北京市东城区2010-2011学年度第一学期期末教学统一检测高三数学理科.doc

东城区2010-2011学年度第一学期期末教学统一检测
高三数学 （理科）
学校_____________班级_______________姓名______________考号___________
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）若集合，，则
（A） （B）
（C） （D）
（2）在复平面内，复数对应的点在
（A）第一象限 （B）第二象限
（C）第三象限 （D）第四象限
（3）已知实数满足条件那么的最大值为
（A）-3 （B）-2
（C）1 （D）2
（4）已知，为不重合的两个平面，直线，那么“”是“”的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
（5）若，，，则
（A） （B）
（C） （D）
（6）直线与圆的位置关系为
（A）相交 （B）相切
（C）相离 （D）相交或相切
（7）已知△是等边三角形，且，，那么四边形的面积为
（A） （B）
（C） （D）
（8）已知函数的定义域为，若存在常数，对任意，有，则称为函数．给出下列函数：①；②；③；④是定义在上的奇函数，且满足对一切实数均有　．其中是函数的序号为
（A）②④　　　 （B）①③　　　
（C）③④ （D）①②
第Ⅱ卷（共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
（9）已知，且是第二象限角，则＝　　　　　　　．
（10）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 ．
6
4
正（主）视图
2
侧（左）视图
俯视图
2
2

（11）在数列中，若，且对任意的正整数都有，则的值为
　　　　　　．
（12）已知函数那么不等式的解集为 .
（13）已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，那么双曲线的离心率为 ；渐近线方程为 ．
（14）已知函数，在区间内任取两个实数，且，不等式恒成立，则实数的取值范围是　　　．
三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（15）（本小题共13分）
函数部分图象如图所示．
（Ⅰ）求的最小正周期及解析式；
（Ⅱ）设，求函数在区间
上的最大值和最小值．

（16）（本小题共13分）
已知数列的前项和，数列满足，且.
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）设数列的前项和为，且，证明：.

（17）（本小题共14分）
如图，正方形与梯形所在的平面互相垂直，，∥，，，为的中点．
（Ⅰ）求证：∥平面；
（Ⅱ）求证：平面平面；
（Ⅲ）求平面与平面所成锐二面角
的余弦值．

（18）（本小题共13分）
已知函数．
（Ⅰ）求函数在上的最小值；
（Ⅱ）若存在（为自然对数的底数，且）使不等式
成立，求实数的取值范围．

（19）（本小题共13分）
设分别为椭圆的左、右顶点，椭圆的长轴长为，且点在该椭圆上．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设为直线上不同于点的任意一点，若直线与椭圆相交于异于的点，证明：△为钝角三角形．

(20)(本小题共14分)
已知集合中的元素都是正整数，且，对任意的且，有．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求证：；
（Ⅲ）对于，试给出一个满足条件的集合．
东城区2010-2011学年度第一学期期末教学统一检测
高三数学参考答案 （理科）
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
（1）A （2）C （3）C （4）A
（5）D （6）D （7）B （8）C
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
（9） （10）
（11） （12）
（13） （14）
注：两个空的填空题第一个空填对得2分，第二个空填对得3分．
三、解答题（本大题共6小题，共80分）
（15）（共13分）
解：（Ⅰ）由图可得，，所以． …………2分
所以．
当时，，可得 ，
因为，所以． …………5分
所以的解析式为． ……………………6分
（Ⅱ）

． ………………………………10分
因为，所以．
当，即时，有最大值，最大值为；
当，即时，有最小值，最小值为．……13分
（16）（共13分）
（Ⅰ）解：当时，．
当时，．
当时，．
所以． ……………………………………………………3分
由，得，又，
所以是以为首项，为公比的等比数列．
所以．
所以．……………………………………………………6分
（Ⅱ）证明：
． ………9分
故

． ……………………………………12分
所以． ……………………………………………………13分
（17）（共14分）
（Ⅰ）证明：取中点，连结．
在△中，分别为的中点，
所以∥，且．
由已知∥，，
所以∥，且．
所以四边形为平行四边形．
所以∥．
又因为平面，且平面，
所以∥平面．………………………………………………4分
（Ⅱ）证明：在正方形中，．
又因为平面平面，且平面平面，
所以平面．
所以．
在直角梯形中，，，可得．
在△中，，所以．
所以平面．
又因为平面，
所以平面平面．…………………………………………9分
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知平面，且．
以为原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标系．
．
平面的一个法向量
为．
设为平面
的一个法向量，
因为，

所以，
令，得．
所以为平面的一个法向量．
设平面与平面所成锐二面角为．
则．
所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为．………14分
（18）（共13分）
解：（Ⅰ）由，可得， …………………2分
　　 当时，单调递减；
当时，单调递增．
所以函数在上单调递增．
又，
所以函数在上的最小值为． …………………6分
（Ⅱ）由题意知，则．
若存在使不等式成立，
只需小于或等于的最大值．
设，则．
当时，单调递减；
当时，单调递增．
由，，，
可得．
所以，当时，的最大值为．
故． …………………13分
（19）（共13分）
（Ⅰ）解：由题意：，所以．
所求椭圆方程为．
又点在椭圆上，可得．
所求椭圆方程为． …………………4分
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知：．
设，．
则直线的方程为：．
由得．
因为直线与椭圆相交于异于的点，
所以，所以．
由，得．
所以．
从而，．
所以．
又三点不共线，所以为钝角．
所以△为钝角三角形． …………………13分
（20）（共14分）
(Ⅰ) 证明：依题意有，又，
　　　　 因此．
　　　　 可得．
　　　　 所以．
　　　　 即． …………………4分
（Ⅱ）证明：由(Ⅰ)可得．
　　 又，可得，因此．
　　 同理，可知．
　　 又，可得，
　　 所以均成立．
　　 当时，取，则，
　　 可知．
　　 又当时，．
　　 所以． …………………9分
（Ⅲ）解：对于任意，，
由可知，
，即．
因此，只需对，成立即可．
因为；；；，
因此可设；；；；．
由，可得，取．
由，可得，取．
由，可得，取．
由，可得，取．
所以满足条件的一个集合．……………14分