线性方程组详解PPT课件.ppt

线线 性性 代代 数数 Linear Algebra 第第 2 章章 线性方程组线性方程组3/9/20241.第第 2 章章 线性方程组线性方程组 再次讨论线性方程组的求解问题，在第一章的讨论再次讨论线性方程组的求解问题，在第一章的讨论再次讨论线性方程组的求解问题，在第一章的讨论再次讨论线性方程组的求解问题，在第一章的讨论中，中，中，中，CramerCramer 法则针对未知量与方程个数一样的情形，法则针对未知量与方程个数一样的情形，法则针对未知量与方程个数一样的情形，法则针对未知量与方程个数一样的情形，将行列式作为工具，给出了方程组解存在且唯一的条将行列式作为工具，给出了方程组解存在且唯一的条将行列式作为工具，给出了方程组解存在且唯一的条将行列式作为工具，给出了方程组解存在且唯一的条件及解的行列式表示件及解的行列式表示件及解的行列式表示件及解的行列式表示.但有其局限性：但有其局限性：但有其局限性：但有其局限性：1 1、行列式的计算量大行列式的计算量大；2 2、系数行列式系数行列式系数行列式系数行列式 如何如何如何如何？3 3、未知量与方程个数不一样的情形无法处理、未知量与方程个数不一样的情形无法处理、未知量与方程个数不一样的情形无法处理、未知量与方程个数不一样的情形无法处理.不能用行列式不能用行列式来描述来描述3/9/20242.Example1第第 2 章章 线性方程组线性方程组ABCD500350150如图所示如图所示是某城市某区域单行是某城市某区域单行道路网道路网.据统计进入据统计进入交叉路口交叉路口 A 每小时车每小时车流量为流量为500 辆，而从辆，而从路口路口 B 和和 C 出来的出来的车辆分别为每小时车辆分别为每小时 350 辆和辆和 150 辆辆.如图所示，如图所示，Solution:设沿这些道路每小时车流量设沿这些道路每小时车流量分别为分别为 x1，x2，x3，x4，x5，x6.x1x5x2x3x4x6求出沿每一个道求出沿每一个道路每小时的车流量路每小时的车流量.鉴于出入每一个路口的车流量是相等的，于是有鉴于出入每一个路口的车流量是相等的，于是有路口路口 A 500=x1+x2+x3路口路口 B x1+x4+x6=350路口路口 C x3+x5=x6+150路口路口 D x2=x4+x5 得线性方程组得线性方程组 一个可控的网络一个可控的网络系统中，计算平衡运系统中，计算平衡运行问题，可归结为求行问题，可归结为求解线性方程组解线性方程组3/9/20243.1 消消 元元 法法线性方程组的一般形式为线性方程组的一般形式为线性方程组的一般形式为线性方程组的一般形式为 可以把未知量的系数和常数项按其原来的相对位置可以把未知量的系数和常数项按其原来的相对位置可以把未知量的系数和常数项按其原来的相对位置可以把未知量的系数和常数项按其原来的相对位置排成一个矩形的数表，来表示该方程组排成一个矩形的数表，来表示该方程组排成一个矩形的数表，来表示该方程组排成一个矩形的数表，来表示该方程组.系数矩阵系数矩阵增广矩阵增广矩阵 矩阵与行列式一样是从研究线性方程组的问题矩阵与行列式一样是从研究线性方程组的问题引出的，引出的，(由由 Cramer 法则知：方程组的解与系数、自法则知：方程组的解与系数、自由项有关由项有关)3/9/20244.第第 2 章章 线性方程组线性方程组Definition 2.1由由 个数个数 排成排成 m 行行 n 列的数表列的数表称为称为 m 行行 n 列矩阵，简称列矩阵，简称 矩阵。矩阵。Note:Note:1 1、前行后列；、前行后列；2 2、与行列式的、与行列式的区别区别 这这 个数称为矩阵个数称为矩阵 A 的元素，的元素，称为矩阵称为矩阵 A 的第的第 i 行、第行、第 j 列元素。（列元素。（实矩阵、复矩阵实矩阵、复矩阵）简记简记 如果两个矩阵的行数相等，列数也相等，则称它们如果两个矩阵的行数相等，列数也相等，则称它们是是同型矩阵。同型矩阵。