课题：二元一次方程及它解.doc

课题： §5.1 二元一次方程和它的解
课标要求
（1）能根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型；（2）掌握代入消元法和加减消元法，能解二元一次方程组。
教材分析
地位与作用：
承前启后---是一元一次方程的再发展，是今后学习线性方程组及平面解析几何的基础。本章的学习将使学生进一步体会方程的模型思想，感受代数方法的优越性，同时也将有助于巩固有理数、整式的运算、一元一次方程等知识。
从函数角度---二元一次方程是一次函数的另一种呈现形式，二元一次方程组的解是组成方程组的两个一次函数的图像的交点坐标；
从数论的角度---二元一次方程又叫不定方程，不定方程的解有无数组，二元一次方程组的解是组成方程组的两个不定方程的所有解的公共解；
从高等代数的角度----二元一次方程组是简单的线性方程组，所以对二元一次方程组的的学习是学习线性方程的开始。
学情分析：
在七年级上册，学生已经学习了一元一次方程，并能对一些简单的实际问题分析其等量关系，列出一元一次方程加以解决。在此基础上，本小节通过生活中的实际问题，以合作学习的方式，让学生列出方程，从而引出二元一次方程的概念。并让学生体验二元一次方程来源于生活，并是解决生活实际问题的需要。怎样正确理解二元一次方程的解是本小节的难点。因为学生脑子里已有的方程（一元一次方程）的解都是唯一的，而二元一次方程的解不唯一，并且这里所说的一个解实际上是一对数，这对数虽说有无数组，但却不是随意的。这对初学者来说是不容易理解的。本小节的例题（用一个字母的代数式表示另一个字母）的安排有助于学生进一步理解二元一次方程的解的不唯一性，并且为如何获得二元一次方程的解及后面用代入法解二元一次方程组打下伏笔。
教学目标
知识目标：
1．通过观察，归纳二元一次方程的概念 ，能根据具体问题中的数量关系列出二元一次方程。会把二元一次方程化为用一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式。
2．二元一次方程解的不定性和相关性，即二元一次方程的解有无数个，但又不是任意两个数是它的解。了解两个未知数(变量)之间的变化关系。 
过程与方法：通过与一元一次方程的比较，加强学生的类比的思想方法。
情感态度与价值观：通过“合作学习”，使学生认识数学是根据实际的需要而产生发展的观点。体会数学的应用价值，提高分析问题、解决问题的能力。
教学重点
二元一次方程的意义及二元一次方程的解的概念。
教学难点
把一个二元一次方程变形成用关于一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式，其实质是解一个含有字母系数的方程。
教法
讲练结合、探究
学法
观察法、讨论、合作交流
板书设计
§5.1 二元一次方程和它的解
一、基本概念 二、把二元一次方程化为用一个未知数的代数式
1.二元一次方程的定义 表示另一个未知数的形式：
2.二元一次方程的解. 例题：
表达形式：
教 学 过 程

教师活动
学生活动
设计意图
设置情境
引入课题
我们很多同学喜欢玩积分游戏。这里面也有学问。看下面的问题：[投影1]
在新年联欢会上，同学们组织了猜谜活动，并采取积分方法计分，每答对1题得分，答错扣分。在猜谜活动中，王强答对了7道题，答错了3道题共获得52分；李翔答对了8道题，答错了1道题共获得62分.问答对1题得多少分答错一题扣多少分？
思考：
（1） 若用方程的知识解决此问题，本题中都涉及了哪些数量？哪些是已知量，哪些是未知量？
（2） 是否可以设两个未知数，列出含有这两个未知数的方程来求解？
（3） 这个问题中包含了哪些必须同时满足的条件？
若设答对1题得分，答错1题扣分，你能用方程把这些条件表示出来吗？

观察上述两个方程，这两个方程与一元一次方程有什么不同？它们有什么特点？
讨论选择正确概念
1含有两个未知数的方程叫二元一次方程。
含有两个未知数，且含有未知数的项的次数都是1次的方程叫二元一次方程。
课题： 5.1 二元一次方程和它的解

学生思考，并回答问题

这个问题中包含了必须同时满足的条件是：
王强答对得分＋答错扣分＝总积分.
李翔答对得分＋答错扣分＝总积分.

