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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。感谢,3,泰勒级数,设函数,f,(,z,)在区域,D,内解析,而|,z,-,z,0,|=,r,为,D,内以,z,0,为中心任何一个圆周,它与它内部全含于,D,把它记作,K,又设,z,为,K,内任一点.,z,0,K,z,r,z,1/32,按柯西积分公式,有,且,z,0,K,z,r,z,2/32,由解析函数高阶导数公式,上式可写成,在,K,内成立,即,f,(,z,)可在,K,内用幂级数表示.,q,与积分变量,z,无关,且0,q,1.,z,0,K,z,r,z,3/32,K,含于,D,f,(,z,)在,D,内解析,在,K,上连续,在,K,上有界,所以在,K,上存在正实数,M,使|,f,(,z,)|,M,.,所以,下面公式在,K,内成立:,称为,f,(,z,)在,z,0,泰勒展开式,它右端级数称为,f,(,z,)在,z,0,处泰勒级数.,4/32,圆周,K,半径能够任意增大,只要,K,在,D,内.所以,假如,z,0,到,D,边界上各点最短距离为,d,则,f,(,z,)在,z,0,泰勒展开式在圆域|,z,-,z,0,|,d,内成立.,定理,(泰勒展开定理),设,f,(,z,)在区域,D,内解析,z,0,为,D,内一点,d,为,z,0,到,D,边界上各点最短距离,则当|,z,-,z,0,|,d,时,注,：假如,f,(,z,)在,z,0,解析,则使,f,(,z,)在,z,0,泰勒展开式成立圆域半径,R,等于从,z,0,到,f,(,z,)距,z,0,最近一个奇点,a,距离,即,R,=|,a,-,z,0,|.,5/32,y,z,0,a,x,任何解析函数展开成幂级数结果就是泰勒级数,因而是,唯一,.,利用泰勒展开式,我们能够直接经过计算系数:,把,f,(,z,)在,z,0,展开成幂级数,这被称作,直接展开法,6/32,比如,求 e,z,在,z,=0处泰勒展开式,因为(e,z,),(,n,),=e,z,(e,z,),(,n,),|,z,=0,=1(,n,=0,1,2,.)，故有,因为e,z,在复平面内处处解析,上式在复平面内处处成立,收敛半径为+,.,一样,可求得sin,z,与cos,z,在,z,=0泰勒展开式:,7/32,除直接法外,也能够借助一些已知函数展开式,利用幂级数运算性质和分析性质,以唯一性为依据来得出一个函数泰勒展开式,此方法称为间接展开法.比如sin,z,在,z,=0泰勒展开式也能够用间接展开法得出:,解,因为函数有一奇点,z,=-,1,而在,|,z,|1,内处处解析,所以,可在,|,z,|1,内展开成,z,幂级数,.,因为,例,1,把函数 展开成,z,幂级数,.,8/32,例2,求对数函数主值ln(1+,z,)在,z,=0处幂级数展开式.,解,ln(1+,z,)在从,-,1向左沿负实轴剪开平面内是解析,-,1是它奇点,所以可在|z|1展开为,z,幂级数.,-,1,O,R,=1,x,y,9/32,推论,1,：,10/32,注：,推论,2,：,推论3:,幂级数和函数在其收敛圆周上最少有一个奇点.,(即使幂级数在其收敛圆周上处处收敛),11/32,比如：,推论4：,比如：,12/32,而假如把函数中,x,换成,z,在复平面内来看函数,1,-,z,2,+,z,4,-,它有两个奇点,i,而这两个奇点都在此函数展开式收敛圆周上,所以这个级数收敛半径只能等于1.所以,即使我们只关心,z,实数值,但复平面上奇点形成了限制.,在实变函数中有些不易了解问题,一到复变函数中就成为显然事情,比如在实数范围内,展开式,成立必须受|,x,|,R,1,时,即|,z,|,R,所以,只有在,R,1,|,z,-,z,0,|,R,2,圆环域,原级数才收敛.,15/32,z,0,R,1,R,2,比如级数,16/32,在收敛圆环域内也含有.