微分中值定理解题方法.ppt

,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,第三章,中值定理,应用,研究函数性质及曲线性态,利用导数解决实际问题,罗尔中值定理,拉格朗日中值定理,柯西中值定理,泰勒公式,(,第三节,),推广,微分中值定理,与,导数的应用,一、罗尔,(Rolle),定理,第一节,二、拉格朗日,(Lagrange),中值定理,三、柯西,(Cauchy),中值定理,中值定理,第,三,章,费马,(fermat),引理,一、罗尔,(Rolle),定理,且,存在,证,:,设,则,费马,证毕,罗尔（,Rolle,）定理,满足,:,(1),在区间,a,b,上连续,(2),在区间,(,a,b,),内可导,(3),f,(,a,)=,f,(,b,),使,证,:,故在,a,b,上取得最大值,M,和最小值,m.,若,M,=,m,则,因此,在,(,a,b,),内至少存在一点,若,M,m,则,M,和,m,中至少有一个与端点值不等,不妨设,则至少存在一点,使,注意,:,1),定理条件条件不全具备,结论不一定,成立,.,则由费马引理得,例如,例,1.,证明方程,有且仅有一个小于,1,的,正实根,.,证,:,1),存在性,.,则,在,0,1,连续,且,由介值定理知存在,使,即方程有小于,1,的正根,2),唯一性,.,假设另有,为端点的区间满足罗尔定理条件,至少存在一点,但,矛盾,故假设不真,!,设,二、拉格朗日中值定理,(1),在区间,a,b,上连续,满足,:,(2),在区间,(,a,b,),内可导,至少存在一点,使,思路,:,利用,逆向思维,找出一个满足罗尔定理条件的函数,作辅助函数,显然,在,a,b,上连续,在,(,a,b,),内可导,且,证,:,问题转化为证,由罗尔定理知至少存在一点,即定理结论成立,.,拉氏,证毕,拉格朗日中值定理的,有限增量形式,:,推论,:,若函数,在区间,I,上满足,则,在,I,上必为常数,.,证,:,在,I,上任取两点,格朗日中值公式,得,由 的任意性知,在,I,上为常数,.,令,则,例,2.,证明等式,证,:,设,由推论可知,(,常数,),令,x,=0,得,又,故所证等式在定义域 上成立,.,自证,:,经验,:,欲证,时,只需证在,I,上,例,3.,证明不等式,证,:,设,中值定理条件,即,因为,故,因此应有,三、柯西,(Cauchy),中值定理,分析,:,及,(1),在闭区间,a,b,上连续,(2),在开区间,(,a,b,),内可导,(3),在开区间,(,a,b,),内,至少存在一点,使,满足,:,问题转化为证,柯西,构造辅助函数,证,:,作辅助函数,且,使,即,由罗尔定理知,至少存在一点,柯西定理的几何意义,:,注意,:,弦的斜率,切线斜率,例,4.,设,至少存在一点,使,证,:,问题转化为证,设,则,在,0,1,上满足柯西中值,定理条件,因此在,(0,1),内至少存在一点,使,即,证明,例,5.,试证至少存在一点,使,证,:,法,1,用柯西中值定理,.,则,f,(,x,),F,(,x,),在,1,e,上满足柯西中值定理条件,令,因此,即,分析,:,例,5.,试证至少存在一点,使,法,2,令,则,f,(,x,),在,1,e,上满足罗尔中值定理条件,使,因此存在,拉格朗日中值定理,微分中值定理及其相互关系,罗尔定理,柯西中值定理,微分中值定理的主要应用,(1),研究函数或导数的性态,(2),证明恒等式或不等式,(3),证明有关中值问题的结论,3.,有关中值问题的解题方法,利用,逆向思维,设辅助函数,.,一般解题方法,:,证明含一个中值的等式或根的存在,(2),若结论中涉及含中值的两个不同函数,(3),若结论中含两个或两个以上的中值,可用原函数法找辅助函数,.,多用,罗尔定理,可考虑用,柯,西中值定理,.,必须,多次应用,中值定理,.,(4),若结论为不等式,要注意,适当,放大,或,缩小,的技巧,.,内容小结,1.,微分中值定理的条件、结论及关系,罗尔定理,拉格朗日中值定理,柯西中值定理,2.,微分中值定理的应用,(1),证明恒等式,(2),证明不等式,(3),证明有关中值问题的结论,关键,:,利用逆向思维,设辅助函数,费马引理,作业,P134 7,8,10,12,14,*,15,提示,:,题,*,15.,题,14.,考虑,第二节,费马,(1601 1665),费马,法国数学家,他是一位律师,数学,只是他的业余爱好,.,他兴趣广泛,博,览群书并善于思考,在数学上有许多,重大贡献,.,他特别爱好数论,他提出,的费马大定理,:,历经,358,年,直到,1993,年才由美国普林斯顿大学的安德,鲁,.,怀尔斯教授经过十年的潜心研究才得到解决,.,引理是后人从他研究解决最值的方法中提炼出来的,.,拉格朗日,(1736 1813),法国数学家,.,他在方程论,解析函数论,及数论方面都作出了重要的贡献,近百,余年来,数学中的许多成就都可直接或,间接地追溯到他的工作,他是对分析数学,产生全面影响的数学家之一,.,柯西,(1789 1857),法国数学家,他对数学的贡献主要集中,在微积分学,柯,西全集,共有,27,卷,.,其中最重要的是为巴黎综合学校,编写的,分析教程,无穷小分析概论,微积分,在几何上的应用,等,有思想有创建,广泛而深远,.,对数学的影响,他是经典分析的奠基人之一,他为微积,分所奠定的基础推动了分析数学的发展,.,复变函数和微分方程方面,.,一生发表论文,800,余篇,著书,7,本,思考与练习,1.,填空题,1),函数,在区间,1,2,上满足拉格朗日定理,条件,则中值,2),设,有,个根,它们分别在区间,上,.,方程,2.,设,且在,内可导,证明至少存,在一点,使,提示,:,由结论可知,只需证,即,验证,在,上满足罗尔定理条件,.,设,3.,若,可导,试证在其两个零点间一定有,的零点,.,提示,:,设,欲证,:,使,只要证,亦即,作辅助函数,验证,在,上满足,罗尔定理条件,.,求证存在,使,4.,设,可导，且,在,连续，,证,:,设辅助函数,因此至少存在,显然,在 上满足罗尔定理条件,即,使得,5.,设,在,内可导,且,证明至少存在一点,使,上连续,在,证,:,问题转化为证,设辅助函数,显然,在,0,1,上满足罗尔定理条件,故至,使,即有,少存在一点,设,证明对任意,有,证,：,7.,不妨设,例,8.,证明,在,上单调增加,.,证,:,令,在,x,x,+1,上利用拉氏中值定理,故当,x,0,时,从而,在,上单调增,.,得,例,9.,设,在,上可导,且,证明,f,(,x,),至多只有一个零点.,证,:,设,则,故,在,上连续单调递增,从而至多只有,一个零点,.,又因,因此,也,至多只有一个零点.,思考,:,若题中,改为,其他不变时,如何设辅助函数,?,