《高等代数》专插本考试真题.doc

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韩山师范学院专升本插班生考试样卷
数学与应用数学 专业 高等代数 样卷

题号
一
二
三
四
五
六
七
八
九
十
总分
评卷人
得分

一、填空题(每小题2分，共12分)
1．最小的数域是 。
2．能整除任意多项式的多项式是 。
3．－1是的 重根。
4．六阶行列式D的一项的符号为 。
5．二次型的矩阵是 。
6．设是欧氏空间R3的两个向量，则当 时，有。

二、判断题(每小题2分，共10分)
1．设是一个映射，若对，只要，就有，那么是A到B的一个单射． ( )
2．次数大于1的奇次实系数多项式在实数域上一定可约． ( )
3．若5整除三阶行列式D的每一个元素，则53整除D． ( )
4．n阶行列式D的元素的代数余子式Aij，当i与j的奇偶性相同时一定等于余子式Mij． ( )
5．(A+B)(A－B)=A2－B2． ( )

三、选择题(每小题3分，共18分)
题号
1
2
3
4
5
6
答案

1．=( )．
(A) n!； (B) (-1)n-1n! ； (C)－n! ； (D) (-1)nn!
2．m个方程n个未知量的线性方程组有无穷多解的充要条件是( )．
(A)； (B) 系数矩阵的秩<n； (C) 系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩；
(D)系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩且小于n
3．n阶矩阵A不可逆的充要条件是( )．
(A)对数域F上任意n阶矩阵B，都有ABBA；
(B)存在数域F上的一个n阶矩阵B，使得ABI；
(C)对数域F上任意n阶矩阵B，都有ABI；
(D)对数域F上任意n阶矩阵B，都有AB=0
4．当满足条件( )时，二次型 为正定二次型．
(A)； (B)； (C) ； (D)
5．设是n维欧氏空间V的线性变换，为V的规范正交基，则( )使为正交变换．
(A)，有；
(B)为V中线性无关的向量，且；
(C)两两正交，有；
(D)为V的规范正交基，且
6．设可由线性表示，但不能由线性表示，则( )
(A)线性无关； (B)线性相关；
(C)不能由线性表示；(D)可由线性表示

四、计算题(共30分)
1．(7分)计算n阶行列式D=．
2．(8分)设A=，求齐次线性方程组AX=0的一个基础解系，并求一个秩为2的方阵B，使AB=0．
3．(7分)判断c满足何条件时，线性方程组有解？
4．(8分)设线性变换在基下的矩阵为A=，求的本征值与本征向量。
五、证明题(共30分)
1．(8分)设，证明。
2．(8分)设A、B都为n阶可逆矩阵，证明(AB)*= B* A*．
3．(7分)设A是实数域R上的一个m×n矩阵，X为R上的一个n×1矩阵，则AX=0的充要条件是AX=0.
4．(7分)设可由线性表示，且表示法唯一，证明线性无关。
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