高中数学复习专题讲座(第28讲)关于求空间的角的问题.doc

高中数学复习专题系列讲座　　　　　　　　 新疆奎屯市第一高级中学　王新敞
题目 高中数学复习专题讲座关于求空间的角的问题
高考要求
空间的角是空间图形的一个要素，在异面直线所成的角、线面角、二面角等知识点上，较好地考查了学生的逻辑推理能力以及化归的数学思想
重难点归纳
空间角的计算步骤 一作、二证、三算
1 异面直线所成的角 范围 0°＜θ≤90°
方法 ①平移法；②补形法
2 直线与平面所成的角 范围 0°≤θ≤90°
方法 关键是作垂线，找射影
3 二面角
方法 ①定义法；②三垂线定理及其逆定理；③垂面法
注1 二面角的计算也可利用射影面积公式S′=Scosθ来计算
注2 借助空间向量计算各类角会起到事半功倍的效果
典型题例示范讲解
例1在棱长为a的正方体ABCD—A′B′C′D′中，E、F分别是BC、A′D′的中点
(1)求证 四边形B′EDF是菱形；
(2)求直线A′C与DE所成的角；
(3)求直线AD与平面B′EDF所成的角；
(4)求面B′EDF与面ABCD所成的角
命题意图 本题主要考查异面直线所成的角、线面角及二面角的一般求法，综合性较强
知识依托 平移法求异面直线所成的角，利用三垂线定理求作二面角的平面角
错解分析 对于第(1)问，若仅由B′E=ED=DF=FB′就断定B′EDF是菱形是错误的，因为存在着四边相等的空间四边形，必须证明B′、E、D、F四点共面
技巧与方法 求线面角关键是作垂线，找射影，求异面直线所成的角采用平移法 求二面角的大小也可应用面积射影法
(1)证明 如上图所示，由勾股定理，得B′E=ED=DF=FB′=a,下证B′、E、D、F四点共面，取AD中点G，连结A′G、EG，由EGABA′B′知，B′EGA′是平行四边形
∴B′E∥A′G,又A′F DG,∴A′GDF为平行四边形
∴A′G∥FD，∴B′、E、D、F四点共面
故四边形B′EDF是菱形
(2)解 如图所示，在平面ABCD内，过C作CP∥DE，交直线AD于P，则∠A′CP(或补角)为异面直线A′C与DE所成的角
在△A′CP中，
易得A′C=a，CP=DE=a,A′P=a
由余弦定理得cosA′CP=
故A′C与DE所成角为arccos
另法（向量法） 如图建立坐标系，则

故A′C与DE所成角为arccos
(3)解 ∵∠ADE=∠ADF,∴AD在平面B′EDF内的射影在∠EDF的平分线上 如下图所示
又∵B′EDF为菱形，∴DB′为∠EDF的平分线，
故直线AD与平面B′EDF所成的角为∠ADB′
在Rt△B′AD中，AD=a，AB′=a,B′D=a
则cosADB′=
故AD与平面B′EDF所成的角是arccos
另法（向量法）
∵∠ADE=∠ADF,∴AD在平面B′EDF内的射影在∠EDF的平分线上 如下图所示
又∵B′EDF为菱形，∴DB′为∠EDF的平分线，
故直线AD与平面B′EDF所成的角为∠ADB′，
如图建立坐标系，则

，
故AD与平面B′EDF所成的角是arccos
(4)解 如图，连结EF、B′D，交于O点，显然O为B′D的中点，从而O为正方形ABCD—A′B′C′D的中心
作OH⊥平面ABCD，则H为正方形ABCD的中心，
再作HM⊥DE，垂足为M，连结OM，则OM⊥DE，
故∠OMH为二面角B′—DE′—A的平面角
在Rt△DOE中，OE=a,OD=a,斜边DE=a,
则由面积关系得OM=a
在Rt△OHM中，sinOMH=
故面B′EDF与面ABCD所成的角为arcsin
另法（向量法） 如图建立坐标系，则
，
所以面ABCD的法向量为
下面求面B′EDF的法向量
设，由

