空间向量解决空间角及空间距离补充知识.doc

空间角和空间距离补充资料
一、法向量的求法

例1、如图，在棱长为2的正方体中，的中点是，建立适当空间坐标系，求出平面BPC1的一个法向量

D
S
A
B
C
练习：1、如图，在底面是直角梯形的四棱锥S—ABCD中，面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=求平面SBD的一个法向量

2、（坐标法）如图，长方体中，，，点为的中点．
⑴ 求证：直线平面；
⑵ 求证：平面平面；
⑶ 求证：直线平面；

二、点面距离、线面距离、面面距离公式：
由图可知，，则，
所以
因此d

例1、正四棱柱中，底面边长为6，侧棱长为4，、分别为棱、的中点
（1）求证：平面⊥平面
（2）求点到平面的距离

G
D
练习：已知：正方形ABCD的边长为4，CG⊥平面ABCD， CG=2,E、F分别是AB、AD的中点，
C
求点B到平面GEF的距离。
F

B
E
A

例2、已知：正方体ABCD—A1B1C1D1中，P为AB中点，求BC到面A1D1P的距离

练习：已知四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB=1，AA1=2，点E是CC1的中点，F是BD1中点。
（1）证明：EF是BD1与CC1的公垂线；
（2）求直线B1D1到面BDE的距离。

三、异面直线间的距离
例3、已知正方体ABCD－的棱长为1，求直线与AC的距离．

四、 异面直线所成的角
例4、直三棱柱中，若，，求异面直线与所成的角

练习：四棱锥S—ABCD的底面是边长为1的正方形，SD⊥底面ABCD，SB=.
（1）求证：BC⊥SC；
（2）设棱SA的中点为M，求异面直线DM与SB所成角的大小；

五、 直线与平面所成的角
例5、如图，在直三棱柱ABC－A1 B1 C1中．底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=AA1=2， D是CC1的中点，求A1 B与平面ABD所成角的大小

练习：正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为a，侧棱长为，求AC1与侧面AB1所成的角。

六、二面角
例3、如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，，点是棱的中点.
（1）证明：平面；
（2）若，求二面角的平面角的余弦值.

练习：1、底面是一直角梯形的四棱锥S-ABCD中，AD∥BC，，SA⊥平面AC，SA=AB=BC=1，，求面SCD与面SBA所成的角。

2、设在平面内的射影是直角三角形的斜边的中点，，求：（1）与平面所成角的大小；
（2）二面角的正切值；
（3）异面直线和的大小

C
D
M
A
P
B
3、已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，底面ABCD，且PA=AD=DC=AB=1，M是PB的中点
（Ⅰ）证明：面PAD⊥面PCD；
（Ⅱ）求AC与PB所成的角；
（Ⅲ）求面AMC与面BMC所成二面角的大小

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