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第十二讲
期末考试
一、 填空题（每题分，共分。如有两个空，只对一个给分）
1． 有个队参加篮球比赛，比赛分两个组，第一组七个队，第二组八个队，各组先进行单循环赛(即每队都要与其它各队比赛一场)，然后由各组的前三名共六个队再进行单循环赛决定冠亚军。问：共需比赛__________场。
【分析】 分三部分考虑，第一组预赛、第二组预赛和最后的决赛。第一组要赛(场)，第二组要赛(场)，决赛阶段要赛(场)，所以总场数为：
(场)。
2． 将前个自然数依次无间隔地写成一个位数：，从中划去个数字，那么剩下的位数最大是__________，最小是__________。
【分析】 在前个自然数中，共有个，再保留后面的“”，即得到最大数：；最小数的第一位是“”，再保留中的个“”，再在中留下个尽量小的数，即得最小数：。
3． 有一个展览会场如右图所示，共有个展室，每两个相邻的展室之间都有门相通，问__________（填能或不能）从入口进去，不重复地参观完所有的展室后从出口出来。
【分析】 黑白相间染色后发现，入口和出口都是黑色，但每次都是从黑格到白格或从白格到黑格，这样应是从黑格进去，白格出来，但出口也是白格，所以不可能。
4． 设自然数有下列性质：从、、…、中任取个不同的数，其中必有两数之差等于，这样的最大不能超过__________。
【分析】 当时，将、、…、按每组中两数的差为的规则分成组，所以当任取个数时，必有两个数在同一组，它们的差等于。当时，取上面每组中的前一个数，和，一共个数，而它们中任两个数的差不为。因此最大不能超过。
5． 小刚在纸条上写了一个四位数，让小明猜。小明问：“是吗?”小刚说：“猜对了个数字，且位置正确。”小明问：“是吗?”小刚说：“猜对了个数字，但位置都不正确。”小明问：“是吗?”小刚说：“猜对了个数字，但位置都不正确。”根据以上信息，可以推断出小刚所写的四位数__________。
【分析】 由两人的第三次问答可知小刚所写的四位数是由数字，，，组成的。因为数字在中出现，所以据小刚的第一次回答知四位数的千位数字就是。又数字在和中均出现过，且小刚说其位置均不正确，所以应该出现在个位。数字在中出现，但它的位置也不正确，所以只能在百位，进而是十位数字。综上所述，所求的四位数是。
6． 将这十二个自然数分别填入右图的个圆圈内，使得每条直线上的四个数之和都相等，这个相等的和为__________。
【分析】 由于每条直线上的四个数之和都相等，设这个相等的和为，把所有条直线上的四个数之和相加，得到总和为；另一方面，在这样相加中，由于每个数都恰好在两条直线上，所以每个数都被计算了两遍。所以，，得到，即所求的相等的和为。
7． 小红的书架上原来有本书，不重新排列，再放上本书，可以有 _______种不同的放法。
【分析】 （法）放第一本书时，有原来的本书之间和两端的书的外侧共个位置可以选择；放第二本书时，有已有的本书之间和两端的书的外侧共个位置可以选择。同样道理，放第三本书时，有个位置可以选择，放第四本书时，有个位置可以选择。由乘法原理，一共可以有种不同的放法。
8． 如右图，加法算式中，七个方格中的数字之和等于__________。
【分析】 个位之和为，十位之和为，百位之和为，和的千位为，所以七个方格中的数字之和为。
9． 现有一个袋子，里面装有种不同颜色的玻璃球，每种颜色的玻璃球各有个，则在这个袋子中至少要取出__________个玻璃球，才能保证取出的球至少有三种颜色，且有三种颜色的球都至少有个。
【分析】 要保证取出的球至少有三种颜色，至少应取个球；要保证取出的球中有三种颜色的球都至少有个，那么至少要取个球（否则两种颜色的球各取个、其余四种颜色的球各取个，共个，这样将无法取出的球中有三种颜色的球都至少有个），由于，所以至少要取出个球。
10． 如图⑴，对相邻的两格内的数同时加上或同时减去叫做一次操作。经过若干次操作后由图⑴变成图⑵，则图⑵中处的数是 __________。
【分析】 黑白相间染色，黑格与白格中的数字之和的差不变，所以。
二、 解答题（每题分，共分）
1. 右面式中每个口表示一个数字，那么乘积是多少？
【分析】 如右式，可知。由知，、中一个是，另一个是奇数。若，乘积的百位不可能是，所以。因为，所以或。若，则，从而，即 ，但不可能得到，不合题意；若，则，从而，即，由，得到。因为，，所以是偶数。由，得，原算式为。
2. 能否用个所示的卡片拼成一个的棋盘？
【分析】 不能。将的棋盘黑白相间染色，有个黑格。而每张卡片盖住的黑格数只能是或者，所以每张卡片盖住的黑格数是个奇数，张卡片盖住的黑格数之和也是奇数，不可能盖住个黑格。