讨论交流：
方程中所含：
(1)未知数的个数；(2) 未知数的次数

通过章前页提出的问题引起学生的兴趣后，出两个问题，让学生通过思考体会，增强分析问题解决实际应用问题的信心和得出列方程解应用问题的一般化方法。

引导学生利用一元一次方程进行知识的迁移与奚比，让学生用原有的认知结构去同化新知识，符合建构主义理念

分析问题
探究新知
1. 二元一次方程的定义：
含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数是1的方程叫做二元一次方程。

判断下列方程是否为二元一次方程：
（1）； (2) ；
(3) ； (4)
例1.若方程是二元一次方程，求m、n的值。（或求的值）

2.二元一次方程的解
使二元一次方程的左右两边的值相等的一对未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。
例如：当时，方程的左右两边的值相等，我们把叫做方程的一个解，记作

例2：下列各对数值中是二元一次方程
x＋2y=2的解是（ ）
(A) ； （B） ；
（C） ； （D）
解法分析：将A、B,C,D中各对数值逐一代人方程检验是否满足方程，选A,B,C.

问题：二元一次方程的解有多少对？
怎样确定二元一次方程的一个解？
以二元一次方程为例：
方法一：设时，代入求得
∴是方程的一个解。
还有其他方法吗？
3．用关于x的代数式表示y （用关于y的代数式表示x）
例3：已知方程，用关于x的代数式表示y 。
分析：只要把方程看作未知数是y的一元一次方程，解关于y的方程
解：由方程，得

令x=-1、0、0.5、1…，则y=-13、-6、-2.5、1…，
∴归纳：二元一次方程的解有无数多个．

练习：已知方程2x+5y=7
（1）用关于x的代数式表示y ；
（2）用关于y的代数式表示x 。

归纳：把二元一次方程化为用一个未知数x的代数式表示另一个未知数y的形式，就是 解关于y的一元一次方程 。
变形后，再赋值，即可求出方程的解

学生根据二元一次方程的定义判断需要的条件：
含有两个未知数；含有未知数的项的次数是1

学生思考利用定义解决问题

类比一元一次方程的解的定义，尝试给出二元一次方程的解的定义（教师再给与纠正）

注意：解的表达形式：

代入方程左右两边判断数值是否相等

讨论、交流、尝试
（1）设定其中一个未知数的值，求另一个未知数；

学生认真倾听，
并记录笔记

找一名学生板演，
其余学生独立完成练习

类比一元一次方程的定义，概括出二元一次方程，并利用定义的特征判断，加深对定义的理解

强化理解二元一次方程的概念

培养学生应用知识的能力

记忆多元方程的解的表达形式

检验二元一次方程的解，目的在于培养分析等量关系的能力；培养观察估算能力；使学生进一步熟悉二元一次方程及其解的概念

通过探究活动得出结论：
1、二元一次方程的解是成对出现的；2、二元一次方程的解有无数多个．这与一元一次方程有显著的区别．

举一反三思维拓展
例4．求出方程的任意三个解
分析：（1）.观察方程中哪一个未知数的系数较简单（未知数y）；(2).用含x的代数式表示y；（3）对x赋值，即可求出对应的y值。
解：由方程得

令，则
∴ 是此方程组的解。

学生读题，思考解决问题的方法

讨论、交流

通过本例题的解决，学生能够找出求任意一个二元一次方程的解的方法。

课堂练习
1、若，的符号为 （ ）
A、同号 B、异号 C、可能同号可能异号 D、
2、二元一次方程2x+y = 5中，当x=2时，y= ;
3、方程中,,,中是二元一次方程的有______________________
4、已知方程 是二元一次方程, 则m=_____; n =______.
5、把二元一次方程　 写成用含x的代数式表示y的形式是
6、已知 是方程2x+3y=5的一

个解，求a的值.
学生独立完成，教师巡视，并适时指导
通过练习的独立完成，检测学生对知识的掌握情况
小结与作业

课堂小结
在学生畅所欲言话收获的基础上，老师进行补充．
1.二元一次方程的意义及二元一次方程的解的概念（注意书写格式） ；
2.二元一次方程解的不定性和相关性 ；
3.会把二元一次方程化为用一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式 。
发挥学生主体意识，培养学生归纳小结的能力。

本课作业
课改作业：P

本课教育评注（课堂设计理念，实际教学效果及改进设想）
本课的设计是从章前页提出“积分”的求解问题人手，激发学生的学习兴趣，让学生经历从不同角度寻求不同的解决方法的过程，体现出解决问题策略的多样性，激发了学生的学习兴趣．以算术的方法衬托出方程解法的优越性，以列一元一次方程解法衬托出列二元一次方程组解法的优越性，更使学生感到二元一次方程组的引人顺理成章．
本课内容是在学生已经掌握了一元一次方程的基础知识，初步具有提取数学信息、解决实际问题的能力后展开的．根据建构主义理念，学生完全有能力利用自己原有的知识去同化新知识，主动地将其纳人自己的知识体系中．所以本课的通篇整体设计，突出了一元一次方程的样板作用，让学生在类比中，主动迁移知识，建立起新的概念．使得基础知识和基本技能在学生头脑中留下较深刻的印象是很有必要的。