3/9/20245.1 1 消元法消元法 如果如果 与与 是同型矩阵，且是同型矩阵，且 则称矩阵则称矩阵 A 与与B 相等，记为相等，记为 A=B相等的必要相等的必要条件是同型条件是同型常见的特殊矩阵：常见的特殊矩阵：1、行矩阵行矩阵 只有一行的矩阵只有一行的矩阵 2、列矩阵列矩阵 只有一列的矩阵只有一列的矩阵 3、零矩阵零矩阵 元素都为零的矩阵元素都为零的矩阵 4、方方 阵阵 若若 m=n，则称，则称 为为n 阶矩阵，也阶矩阵，也 称称n 阶方阵。在阶方阵。在n 阶方阵中，从左上角到右下角的阶方阵中，从左上角到右下角的 连线称为连线称为主对角线（对角线）。主对角线（对角线）。3/9/20246.第第 2 章章 线性方程组线性方程组5、上三角形矩阵（上三角阵）上三角形矩阵（上三角阵）在在n n 阶方阵中，若主阶方阵中，若主 对角线左下方所有元素全为零对角线左下方所有元素全为零(即即 rik=0=0 其中其中i k)即即6、下三角形矩阵（下三角阵）下三角形矩阵（下三角阵）在在n n 阶方阵中，若主阶方阵中，若主 对角线右上方所有元素全为零对角线右上方所有元素全为零(即即 lik=0=0 其中其中i k)7、对角阵对角阵 除对角线上元素外其除对角线上元素外其 他元素全为零的他元素全为零的n n 阶方阵。阶方阵。3/9/20247.1 1 消元法消元法8、数量矩阵数量矩阵 成立的对角阵成立的对角阵9、单位矩阵单位矩阵 的数量矩阵的数量矩阵记作记作 En 简记简记 E Note:5 9 概念的前提是方阵。概念的前提是方阵。矩阵表示举例：矩阵表示举例：Example1 婚姻问题婚姻问题(matching problem)女儿女儿追求者追求者ABCEDF327151042628如何嫁娶，如何嫁娶，使获得的礼品使获得的礼品最多？最多？7DEF3/9/20248.Example 2织物组织的表示织物组织的表示1、平纹、平纹（表示经线在上）表示经线在上）2、斜纹、斜纹斜纹斜纹3、缎纹、缎纹5 5 枚纬面缎纹枚纬面缎纹第第 2 章章 线性方程组线性方程组3/9/20249.Example 3 （赢得矩阵）（赢得矩阵）（这是对策论的问题）（这是对策论的问题）我国古代有我国古代有“齐王赛马齐王赛马”的事例，战国时代齐王与其大将的事例，战国时代齐王与其大将田田忌赛马，双方约定各出上、中、下忌赛马，双方约定各出上、中、下 3 3 个等级的马各一匹进行比个等级的马各一匹进行比赛，共赛马赛，共赛马 3 3 次，每次比赛的败者付给胜者千金。已知在同一次，每次比赛的败者付给胜者千金。已知在同一等级的比赛中，齐王之马可稳操胜券，但田忌的上、中等级的马等级的比赛中，齐王之马可稳操胜券，但田忌的上、中等级的马分别可胜齐王的中、下等级的马。分别可胜齐王的中、下等级的马。齐王与田忌在排列赛马出场顺齐王与田忌在排列赛马出场顺序时，各可取下列序时，各可取下列 6 种策略之一：种策略之一：1(上、中、下上、中、下)2 (中、上、下中、上、下)3(下、中、上下、中、上)4 (上、下、中上、下、中)5(中、下、上中、下、上)6 (下、上、中下、上、中)则可得齐王的则可得齐王的赢得矩阵：赢得矩阵：Go on1 1 消元法消元法3/9/202410.对策论的例对策论的例 对策也称博弈对策也称博弈（Game）,是自古以来的政治家、军是自古以来的政治家、军事家（现在更多的是经济学家）关注研究的问题。作事家（现在更多的是经济学家）关注研究的问题。作为一门学科是为一门学科是2020世纪世纪4040年代形成并发展起来的。年代形成并发展起来的。19441944年年冯冯.诺依曼诺依曼(Von Neumann)与摩根斯特与摩根斯特(O.Morgenstern)合作出版了博弈论与经济行为一书，标志着现代系合作出版了博弈论与经济行为一书，标志着现代系统博弈理论的初步形成。统博弈理论的初步形成。20世纪世纪50年代，纳什年代，纳什(Nash)建立了非合作博弈的建立了非合作博弈的“纳什均衡纳什均衡”理论，标志着博弈的新时代开始，是纳什理论，标志着博弈的新时代开始，是纳什在在经济博弈论领域划时代的贡献，是继冯经济博弈论领域划时代的贡献，是继冯.