3. 有一些小朋友排成一行，从左到右第一人发一块糖，以后每隔人发一块糖；从右到左第一人发一个苹果，以后每隔人发一个苹果，结果有个小朋友糖和苹果都拿到，那么这些小朋友最多有多少人？
【分析】 由题知，从左数每人中有人拿到糖，从右数每人中有一人拿到苹果，，所以每人中有人糖和苹果都拿到，由于共人糖和苹果都拿到，所以糖和苹果都拿到的小朋友中间的人数为：；在他们的左边，最多有人拿到糖，所以左边最多有人；在他们的右边，最多有人拿到苹果，所以右边最多有人；所以这些小朋友最多有人。
4. 第四届东亚男足邀请赛共有四支足球队进行单循环赛，即每两队之间都要进行一场比赛，每场比赛胜者得分，负者得分，平局两队各得分。比赛完成之后各队得分是四个连续的自然数，请计算出输给第一名的球队的得分是多少分？
【分析】 由于每场比赛胜者得分，负者得分，平局两队各得分，所以每场比赛两队的得分之和为分或者分，四支球队进行单循环赛，共进行场比赛，所以比赛完成之后各队总得分至少为分，最多为分，又各队得分是四个连续的自然数，而
，，，，所以各队得分只可能为,,,或者,,,。
如果四队得分为,,,，那么总得分为分，则每场比赛两队的得分之和都为分，即每一场比赛都不是平局，那么每一场比赛的两只队的得分都是的倍数（分或分），那么每支队的总得分也都是的倍数，而不可能出现有球队得分或分的情况，矛盾，所以四队得分不能为,,,，只能为,,,。
由于四队得分分别为,,,，所以第一名得分，只能是胜一队而平两队，则这场比赛中与第一名平局的两队各得分，输给第一名的队得分，由于这三支队共得分，所以三队彼此之间的场比赛共得分，而每场比赛共得分或分，所以只能为两场分，一场分，即这场比赛中有两场平局，只有一场分出了胜负。
如果分出胜负的这场比赛发生在平了第一名的两支队之间，则它们与输给第一名的那支队之间都是平局，则其中一支队在分出胜负的那场比赛中得到分，在与输给第一名的那支队的比赛中又得到分，这样它总共得到分，矛盾，所以平了第一名的两支队之间的比赛也是平局，输给第一名的那支队与这两支队的比赛一胜一平，它的得分为：，即输给第一名的球队的得分是分。
5． 某池塘中有三只游船，船可乘坐人，船可乘坐人，船可乘坐人，今有个成人和个儿童要分乘这些游船，为安全起见，有儿童乘坐的游船上必须至少有个成人陪同，那么他们人乘坐这三支游船的所有安全乘船方法共有多少种？
【分析】 由于有儿童乘坐的游船上必须至少有个成人陪同，所以儿童不能乘坐船。
⑴若这人都不乘坐船，则恰好坐满两船，①若两个儿童在同一条船上，只能在船上，此时船上还必须有个成人，有种方法；②若两个儿童不在同一条船上，即分别在两船上，则船上有个儿童和个成人，个儿童有种选择，个成人有种选择，所以有种方法。故人都不乘坐船有种安全方法；
⑵若这人中有人乘坐船，这个人必定是个成人，有种选择。其余的个成人与个儿童，①若两个儿童在同一条船上，只能在船上，此时船上还必须有个成人，有种方法，所以此时有种方法；②若两个儿童不在同一条船上，那么船上有个儿童和个成人，此时个儿童和个成人均有种选择，所以此种情况下有种方法；故人中有人乘坐船有种安全方法。
所以，共有种安全乘法。
三、 附加题（每题分，共分）
1. 现有三堆苹果，其中第一堆苹果个数比第二堆多，第二堆苹果个数比第三堆多。如果从每堆苹果中各取出个，那么在剩下的苹果中，第一堆个数是第二堆的三倍。如果从每堆苹果中各取出同样多个，使得第一堆还剩个，则第二堆所剩下的苹果数是第三堆的倍。问原来三堆苹果数之和的最大值是多少？
【分析】 设取出个后第二堆苹果数为个，那么原来第二堆苹果数为个，第一堆苹果数为个。从每堆苹果中各取出同样多个，使得第一堆还剩个，那么第二堆还剩（个），第三堆苹果还剩（个），所以第三堆原有苹果数为（个），原来三堆苹果数之和为
，可见越大，原来三堆苹果数之和也越大。由于各取出同样多个后，第三堆苹果至少还剩个，所以，得，即最大为，此时原来三堆苹果数之和为个，所以原来三堆苹果数之和的最大值是。
2. 用个的长方形能不能拼成一个的正方形？请说明理由。
【分析】 本题若用传统的自然染色法，不能解决问题。因为要用来覆盖，我们对正方形用四种颜色染色。为了方便起见，这里用、、、分别代表四种颜色。为了使每个长方形在任何位置盖住的都一样，我们采用沿对角线染色，如右图。这样，可以发现无论将长方形放于何处，盖住的必然是、、、各一个。要不重叠地拼出，需个长方形，则必然盖住、、、各个。但实际上图中一共是个、个、个、个，因而不可能用个长方形拼出正方形。
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