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高考数学140分必读之把关题解析30讲(4)
1.北京宣武区二模
19. (本题满分14分)
已知点满足:,且已知
(1)求过点的直线的方程;
(2)判断点与直线的位置关系,并证明你的结论;
(3)求点的极限位置。
解:(1)由,得:
显然直线的方程为………………3分
(2)由,得:
∴点,猜想点在直线上,以下用数学归纳法证明:
当n=2时,点
假设当时,点,即
当时,
∴点
综上,点………………8分
(3)由,得:
∴数列是以为首项,公差为1的等差数列
即点的极限位置为点P(0,1)………………14分
20. (本题满分14分)
已知直线与曲线交于两点A、B。
(1)设,当时,求点P的轨迹方程;
(2)是否存在常数a,对任意,都有?如果存在,求出a的值;如果不存在,说明理由。
(3)是否存在常数m,对任意,都有为常数?如果存在,求出m的值;如果不存在,说明理由。
解:(1)设,则
由消去y,得:
依题意有解得:
且,即或且
∴点P的坐标为:消去m,得:
,即
由,得
,解得或
∴点P的轨迹方程为(或)………………5分
(2)假设存在这样的常数a
由消去y得:
解得:
当时,,且方程<2>判别式
∴对任意,A、B两点总存在,故当时,对任意,都有………………10分
(3)假设这样的常数m存在,对任意的,使为一常数M。
即
即
化简,得:
∵a为任意正实数
,即,矛盾。
故这样的常数m不存在。………………14分
2.大连二模
20.(本小题满分12分)
数列,设Sn是数列的前n项和,并且满足
(Ⅰ)令是等比数列,并求{bn}的通项公式;
(Ⅱ)令
解:(Ⅰ)
依题意知,s、t是二次方程的两个实根.
∵……2分
∴在区间(0,a)与(a,b)内分别有一个实根.
∵ …………4分
(Ⅱ)由s、t是的两个实根,知
∴…6分
∵
故AB的中点C()在曲线y=f(x)上. ……8分
(Ⅲ)过曲线上点的切线方程为
∵,又切线过原点.
∴
解得=0,或
当=0时,切线的斜率为ab;当时,切线的斜率为……10分
∵ ∴两斜率之积
故两切线不垂直. ………………12分
21.(本小题满分12分)
已知函数
(Ⅰ)设处取到极值,其中
(Ⅱ)设求证:线段AB的中点C在曲线y=f(x)上;
(Ⅲ)若,求证:过原点且与曲线y=f(x)相切的两条直线不可能垂直.
解:(Ⅰ)以线段AB的中点O为原点,直线AB为x轴建立直角坐标系,
作CD⊥AB于D, 由题知: ①
而 ②
由①② ………………2分
同理, ∴A(-1,0)、B(1,0)……4分
设双曲线方程
由 …………6分
因为E、C两点在双曲线上,所以 ………………8分
解得,∴双曲线方程为 …………10分
(Ⅱ)设
∵
∴ ①
又M、N在双曲线上,满足 ②
将②代入①,
∵ …………………………12分
又
∴取值范围为() ………………14分
3.德州模拟
21. (12分)已知定点A(0,1),B(0,-1),C(1,0),动点P满足
(1)求动点P的轨迹方程,并说明方程表示的曲线。
(2)当
解:(1)设p(x,y)
则
由得
3分
整理得(*) 4分
当k=1时,*式化为x=1表示直线 5分
当k≠1时,*式化为
表示心为半径的圆 6分
(2)当k=2时,*式化为
此时,
∴其最小值为2,最大值为6 12分
22. (14分)△ABC中,|AB|=|AC|=1,,P1为AB边上的一点,,从P1向BC作垂线,垂足是Q1;从Q1向CA作垂线,垂足是R1;从R1向AB作垂线,垂足是P2,再由P2开始重复上述作法,依次得Q2,R2,P3;Q3,R3,P4……
(1)令BPn为xn,寻求BPn与(即)之间的关系。
(2)点列是否一定趋向于某一个定点P0?说明理由;
(3)若,则是否存在正整数m,使点P0与Pm之间的距离小于0.001?若存在,求m的最小值。
解:(1)由|AB|=|AC|=1,
从而△ABC为边长为1的正三角形 2分
则,于是
∴ 3分
同样
4分
又
即 5分
(2)由(1)可得:
∴的等比数列
∴ 7分
当
∴点Pn趋向点P0,其中P0在AB上,且BP0 9分
(3) 11分
由
当
∴的最小值为4 14分
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