比如,能够证实,上述级数在收敛域内其和函数是解析,而且能够逐项求积和逐项求导.,幂级数在收敛圆内许多性质,级数,现在反问,在圆环域内解析函数是否一定能够展开成幂级数?先看下例.,17/32,其次,在圆环域:0|,z,-,1|1内也能够展开为z-1幂级数:,1,O,x,y,18/32,定理,设,f,(,z,)在圆环域,R,1,|,z,-,z,0,|,R,2,内解析,则,C,为在圆环域内绕,z,0,任何一条正向简单闭曲线.,证,设,z,为圆环域内任一点,在圆环域内作以,z,0,为中心,正向圆周,K,1,与,K,2,K,2,半径,R,大于,K,1,半径,r,且使,z,在,K,1,与,K,2,之间.,R,1,R,2,z,r,K,1,z,R,K,2,z,z,0,19/32,由柯西积分公式得,R,1,R,2,z,r,K,1,z,R,K,2,z,z,0,20/32,所以有,21/32,假如在圆环域内取绕,z,0,任何一条正向简单闭曲线C,则依据闭路变形原理,这两个式子可用一个式子来表示:,C,z,0,R,1,R,2,22/32,称为函数,f,(,z,)在以,z,0,为中心圆环域:,R,1,|,z,-,z,0,|,R,2,内,洛朗(Laurent)展开式,它右端级数称为,f,(,z,)在此圆环域内,洛朗级数,.,一个在某圆环域内解析函数展开为含有正,负幂项级数是唯一,这个级数就是,f,(,z,)洛朗级数.,依据由正负整次幂项组成级数唯一性,普通能够用代数运算,代换,求导和积分等方法去展开,以求得洛朗级数展开式.,23/32,解：,函数,f,(,z,),在圆环域 i)0|,z,|1;ii)1|,z,|2;,iii)2|,z,|+,内是处处解析,应把,f,(,z,)在,这些区域内展开成洛朗级数.,x,y,O,1,x,y,O,1,2,x,y,O,2,24/32,先把,f,(,z,)用部分分式表示:,ii)在1|z|2内：,25/32,iii)在2|z|+,内:,例2,把函数,解,因有,26/32,函数能够在以,z,0,为中心(由奇点隔开)不一样圆环域内解析,因而在各个不一样圆环域中有不一样洛朗展开式(包含泰勒展开式作为它特例).我们不要把这种情形与洛朗展开式唯一性相混同.所谓洛朗展开式唯一性,是指函数在某一个给定圆环域内洛朗展开式是唯一.,27/32,比如在,z,=,i,和,z,=-,i,处展开函数 为洛朗级数。,在复平面内有两个奇点:,z,=0与,z,=-,i,分别在以,i,为中心圆周:|,z,-,i,|=1与|,z,-,i,|=2上.,所以,f,(,z,)在以,i,为中心圆环域(包含圆域)内展开式有三个:1)在|,z,-,i,|1中泰勒展开式;2)在1|,z,-,i,|2中洛朗展开式;3)在2|,z,-,i,|+,中洛朗展开式;,在复平面内有一个奇点:,z,=0在以-,i,为中心圆周:|,z,+,i,|=1上.,所以,f,(,z,)在以-,i,为中心圆环域内展开式有二个:,1)在0|,z,+,i,|1中洛朗展开式;2)在1|,z,+,i,|+,中洛朗展开式。,O,-,i,i,28/32,尤其，当洛朗级数系数公式,（即可利用,Laurent,系数计算积分）,其中,C,为圆环域,R,1,|,z,-,z,0,|,R,2,内任何一条简单闭曲线,f,(,z,)在此圆环域内解析.,例,解：,29/32,例,4,解：,故,c,-,1,=-,2,30/32,31/32,32/32,
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