考点跟踪训练25梯形.doc

考点跟踪训练25　梯形
一、选择题　　　　　　　　　　　　　　　
1．(2011·武汉)如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AD＝DC＝CB，若∠ABD＝25°，则∠BAD的大小是(　　)

A．40° B．45° C．50° D．60°
答案　C
解析　∵AB∥DC，
∴∠ABD＝∠BDC＝25°.
∵CD＝CB，∴∠BDC＝∠DBC＝25°，
∴∠ABC＝∠ABD＋∠DBC＝50°.
∵AB∥BC，AD＝CB，
∴梯形ABCD是等腰梯形．
∴∠BAD＝∠ABC＝50°.

2．(2011·烟台)如图，小区的一角有一块形状为等腰梯形的空地，为了美化小区，社区居委会计划在空地上建一个四边形的水池，使水池的四个顶点恰好在梯形各边的中点上，则水池的形状一定是(　　)

A．等腰梯形 B．矩形
C．菱形 D．正方形
答案　C

解析　如图，连接AC、BD，因为梯形ABCD等腰梯形，所以AC＝BD.由三角形中位线定理，得EF綊AC，GH綊AC，所以EF綊GH，所以四边形EFGH是平行四边形．又FG＝BD，EF＝AC，所以EF＝FG，故▱EFGH是菱形．

3．(2011·烟台)如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点E、F、G分别是BD、AC、DC的中点．已知两底差是6，两腰和是12，则△EFG的周长是(　　)

A．8 B．9 C．10 D．12
答案　B
解析　连接AE并延长交DC于H，易证△ABE≌△HDE，AB＝DH，
∴CH＝CD－DH＝CD－AB＝6.
又∵点E、F、G分别为DB、AC、DC的中点，
∴EF＝CH＝×6＝3，EG＋FG＝BC＋AD＝(BC＋AD)＝×12＝6，
∴△EFG的周长＝EF＋EG＋FG＝3＋6＝9.

4．(2011·绵阳)如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC、BD相交于O，∠ABD＝30°，AC⊥BC, AB＝8 cm，则△COD的面积为(　　)

A. cm2 B. cm2 C. cm2 D. cm2
答案　A
解析　分别画CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别是E、F.在Rt△ABC中，∠BAC＝∠ABD＝30°，AB＝8，∴BC＝4，BD＝AC＝4 ，S△ABC＝AC·BC＝×4 ×4＝8 .
在Rt△BCO中，∠CBO＝30°，CB＝4，则OC＝ ，OB＝ ，S△BOC＝BC·OC＝×4× ＝ ，∴S△AOB＝8 － ＝ .∵AB∥CD，则△DCO∽△BAO，＝2＝，S△COD＝× ＝ .

5．(2011·福州)梯形ABCD中AB∥CD，∠ADC＋∠BCD＝90°，以AD、AB、BC为斜边均向形外作等腰直角三角形，其面积分别是S1、S2、S3 ，且S1＋S3＝4S2，则CD＝(　　)

A．2.5AB B．3AB C．3.5AB D．4AB
答案　B
解析　过B画BE∥AD交CD于E，则四边形ABED是平行四边形，AD＝BE，∠ADC＝BEC，∴∠BEC＋∠BCD＝∠ADC＋∠BCD＝90°，∴∠EBC＝90°，BE2＋BC2＝EC2.而S1＝AD2＝BE2，S2＝AB2＝DE2，S3＝BC2.又S1＋S3＝4S2，得BE2＋BC2＝4，BE2＋BC2＝4DE2，∴EC2＝4DE2，EC＝2DE，CD＝DE＋EC＝3DE＝3AB.
二、填空题

6．(2011·福州)如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，则∠A＋∠B＋∠C＝________度．

答案　270
解析　因为∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝360°，而∠C＝90°，所以∠A＋∠B＋∠C＝270°.

7．(2011·桂林)如图，等腰梯形ABCD中，AB∥DC，BE∥AD, 梯形ABCD的周长为26，DE＝4，则△BEC的周长为_________．

答案　18
解析　由AB∥DC，BE∥AD，得四边形ABED是平行四边形，AB＝DE＝4.又因为梯形ABCD的周长＝AB＋BC＋CD＋DA＝26，可知AD＋BC＋EC＝18，所以△BEC的周长＝BE＋EC＋BC＝AD＋EC＋BC＝18.

8．(2011·邵阳)如图所示，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝BC，AC⊥BC，∠B＝60°，BC＝2 cm，则上底DC的长是________cm.

答案　2
解　∵∠CAB＝90°－60°＝30°，
又∵在等腰梯形ABCD中，∠BAD＝∠B＝60°，
∴∠CAD＝∠BAD－∠BAC＝30°.
又∵CD∥AB，∴∠DCA＝∠CAB＝30°＝∠DAC.
∴CD＝AD＝BC＝2 cm.
9．(2011·连云港)一等腰梯形两组对边中点相连线段的平方和为8，则这个等腰梯形的对角线长为_______．
答案　2
解析　如图，易证四边形EGFH是菱形，在Rt△EOG中，EG2＝EO2＋GO2＝2＋2＝＝×8＝2，所以EG＝，又EG＝AC，所以AC＝2EG＝2 .

