分
20. ⑴ 32 ………………………………………………1分
⑵ 补图 ………………………………………………2分
⑶ 67.5° ………………………………………………3分
把扇形统计图补全 ………………………………………………4分
⑷ 595 ………………………………………………5分
21. ⑴证明：连结ON，
∵BP与⊙O相切于点N，
P
N

B M O A

·

∴ON⊥BP, ∠ONP=90°. …………………………………………1分
∵MN∥OP,
∴∠OMN=∠AOP, ∠MNO=∠NOP.
又∵∠OMN =∠MNO,
∴∠AOP =∠NOP.
又∵OA=ON，OP公用，
∴△AOP≌△NOP.
∴∠OAP =∠ONP=90°.
∴直线PA与⊙O相切. ………………………………………………2分.
⑵ 设⊙O的直径是2r.
∵M是AB的中点，∴BM=2r，OB=3r.
∴BN===2r. ………………………………………3分
∵∠PAB =∠ONB=90°，∴△PAB∽△ONB.
∴. …………………………………………4分
∴tan∠AMN= tan∠AOP=. ……………………………5分
22.（1）3或4 …………………………………………1分
（2）4，或6，或7 ………………………………………3分
（3）11 ………………………………………………4分
（4）5051 …………………………………………5分
五、23.⑴ 图形大体正确，有画图痕迹 …………………………………………1分
y
M
O
A
x
N
P
l
B

⑵ 由2x =，得x2=1. ………………………………………………2分
∵点A在第一象限，∴x=1.
∴点A（1，2）. …………………………………3分
⑶ 设l与x轴交于点P，与OA交于点B.
∵ OM=1 ，AM=2 ，AM⊥x轴
∴OA=，OB= ………………………………4分
易证Rt△POB∽Rt△AOM，
∴ .
∴OP=×=.
∴点P（，0）. ……………………………………5分
把点A和P的坐标分别代入y=kx+b，
得 ………………………………………………6分
解得k =，b =.
又∵直线AN必过点P，
∴直线AN的解析式是y=x+. ……………………………………7分
24. ⑴ 1，60° …………………………………………2分
⑵ 不变化.
证明：如图，点E在AP的延长线上，
C
A
P
D
B
M
E
∠BPE=α<60°.（只要画出了符合题意的图形即可得分） ……………3分

∵∠BPC=∠CPD+60°,
∠DPA=∠CPD+60°,
∴∠BPC=∠DPA.
在△BPC和△DPA中，
又∵BP=DP，PC=PA，
∴△BPC≌△DPA. …………………………………………4分
∴∠BCP=∠DAP.
∴∠AMC=180°-∠MCP-∠PCA-∠MAC
= 120°-∠BCP -∠MAC
=120°-（∠DAP+∠MAC）-∠PCA
=120°-∠PAC
= 60°，且与α的大小无关. ………………………………………6分
⑶ 不变化，60° ………………………………………7分
25.⑴ 由=，a=，得b= ………………………………1分
把b =和点A（1，）代入y=x2+bx+c，可求得c=.
∴这条抛物线的解析式是y=x2+x. ………………………………2分
y
O
x

P

F

A M

l
N
Q
1
-11
⑵设点P（x0，y0），则y0=x02+x0.
作PM⊥AF于M，
得 PF2=PM2+MF2
= (x0+)2+ (y0-)2
又∵y0=x02+x0
=(x0+)2-
∴(x0+)2=3y0+
∴PF2=3y0++ y02- y0+=( y0+1)2.
易知y0≥-，y0+1＞0. ∴PF= y0+1. ……………………………………4分
又∵当直线l经过点（0，-1）且与x轴平行时，
y0+1即为点P到直线l的距离.
∴存在符合题意的直线l. ………………………………………5分
⑶ 是定值.
证明：当PF∥x轴时，PF=QF=，. ……………………………6分
当PF与x轴不平行时，作QN⊥AF于N，
∵ △MFP∽△NFQ，∴.
再依据第⑵小题的结果，可得. ……………………………7分
整理上式，得 . …………………………………8分

9