诺依曼之后最诺依曼之后最伟大的博弈论大师之一。伟大的博弈论大师之一。19941994年纳什获得了诺贝尔经济年纳什获得了诺贝尔经济学奖。学奖。对策论对策论研究冲突对抗条件下最优决策问题的理论研究冲突对抗条件下最优决策问题的理论 3/9/202411.对策论的例囚犯的两难处境囚犯的两难处境坦白坦白抵赖抵赖坦白坦白5，50.5，20抵赖抵赖20，0.51，1 一位富翁在家中被杀，财物被盗。一位富翁在家中被杀，财物被盗。警方抓到两个犯罪嫌疑人，并从他们的警方抓到两个犯罪嫌疑人，并从他们的住处搜出被害人家中丢失的财物。但是，住处搜出被害人家中丢失的财物。但是，他们矢口否认曾杀过人，辩称是先发现富翁被杀，然后只是顺他们矢口否认曾杀过人，辩称是先发现富翁被杀，然后只是顺手牵羊偷了点儿东西。于是警方将两人隔离，分别关在不同的手牵羊偷了点儿东西。于是警方将两人隔离，分别关在不同的房间进行审讯。由地方检察官分别和每个人单独谈话。检察官房间进行审讯。由地方检察官分别和每个人单独谈话。检察官给出了上表的政策，囚犯该怎么办呢？他们面临着两难的选择给出了上表的政策，囚犯该怎么办呢？他们面临着两难的选择坦白或抵赖。坦白或抵赖。结果：两人都选择了坦白，各被判刑结果：两人都选择了坦白，各被判刑5 5年。这个结年。这个结局被称为局被称为“纳什均衡纳什均衡”也称非合作均衡。也称非合作均衡。3/9/202412.对策论的例对策论的例 “纳什均衡纳什均衡”对亚当对亚当斯密的斯密的“看不见的手看不见的手”的原的原理提出理提出挑战。按照斯密的理论，在市场经济中，每一个人都从挑战。按照斯密的理论，在市场经济中，每一个人都从利己的目的出发，而最终全社会达到利他的效果。从利己的目的出发，而最终全社会达到利他的效果。从“纳什均衡纳什均衡”我们引出了我们引出了“看不见的手看不见的手”的原理的一个的原理的一个悖悖论：从利己目的出发，结果损人不利己，既不利己也不论：从利己目的出发，结果损人不利己，既不利己也不利他。利他。“纳什均衡纳什均衡”提出的悖论实际上动摇了西方经济提出的悖论实际上动摇了西方经济学学的基石的基石.3/9/202413.Example 4图的矩阵表示图的矩阵表示邻接矩阵邻接矩阵第第 2 章章 线性方程组线性方程组Example 5 求解线性方程组求解线性方程组1 1、是否有解？、是否有解？2 2、如果有解。、如果有解。无穷多解？唯一解？无穷多解？唯一解？3/9/202414.Solution：（消去法化简）（消去法化简）2-2-2-3+2 +314 -3 结论：该方程组有解，且有无穷多解。结论：该方程组有解，且有无穷多解。若若为为 0=C 0 0=C 0 则无解则无解同解变换：同解变换：1 1、交换方程次序；、交换方程次序；2 2、用一个非零数乘某个方程；、用一个非零数乘某个方程；3 3、将一个方程的、将一个方程的 k k 倍加到另一个方程上。倍加到另一个方程上。-5-1 1 消元法消元法自由未知量自由未知量自由未知量自由未知量3/9/202415.显然线性方程组显然线性方程组则则上述变换实际上只对方程组的系数和常数进行运算上述变换实际上只对方程组的系数和常数进行运算,所以，上述变换完全可以转换为对矩阵所以，上述变换完全可以转换为对矩阵 B B 的变换的变换.第第 2 章章 线性方程组线性方程组可用增广矩阵可用增广矩阵表示表示.3/9/202416.Definition 2.2 设设 A 是是 mn 矩阵，下面三种变矩阵，下面三种变换称为矩阵的初等行变换：换称为矩阵的初等行变换：（1）交换）交换 A 的第的第 i 行和第行和第 j 行的位置，记为行的位置，记为 ；（2）用非零常数）用非零常数 k 乘以乘以 A 的第的第 i 行各元素，记为行各元素，记为（3）将将 A 的第的第 i 行各元素的行各元素的 k 倍加到第倍加到第 j 行对应元素，行对应元素，记为记为注意记号注意记号把定义中的把定义中的“行行”换成换成“列列”，即得矩阵的初等列变换的定义，即得矩阵的初等列变换的定义行行 row列列 column“r”换成换成“c”矩阵的初等行（列）变换统称为矩阵的初等变换矩阵的初等行（列）变换统称为矩阵的初等变换1 1 消元法消元法3/9/202417.