10．(2011·襄阳)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝6，BC＝16，E是BC的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动．当运动时间t＝________秒时，以点P、Q、E、D为顶点的四边形是平行四边形．

答案　2或
解析　当四边形PDQE是平行四边形时，PD＝QE，而PD＝6－t，QE＝8－2t，所以6－t＝8－2t，t＝2；当四边形PDEQ是平行四边形时，PD＝EQ，而PD＝6－t，EQ＝2t－8，所以6－t＝2t－8,3t＝14，t＝；综上，t＝2或t＝.
三、解答题
11．(2011·南充)如图，四边形ABCD是等腰梯形，AD∥BC，点E、F在BC上，且BE＝CF，连接DE、AF.
求证：DE＝AF.

解　证明：∵BE＝FC，
∴BE＋EF＝FC＋EF，即BF＝CE.
∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴AB＝DC，∠ B＝∠C.
在△DCE和△ABF中，

∴△DCE≌△ABF(SAS)．
∴DE＝AF.

12．(2011·菏泽)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，∠C＝45°，AD＝1，BC＝4, E为AB中点，EF∥DC交BC于点F, 求EF的长．

解　过点A作AG∥DC交BC于G，

∵AD∥BC，
∴四边形AGCD是平行四边形，
∴GC＝AD，
∴BG＝BC－AD＝4－1＝3.
在Rt△ABG中，
∠AGB＝∠C＝45°，AB＝BG.
∴AG＝＝＝＝3 .
∵EF∥DC∥AG，E是AB中点，
∴F是BG中点，
∴EF＝AG＝.

13．(2010·重庆)如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°.点E是DC的中点，过点E作DC的垂线交AB于点P，交CB的延长线于点M.点F在线段ME上，且满足CF＝AD，MF＝MA.
(1)若∠MFC＝120°，求证：AM＝2MB；
(2)求证：∠MPB＝90°－∠FCM.

解　证明：(1)如图，连接MD，

∵点E是DC的中点，EM⊥DC，
∴MD＝MC.
又∵AD＝CF，MF＝MA，
∴△AMD≌△FMC，
∴∠MAD＝∠MFC＝120°.
∵AD∥BC，∠ABC＝90°，
∴∠BAD＝90，°
∴∠MAB＝30°.
在Rt△AMB中，∠MAB＝30°，
∴BM＝AM，即AM＝2BM.
(2)∵△AMD≌△FMC，
∴∠ADM＝∠FCM，
∵AD∥BC，
∴∠ADM＝∠CMD.
∴∠CMD＝∠FCM.
∵MD＝MC，ME⊥DC，
∴∠DME＝∠CME＝∠CMD，
∴∠CME＝∠FCM，
∴在Rt△MBP中，∠MPB＝90°－∠CME＝90°－∠FCM.
14．(2011·南充)如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB＝CD＝2，∠C＝600，M是BC的中点．
(1)求证：△MDC是等边三角形；

(2)将△MDC绕点M旋转，当MD(即MD′)与AB交于一点E，MC即MC′)同时与AD交于一点F时，点E、F和点A构成△AEF.试探究△AEF的周长是否存在最小值？如果不存在，请说明理由；如果存在，请计算出△AEF周长的最小值．
解　(1)证明：过点D作DP⊥BC于点P，过点A作AQ⊥BC于点Q，
∵∠C＝∠B＝60°，
∴CP＝BQ＝AB，CP＋BQ＝AB.
又∵ADPQ是矩形，AD＝PQ，AD＝AB，故BC＝2AD.
由已知，点M是BC的中点，
∴BM＝CM＝AD＝AB＝CD,
∴在△MDC中，CM＝CD, ∠C＝60°，
故△MDC是等边三角形．

(2)解：△AEF的周长存在最小值，理由如下：
连接AM，由(1)得▱ABMD是菱形，△MAB, △MAD和△MC′D′是等边三角形，
∴∠BMA＝∠BME＋∠AME＝60°， ∠EMF＝∠AMF＋∠AME＝60°，
∴∠BME＝∠AMF.
在△BME与△AMF中，BM＝AM, ∠EBM＝∠FAM＝60°，∠BME＝∠AMF，
∴△BME≌△AMF(ASA)．
∴BE＝AF, ME＝MF，AE＋AF＝AE＋BE＝AB.
∵∠EMF＝∠DMC＝60°，
∴△EMF是等边三角形，EF＝MF.
∵MF的最小值为点M到AD的距离2·sin60°＝，
∴EF的最小值是，
∴△AEF的周长＝AE＋AF＋EF＝AB＋EF，
∴△AEF的周长的最小值为2＋.
15．(2011·杭州)在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，AB＝2BC＝2CD，对角线AC与BD相交于点O，线段OA、OB的中点分别为点E、F.

(1)求证：△FOE≌ △DOC；
(2)求sin∠OEF的值；
(3)若直线EF与线段AD、BC分别相交于点G、H，求的值．

解　(1)证明：∵E、F分别为线段OA、OB的中点，
∴EF∥AB，AB＝2EF.
∵AB＝2CD，∴EF＝CD.
∵AB∥CD，∴EF∥CD，
∴∠OEF＝∠OCD，∠OFE＝∠ODC，
∴△FOE≌ △DOC.
(2)在△ABC中，∵∠ABC＝90°，
∴AC＝＝＝BC，
sin∠CAB＝＝.
∵EF∥AB，∴∠OEF＝∠CAB，
∴sin∠OEF＝sin∠CAB＝.
(3)∵△FOE≌ △DOC，∴OE＝OC.
∵AE＝OE，∴AE＝OE＝OC，∴＝.
∵EF∥AB，∴△CEH∽△CAB，
∴＝＝，∴EH＝AB＝CD.
∵EF＝CD，∴EH＝EF，FH＝EF＝CD.
同理，GE＝CD，∴GH＝CD，
∴＝＝.