∴
∴
故面B′EDF与面ABCD所成的角为
例2如下图，已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱AA1长为b,且AA1与AB、AD的夹角都是120°
求 (1)AC1的长；
(2)直线BD1与AC所成的角的余弦值
命题意图 本题主要考查利用向量法来解决立体几何问题
知识依托 向量的加、减及向量的数量积
错解分析 注意＜＞=＜,＞=120°而不是60°,＜＞=90°
技巧与方法 数量积公式及向量、模公式的巧用、变形用

∴BD1与AC所成角的余弦值为
例3如图，为60°的二面角，等腰直角三角形MPN的直角顶点P在l上，M∈α,N∈β,且MP与β所成的角等于NP与α所成的角
(1)求证 MN分别与α、β所成角相等；
(2)求MN与β所成角
(1)证明 作NA⊥α于A，MB⊥β于B,连接AP、PB、BN、AM，再作AC⊥l于C，BD⊥l于D，连接NC、MD

∵NA⊥α,MB⊥β,∴∠MPB、∠NPA分别是MP与β所成角及NP与α所成角，∠MNB，∠NMA分别是MN与β,α所成角，∴∠MPB=∠NPA
在Rt△MPB与Rt△NPA中，PM=PN，∠MPB=∠NPA，∴△MPB≌△NPA，∴MB=NA
在Rt△MNB与Rt△NMA中，MB=NA，MN是公共边，∴△MNB≌△NMA，∴∠MNB=∠NMA，即(1)结论成立
(2)解 设∠MNB=θ,MN=a,则PB=PN=a,MB=NA=asinθ，NB=acosθ,∵MB⊥β,BD⊥l,∴MD⊥l,∴∠MDB是二面角α—l—β的平面角，
∴∠MDB=60°，同理∠NCA=60°,
∴BD=AC=asinθ,CN=DM=asinθ,
∵MB⊥β，MP⊥PN，∴BP⊥PN
∵∠BPN=90°,∠DPB=∠CNP,∴△BPD∽△PNC,∴

整理得，16sin4θ－16sin2θ+3=0
解得sin2θ=,sinθ=，
当sinθ=时，CN=asinθ= a＞PN不合理，舍去
∴sinθ=,∴MN与β所成角为30°
另法（向量法） 如图设的法向量为，的法向量为，模均为1，由题意，，
设，
则，，，
且

所以＝
或＝－
所以，MN分别与α、β所成角相等

学生巩固练习
1 在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M为DD1的中点，O为底面ABCD的中心，P为棱A1B1上任意一点，则直线OP与直线AM所成的角是( )
A B C D
2 设△ABC和△DBC所在两平面互相垂直，且AB=BC=BD=a,∠CBA=∠CBD=120°,则AD与平面BCD所成的角为( )
A 30° B 45° C 60° D 75°
3 已知∠AOB=90°,过O点引∠AOB所在平面的斜线OC，与OA、OB分别成45°、60°，则以OC为棱的二面角A—OC—B的余弦值等于______
4 正三棱锥的一个侧面的面积与底面积之比为2∶3,则这个三棱锥的侧面和底面所成二面角的度数为_________
5 已知四边形ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ABC=90°,PA⊥平面AC，且PA=AD=AB=1,BC=2
(1)求PC的长；
(2)求异面直线PC与BD所成角的余弦值的大小；
(3)求证 二面角B—PC—D为直二面角
6 设△ABC和△DBC所在的两个平面互相垂直，且AB=BC=BD，∠ABC=∠DBC=120°，求
(1)直线AD与平面BCD所成角的大小；
(2)异面直线AD与BC所成的角；
(3)二面角A—BD—C的大小
7一副三角板拼成一个四边形ABCD，如图，然后将它沿BC折成直二面角
(1)求证 平面ABD⊥平面ACD；
(2)求AD与BC所成的角；
(3)求二面角A—BD—C的大小

