平行四边形有关的常用辅助线.doc

平行四边形中的常用辅助线

PART A知识讲解
六类与平行四边形有关的常见辅助线，供借鉴：
第一类：连结对角线，把平行四边形转化成两个全等三角形。
例1如左下图1，在平行四边形中，点在对角线上，且,请你以为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只需证明一条线段即可）
⑴连结 ⑵
⑶证明：连结,设交于点O
∵四边形为平行四边形 ∴
∵ ∴ 即
∴四边形为平行四边形 ∴

第二类：平移对角线，把平行四边形转化为梯形。
例2如右图2，在平行四边形中，对角线和相交于点O，如果，
，，那么的取值范围是（ ）
A B C D
解：将线段沿方向平移，使得,,则有四边形为平行四边形,∵在中, ,,
∴，即 解得 故选A
第三类：过一边两端点作对边的垂线，把平行四边形转化为矩形和直角三角形问题。
例3已知：如左下图3，四边形为平行四边形
求证：
证明：过分别作于点，的延长线于点F
∴

则
∵四边形为平行四边形 ∴∥且,
∴ ∵
∴ ∴
∴

第四类：延长一边中点与顶点连线，把平行四边形转化为三角形。
例4：已知：如右上图4，在正方形中，分别是、的中点，与交于点，求证：
证明：延长交的延长线于点
∵四边形为正方形
∴∥且,,
∴ 又∵, ∴≌
∴ ∵ ∴
∵ ∴≌ ∴
∵ ∴ ∴,则
∴
第五类：延长一边上一点与一顶点连线，把平行四边形转化为平行线型相似三角形。
例5如左下图5，在平行四边形中，点为边上任一点，请你在该图基础上，适当添加辅助线找出两对相似三角形。
解：延长与的延长线相交于，则有
∽,∽,∽

第六类：把对角线交点与一边中点连结，构造三角形中位线
例6已知：如右上图6，在平行四边形中，,,
交于，求
解：连结交于点,连结
∵四边形为平行四边形 ∴
∵ ∴∥且 ∴
∵ ∴ ∴
∴ ∴
综上所述，平行四边形中常添加辅助线是：连对角线，平移对角线，延长一边中点与顶点连线等，这样可将平行四边形转化为三角形（或特殊三角形）、矩形（梯形）等图形，为证明解决问题创造条件。

PART B综合演练
一、一般多边行
1、如图，四边形ABCD中，E、F、G、H是四边形各边的中点，求证：四边形EFGH是平行四边形。

2、某风筝厂准备购进甲、乙两种规格相同但颜色不同的布料生产形状如图所示的风筝，点E、F、G、H分别是四边形ABCD的中点，其阴影部分用的甲布料，其余部分用乙布料（裁剪两种布料时，均不计余料），若生产这批风筝需要甲布料30匹，那么需要乙布料多少匹？

3、提出问题：如图①所示，在四边形ABCD中，P是AD边上任意一点，△PBC与△ABC和△DBC的面积之间有什么关系？
探究问题：为了解决这个问题，我们可以先从一些简单的，特殊的情形入手：
（1）当AP=AD时（如图②）：
∵AP=AD，△ABP和△ABD的高相等，∴。
∵PD=AD－AP=AD，△CDP和△CDA的高相等，∴。
∴
＝
＝
＝
（2）当AP=AD时，探求之间的关系，写出求解过程；
（3）当AP=AD时，之间的关系式为______________________；
（4）一般地，当AP=AD（表示正整数）时，探求之间的关系，写出求解过程；
问题解决：当AP=AD时，之间的关系为____________________。

① ②

二、多边形
1、如图，如果直线是多边形ABCDE的对称轴，其中∠A=130°，∠B=110°，那么∠BCD的度数等于（ ）
A、40° B、50° C、60° D、70°

2、一个零件的形状如图所示，按规定∠A应等于，∠B、∠C应分别为和，检验工人量得∠BDC=，就断定这个零件不合格，这是为什么呢？

3、王师傅有两块板材边角料，其中一块是边长为60的正方形板子，另一块是上底为30，下底为120，高为60的直角梯形板子（如图①），王师傅想将这两块板子裁剪成两块全等的矩形板材，他将两块板子叠放在一起，使梯形的两个直角顶点分别与正方形的两个顶点重合，两块板子的重叠部分为五边形ABCFE围成的区域（如图②），由于受材料纹理的限制，要求裁出的矩形要以点B为一个顶点。
（1）求BC的长。
（2）利用图②求出矩形顶点B所对的顶点到BC边的距离（）为多少时，矩形的面积
（）最大？最大面积是多少？
（3）若想使裁出的矩形为正方形，试求出面积最大的正方形的边长。

① ②

三、平行四边形 （矩形、菱形、正方形与其相同）
1、如图，已知△ABC是等边三角形，D、E分别在BC、AC上，且CD=CE，连结DE并延长至点F，使EF=AE，连结AF、BE和CF。
（1）请在图中找出一对全等三角形，用符号“≌”表示，并加以证明；
（2）判断四边形ABDF是怎样的四边形，并说明理由；
（3）若AB=6，BD=2DC，求四边形ABEF的面积。

2、如图，在矩形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，点G、H在DC边上，且GH=DC。若AB=10，BC=12，则图中阴影部分的面积为____________。

3、如图，E、F分别是平行四边形ABCD对角线BD所在直线上两点，DE=BF，请你以F为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新的线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等。（只需研究一组线段相等即可）。
（1）连结_________；（2）猜想：_____________；（3）证明：（说明：写出证明过程的重要依据）。

4、如图，在□ABCD中，E、F分别为AB、CD的中点，连结DE、BF、BD。
（1）求证：△ADE≌△CBF。
（2）若AD⊥BD，则四边形BFDE是什么特殊四边形？请证明你的结论。

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