称为行阶称为行阶称为行阶称为行阶梯形矩阵梯形矩阵梯形矩阵梯形矩阵看前例的求解过程看前例的求解过程看前例的求解过程看前例的求解过程:行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵:如果矩阵中全为零的行在矩阵的下方如果矩阵中全为零的行在矩阵的下方如果矩阵中全为零的行在矩阵的下方如果矩阵中全为零的行在矩阵的下方,且非零行的第一个非零元素的列标随行标的递增而严且非零行的第一个非零元素的列标随行标的递增而严且非零行的第一个非零元素的列标随行标的递增而严且非零行的第一个非零元素的列标随行标的递增而严格增加格增加格增加格增加称为行最称为行最称为行最称为行最简形矩阵简形矩阵简形矩阵简形矩阵行最简形矩阵行最简形矩阵行最简形矩阵行最简形矩阵:如果矩阵是一行阶梯形矩阵如果矩阵是一行阶梯形矩阵如果矩阵是一行阶梯形矩阵如果矩阵是一行阶梯形矩阵,且非零行且非零行且非零行且非零行的第一个非零元素为的第一个非零元素为的第一个非零元素为的第一个非零元素为1,1,1,1,这些非零元素所在列的其他元这些非零元素所在列的其他元这些非零元素所在列的其他元这些非零元素所在列的其他元素都为零素都为零素都为零素都为零第第 2 章章 线性方程组线性方程组方程组是否有方程组是否有解由此判断解由此判断由此求解方程组由此求解方程组3/9/202418.1 1 消元法消元法TheoremTheorem 2.12.1任一任一 mn 非零矩阵非零矩阵 A=(aij)必可通过必可通过初等行变换化为行最简形初等行变换化为行最简形.进一步利用初等列变换可得进一步利用初等列变换可得进一步利用初等列变换可得进一步利用初等列变换可得:称为矩阵称为矩阵B 的的(等价等价)标准形标准形标准形标准形TheoremTheorem 2.22.2任一任一 mn 非零矩阵非零矩阵 A=(aij)必可通过必可通过初等变换化为标准形初等变换化为标准形.r=?矩阵的秩矩阵的秩proof3/9/202419.第第 2 章章 线性方程组线性方程组Theorem 2.2 的证明的证明Proof :对对对对 A A1 1 重复上述重复上述重复上述重复上述步骤步骤步骤步骤,经有限步经有限步经有限步经有限步可使矩阵化为标准形可使矩阵化为标准形可使矩阵化为标准形可使矩阵化为标准形,证毕证毕证毕证毕3/9/202420.1 消元法Example 6 Example 6 Solution Solution:用初等行变换将矩阵用初等行变换将矩阵用初等行变换将矩阵用初等行变换将矩阵化为行最简形化为行最简形化为行最简形化为行最简形.3/9/202421.第第 2 章章 线性方程组线性方程组 给定一个方程组由给定一个方程组由 m 个方程组成，但本质有几个方程组成，但本质有几个方程呢？个方程呢？Definition 2.3 在在在在 矩阵矩阵矩阵矩阵 A A 中，任取中，任取中，任取中，任取 k k 行和行和行和行和 k k 列列列列 (k m,k nk m,k n)，位于这些行列交叉处的位于这些行列交叉处的位于这些行列交叉处的位于这些行列交叉处的 k k2 2 个元素个元素个元素个元素按原有顺序构成的一个按原有顺序构成的一个按原有顺序构成的一个按原有顺序构成的一个 k k 阶行列式，称为矩阵阶行列式，称为矩阵阶行列式，称为矩阵阶行列式，称为矩阵 A A 的一的一的一的一个个个个 k k 阶子式。阶子式。阶子式。阶子式。