参考答案
1 解析 (特殊位置法）将P点取为A1，作OE⊥AD于E，连结A1E，则A1E为OA1的射影，又AM⊥A1E，∴AM⊥OA1，即AM与OP成90°角
答案 D
2 解析 作AO⊥CB的延长线，连OD，则OD即为AD在平面BCD上的射影，
∵AO=OD=a,∴∠ADO=45°
答案 B
3 解析 在OC上取一点C，使OC=1，过C分别作CA⊥OC交OA于A，CB⊥OC交OB于B，则AC=1，，OA=，BC=，OB=2，Rt△AOB中，AB2=6，△ABC中，由余弦定理，得cosACB=－
答案 －
4 解析 设一个侧面面积为S1，底面面积为S，则这个侧面在底面上射影的面积为，由题设得，设侧面与底面所成二面角为θ,则cosθ=,∴θ=60°
答案 60°
5 (1)解 因为PA⊥平面AC，AB⊥BC,∴PB⊥BC,即∠PBC=90°,由勾股定理得PB=
∴PC=
(2)解 如图，过点C作CE∥BD交AD的延长线于E，连结PE，则PC与BD所成的角为∠PCE或它的补角
∵CE=BD=，且PE=
∴由余弦定理得
cosPCE=
∴PC与BD所成角的余弦值为
(3）证明 设PB、PC中点分别为G、F，连结FG、AG、DF，
则GF∥BC∥AD，且GF=BC=1=AD，
从而四边形ADFG为平行四边形，
又AD⊥平面PAB，∴AD⊥AG，
即ADFG为矩形，DF⊥FG
在△PCD中，PD=，CD=，F为BC中点，
∴DF⊥PC
从而DF⊥平面PBC，故平面PDC⊥平面PBC，
即二面角B—PC—D为直二面角 
另法（向量法） (略)

6 解 (1)如图，在平面ABC内，过A作AH⊥BC，垂足为H，则AH⊥平面DBC，
∴∠ADH即为直线AD与平面BCD所成的角 由题设知△AHB≌△AHD，则DH⊥BH，AH=DH，
∴∠ADH=45°
(2)∵BC⊥DH，且DH为AD在平面BCD上的射影，
∴BC⊥AD，故AD与BC所成的角为90°
(3)过H作HR⊥BD，垂足为R，连结AR，则由三垂线定理知，AR⊥BD，故∠ARH为二面角A—BD—C的平面角的补角 设BC=a,则由题设知，AH=DH=,在△HDB中，HR=a，∴tanARH==2
故二面角A—BD—C大小为π－arctan2
另法（向量法） (略)

7 (1)证明 取BC中点E，连结AE，∵AB=AC，∴AE⊥BC
∵平面ABC⊥平面BCD，∴AE⊥平面BCD，
∵BC⊥CD，由三垂线定理知AB⊥CD
又∵AB⊥AC，∴AB⊥平面BCD，∵AB平面ABD
∴平面ABD⊥平面ACD
(2)解 在面BCD内，过D作DF∥BC，过E作EF⊥DF，交DF于F，由三垂线定理知AF⊥DF，∠ADF为AD与BC所成的角
设AB=m，则BC=m，CE=DF=m,CD=EF=m

即AD与BC所成的角为arctan
(3)解 ∵AE⊥面BCD，过E作EG⊥BD于G，连结AG，由三垂线定理知AG⊥BD，
∴∠AGE为二面角A—BD—C的平面角
∵∠EBG=30°，BE=m,∴EG=m
又AE=m,∴tanAGE==2,∴∠AGE=arctan2
即二面角A—BD—C的大小为arctan2
另法（向量法） (略)

课前后备注 　
源头学子小屋 　 wxckt@ 第10页 共10页