重庆市2012年高考数学压轴卷-文.doc

2012年重庆市高考压轴卷
数学文
数学试题文史类）共4页 满分150分 考试时间120分钟
注意事项：
1. 答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2. 答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
3. 答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4. 所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
5. 考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回。

数学试题（文科）
第I卷（选择题 共50分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．“”是“”成立的（ ）
A．充分必要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既非充分也非必要条件
2．已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．向量， ，若与平行，则等于（ ）
A． B．2 C． D．
4．定义， 则等于（ ）
A． B． C． D．
5．设是等差数列，且，则等于（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．在的展开式中，的系数为( )
A．4 B．6 C．8 D．10
7．将一枚骰子抛掷两次，若先后出现的点数分别为，则方程有实根的概率为（ ）
A． B． C． D．
8． 在一个的二面角的一个面内有一条直线与二面角的棱成，则此直线与二面角的另一个面所成的角为（ ）
A． B． C． D．
9．如果圆上总存在两个点到原点的距离为，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．已知实数，满足不等式，若，则的取值范围是( )
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．）
11．集合，集合，则=_ _．
12．从8名女生，4名男生中选出3名学生组成课外小组，如果按性别比例分层抽样，则不同的抽取方法种数为 ． （用数字作答）
13．记的反函数为，则方程的解 ．
14．下列图形中，若黑色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，则这个数列的一个通项公式为 　．

15．已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心为原点，焦点在轴上，左右焦点分别为，且它们在第一象限的交点为P，是以为底边的等腰三角形．若，双曲线的离心率的取值范围为．则该椭圆的离心率的取值范围是 ．

三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（本题满分13分）
甲、乙、丙三人射击同一目标，各射击一次，是否击中是相互独立的．将甲、乙、丙各自击中目标依次记为事件，它们的对立事件分别记为，，．若，，，且．
(Ⅰ) 求至少有一人击中目标的概率；
(Ⅱ) 求、的值．

17．（本小题满分13分）
在中，内角所对边长分别为，，．
（Ⅰ）求的最大值及的取值范围；
（Ⅱ）求函数的值域．

18．（本小题满分13分）
在三棱锥中，，，，，侧棱、、与底面所成的角相等．
（Ⅰ）求二面角的大小；
（Ⅱ）求点到平面的距离．

19．（本小题满分12分）
已知数列满足，且(，）
（Ⅰ）求证：数列是等差数列，并求出数列{}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{}的前项之和．

20．（本小题满分12分）
已知函数在处取得极值，且在处的切线的斜率为．
（Ⅰ）求的解析式；
（Ⅱ）若过点可作曲线的三条切线，求实数的取值范围．

21．（本小题满分12分）
动点到点的距离与它到直线的距离相等，记点的轨迹为曲线．圆的圆心是曲线上的动点， 圆与轴交于两点，且．
（Ⅰ）求曲线的方程；
（Ⅱ）设点，若点到点的最短距离为，试判断直线与圆的位置关系，并说明理由．

2012年重庆市高考压轴卷数学答案(文科)

参考答案
一．选择题 （每小题５分，共50分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
B
C
D
c
B
D
A
A
D
二、填空题 （每小题5分，共25分）
11．； 12．112； 13．3； 14．； 15．
三．解答题
16．（Ⅰ）至少有一人击中目标的对立事件为三人都不击中，
故所求概率为 ……5分
（Ⅱ）由题设可得 ……8分
即，注意到 ……10分
解之得， ……13分
17．（Ⅰ），即 ……2分
又，所以，即的最大值为16 ……4分
即，所以 ，又，所以 ……6分
（Ⅱ）
……9分
因，所以＜， ……11分
，所求值域为 ……13分

18．【解法一】（Ⅰ）侧棱、、与底面所成的角相等，
点在平面内的射影是的外心，即斜边的中点 ……2分
取的中点，连，，，则
，
． 平面，是在平面内的射影，
， ．
为二面角的平面角． ……4分
在中，，，
故二面角的大小为． ……7分
（Ⅱ），，．
设点到平面的距离为，则由 ……10分
解方程得，点到平面的距离等于． ……13分
【解法二】侧棱、、与底面所成的角相等，
点在平面内的射影是的外心，即斜边的中点． ……2分
取中点，连，，，则， ，．
以为原点，、分别为轴、轴正向，以的
垂直平分线为轴，建立空间直角坐标系（如图）．
，，，．
， ……4分
设平面的法向量为，则，
，令得， ……7分
（Ⅰ）平面为面法向量为，二面角为锐角，记为，
则，
所求二面角的大小． ……10分
（Ⅱ），平面的法向量
点到平面的距离． ……13分

19．（Ⅰ）， ，即(，且）
数列是等差数列，公差，首项． ……3分
，即数列{}的通项公式 ……6分
（Ⅱ） ①
②
①②得： ……8分
， ……10分
……12分

20．（Ⅰ） ……1分
依题意，∴ ……5分
（Ⅱ）设切点为，，切线斜率
切线方程为 ……7分
又切线过点， ……8分
令，则，
由得或．列表分析：

0

2

↘
极小值
↗
极大值
↘

， ……10分
画出草图知，当时，有三解，
所以的取值范围是． ……12分

21．(Ⅰ)解法1: 设动点的坐标为,依题意,得,
即, ……2分
化简得:,∴曲线的方程为． ……4分
解法2:由于动点与点的距离和它到直线的距离相等，根据抛物线的定义可知, 动点的轨迹是以点为焦点,直线为准线的抛物线． ……2分
∴曲线的方程为． ……4分
（Ⅱ）设点的坐标为,圆的半径为，
点是抛物线上的动点，()．
．
，，则当时，取得最小值为， …… 7分
依题意得或(舍) ……9分
此时,，圆的圆心的坐标为．
圆与轴交于两点，且,
．． ……11分
点到直线的距离，直线与圆相离． ……12分

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用心 爱心 专心