Definition 2.4 在在在在 矩阵矩阵矩阵矩阵 A A 中，有一个中，有一个中，有一个中，有一个 r r 阶子阶子阶子阶子式不为零，且所有式不为零，且所有式不为零，且所有式不为零，且所有 r+r+1 1 阶子式阶子式阶子式阶子式(如果存在的话如果存在的话如果存在的话如果存在的话)全等于全等于全等于全等于零，那么，数零，那么，数零，那么，数零，那么，数 r r 称为矩阵称为矩阵称为矩阵称为矩阵 A A 的秩的秩的秩的秩(rankrank).记作记作记作记作 秩秩秩秩(A)或或或或 R R(A A),规定规定规定规定 R R(0)(0)=0 0 2 矩阵的秩矩阵的秩矩阵的秩是矩阵的一个重要的数字特征矩阵的秩是矩阵的一个重要的数字特征.方程组有解吗方程组有解吗？3/9/202422.2 2 矩阵的秩矩阵的秩1 1 1 1、由行列式性质，定义中说由行列式性质，定义中说 r+1+1 阶子式全为零，则所阶子式全为零，则所 有大于有大于 r+1+1 阶子式（如果有）也全为零，所以阶子式（如果有）也全为零，所以称称 D 为矩阵为矩阵 A 的的最高阶非零子式最高阶非零子式.显然显然显然显然2 2 2 2、若、若、若、若 A A 有一个非零有一个非零有一个非零有一个非零 k k 阶子式，则必有阶子式，则必有阶子式，则必有阶子式，则必有 .而而而而 ,表示表示表示表示 A A 有非零有非零有非零有非零 k k 阶子式，但并不说明阶子式，但并不说明阶子式，但并不说明阶子式，但并不说明 A A 的所有的所有的所有的所有 k k阶子式全不为零，所以阶子式全不为零，所以阶子式全不为零，所以阶子式全不为零，所以 A A A A 有一个有一个有一个有一个 k k k k阶子阶子阶子阶子式为零不能说明（除非是所有的）式为零不能说明（除非是所有的）式为零不能说明（除非是所有的）式为零不能说明（除非是所有的）3/9/202423.第第 2 章章 线性方程组线性方程组 称称 R(A)=n 的的 n 阶方阵阶方阵 A 为满秩矩阵；否则，称为满秩矩阵；否则，称为降秩矩阵为降秩矩阵.Example 7 求矩阵求矩阵 A=的秩的秩 Solution：在矩阵在矩阵 A 中共有中共有4 4个三阶子式，因个三阶子式，因 A 的第一、第的第一、第二行对应成比例，而任一三阶子式必包含第一、二行二行对应成比例，而任一三阶子式必包含第一、二行 所以，所有三阶子式都为零所以，所有三阶子式都为零.从而从而 R(A)=2.、A为为 n 阶方阵，则阶方阵，则3/9/202424.2 2 矩阵的秩矩阵的秩考察下面两个矩阵的秩考察下面两个矩阵的秩对对 B 可经复杂的计算，得可经复杂的计算，得 R(B)=3而对而对 B1 非常容易非常容易R(B)=3即非零行数即非零行数猜想：猜想：矩阵经初等变换秩不变矩阵经初等变换秩不变如果猜想成立，则化矩阵为阶梯形来求秩是方便的如果猜想成立，则化矩阵为阶梯形来求秩是方便的B1是阶梯形矩阵是阶梯形矩阵3/9/202425.第第 2 章章 线性方程组线性方程组TheoremTheorem 2.32.3初等变换不改变矩阵的秩初等变换不改变矩阵的秩.Proof:先证先证 A 经一次初等行变换变为经一次初等行变换变为B，则，则设设 R(A)=r，且，且 A的某个的某个 r r阶子式阶子式这是因为这是因为 A 经一次初等行变换变为经一次初等行变换变为 B，则，则B 也可也可经一次初等行变换变为经一次初等行变换变为 A，所以，所以从而从而既然每一次初等行变换秩不变，则有限次也不变既然每一次初等行变换秩不变，则有限次也不变3/9/202426.对情形对情形(3)(3)综上综上,证明了若证明了若 A经一次初等行变换变为经一次初等行变换变为 B,则则 ,即可知即可知A 经有限次初等行变换变为经有限次初等行变换变为 B,也成立也成立 由于由于 B 也可经有限次初等行变换变为也可经有限次初等行变换变为 A,故也有故也有 .因此因此,2 2 矩阵的秩矩阵的秩 类似可证类似可证Corollary 1 矩阵矩阵 A 的标准形是唯一的的标准形是唯一的.3/9/202427.Example 8 求矩阵求矩阵 A=的秩的秩，并求并求一个最高阶非零子式一个最高阶非零子式.Solution：要有规律要有规律说明说明A0 0中有中有3 3阶非零子式阶非零子式即为所求即为所求第第 2 章章 线性方程组线性方程组3/9/202428.Example 9 设设 求矩阵求矩阵 A 及矩阵及矩阵 B=(A，b)的秩的秩.Solution：A、B作为方程作为方程组的系数、增组的系数、增广矩阵，则无广矩阵，则无解解2 2 矩阵的秩矩阵的秩R(A)与与R(B)的关系的关系3/9/202429.第第 2 章章 线性方程组线性方程组3 解线性方程组解线性方程组 线性方程组线性方程组的一般形式为的一般形式为(2.1)式含有式含有 m 个方程，个方程，n 个未知量（个未知量（x1，x2，xn）可简记为可简记为记记 A，B=(A，b)分别为线性方程组分别为线性方程组(2.1)(2.1)的系数矩的系数矩阵、增广矩阵阵、增广矩阵 .3/9/202430.3 3 解线性方程组解线性方程组 若线性方程组有解若线性方程组有解若线性方程组有解若线性方程组有解,则称该线性方程组相容；否则则称该线性方程组相容；否则则称该线性方程组相容；否则则称该线性方程组相容；否则称为不相容。称为不相容。称为不相容。称为不相容。3.1 3.1 非非齐次线性方程组解的研究齐次线性方程组解的研究齐次线性方程组解的研究齐次线性方程组解的研究 由前面的讨论可知，非齐次线性方程组可用增广矩由前面的讨论可知，非齐次线性方程组可用增广矩阵表示；判断方程是否有解？可以通过对系数矩阵、增阵表示；判断方程是否有解？可以通过对系数矩阵、增广矩阵的秩来判断；求解线性方程组可将增广矩阵通过广矩阵的秩来判断；求解线性方程组可将增广矩阵通过初等初等行行变换化为行最简形进行变换化为行最简形进行.可作列变换吗可作列变换吗？3/9/202431.第第 2 章章 线性方程组线性方程组Theorem 2.4非齐次线性方程组非齐次线性方程组 (2.1)有解的充分有解的充分必要条件是它的系数矩阵必要条件是它的系数矩阵 A 的秩与增广矩阵的秩与增广矩阵 B 的秩的秩相等相等Corollary 1 (2.1)有唯一解的充分必要条件是有唯一解的充分必要条件是 R(A)=R(B)=A 的列数的列数 不是没有不是没有多余方程多余方程Corollary 2 (2.1)有无穷多解的充分必要条件是有无穷多解的充分必要条件是 R(A)=R(B)A 的列数的列数 求解非齐次线性方程组的步骤：求解非齐次线性方程组的步骤：1、化增广矩阵、化增广矩阵B为行阶梯形，若为行阶梯形，若R(A)R(B),则方程组无解则方程组无解2、若、若 R(A)=R(B)=r，则进一步把则进一步把 B 化成行最简形，把化成行最简形，把行最简形中行最简形中 r 个非零行的非零首元所对应的未知量取作个非零行的非零首元所对应的未知量取作非自由未知量，其余非自由未知量，其余 n-r 个取作自由未知量，并令自由个取作自由未知量，并令自由未知量分别等于未知量分别等于 k1,k2,kn-r，由由 B 的行最简形，即可的行最简形，即可得含得含 n-r 个参数的通解。个参数的通解。Note:解的表达式不唯一解的表达式不唯一proofproof3/9/202432.3 3 解线性方程组解线性方程组Proof:则则 R(A)R(B)则则B 的行阶梯形矩阵中最后一个非的行阶梯形矩阵中最后一个非零行对应矛盾方程零行对应矛盾方程 0=1,这与这与(2.1)有解矛盾有解矛盾.Theorem 2.4 的证明的证明设设 (2.1)有解，有解，假如假如 R(A)R(B)所以所以,R(A)=R(B)设设 R(A)=R(B)=r(rn)，则则 B 的行阶梯形的行阶梯形矩阵中含矩阵中含 r 个非零行，把这个非零行，把这 r 行的第一个非零元素行的第一个非零元素所对应的未知量作为非自由未知量，其余所对应的未知量作为非自由未知量，其余 n-r 个作个作为自由未知量，并令其全为零，即得方程组的一个为自由未知量，并令其全为零，即得方程组的一个解。解。3/9/202433.第第 2 章章 线性方程组线性方程组Example 10 求解方程组求解方程组 Solution:取取 x2，x3，x5 为自由未知量，令为自由未知量，令 x2=k1，x3=k2，x5=k3 有必要吗有必要吗?有必要吗有必要吗?3/9/202434.3 3 解线性方程组解线性方程组Example 11 设线性方程组设线性方程组试就试就 p、t 讨论方程组的解的情况。讨论方程组的解的情况。Solution:讨论讨论 无解无解?有解有解?唯一解唯一解?无穷多无穷多解解?3/9/202435.第第 2 章章 线性方程组线性方程组3.2 3.2 齐次线性方程组解的研究齐次线性方程组解的研究齐次线性方程组解的研究齐次线性方程组解的研究 对齐次线性方程组，一定有解对齐次线性方程组，一定有解对齐次线性方程组，一定有解对齐次线性方程组，一定有解 x x=(0,0,0).=(0,0,0).=(0,0,0).=(0,0,0).关关关关心的是什么条件有非零解？心的是什么条件有非零解？心的是什么条件有非零解？心的是什么条件有非零解？TheoremTheorem 2.52.5 n n 元齐次线性方程组元齐次线性方程组元齐次线性方程组元齐次线性方程组(2.1)(2.1)有非零解的有非零解的有非零解的有非零解的充分必要条件是系数矩阵的秩充分必要条件是系数矩阵的秩充分必要条件是系数矩阵的秩充分必要条件是系数矩阵的秩 R R(A A)n.n.proof即即即即 只有零解的充分必要条件是只有零解的充分必要条件是只有零解的充分必要条件是只有零解的充分必要条件是 R R(A A)=)=A A 的列数的列数的列数的列数CorollaryCorollary 具有具有具有具有 n n 个未知量及个未知量及个未知量及个未知量及 n n 个方程的齐次线性个方程的齐次线性个方程的齐次线性个方程的齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是方程组有非零解的充分必要条件是方程组有非零解的充分必要条件是方程组有非零解的充分必要条件是 。Go on3/9/202436.3 3 解线性方程组解线性方程组TheoremTheorem 2.52.5 的证明的证明的证明的证明 Proof Proof:必要性必要性必要性必要性设设设设 齐次线性方程组齐次线性方程组齐次线性方程组齐次线性方程组有非零解有非零解有非零解有非零解.反证反证反证反证,假设假设假设假设 R R(A A)=n=n ,则在则在则在则在 A A A A 中有一个中有一个中有一个中有一个 n n 阶非零阶非零阶非零阶非零子式子式子式子式 D Dn n，从而从而从而从而 D Dn n 所对应的所对应的所对应的所对应的 n n 个方程只有零解个方程只有零解个方程只有零解个方程只有零解这与这与这与这与 假设假设 有非零解矛盾，所以，有非零解矛盾，所以，有非零解矛盾，所以，有非零解矛盾，所以，R(A)nR(A)n由由Cramer法则法则充分性充分性充分性充分性设设设设 R(A)=r n,R(A)=r n,则则则则 A A 的行阶梯形矩阵只含的行阶梯形矩阵只含的行阶梯形矩阵只含的行阶梯形矩阵只含 r r 个非零行可知方程组共有个非零行可知方程组共有个非零行可知方程组共有个非零行可知方程组共有 n-rn-r 个自由未知量个自由未知量个自由未知量个自由未知量任取一个自由未知量为，其余自由未知量为，任取一个自由未知量为，其余自由未知量为，任取一个自由未知量为，其余自由未知量为，任取一个自由未知量为，其余自由未知量为，即可得方程组的一个非零解即可得方程组的一个非零解即可得方程组的一个非零解即可得方程组的一个非零解3/9/202437.第第 2 章章 线性方程组线性方程组Example 2 Solution：一定有一定有非零解非零解显然，方程组有两个自由未知量显然，方程组有两个自由未知量 ，取，取 x2，x5含含 n-R(A)个任意常个任意常数数唯一吗？唯一吗？3/9/202438.第第 2 章章 线性方程组线性方程组 完完3/9/202439.