北京市海淀区2010-2011学年度第一学期期末教学统一检测高三数学文科.doc

海淀区高三年级第一学期期末练习
数 学 (文科) 2011.1

第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.
1．的值为
A． B． C． D．
2. 若等差数列的前项和为，且，则的值为
A. 12 B.11 C.10 D. 9
3. 设为两个不同的平面，直线，则“”是“”成立的
A．充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 某部门计划对某路段进行限速，为调查限速60 km/h是否合理，对通过该路段的300辆汽车的车速进行检测，将所得数据按40，50，，，分组，绘制成如图所示的频率分布直方图.则这300辆汽车中车速低于限速的汽车有
A.75辆 B.120辆 C.180辆 D.270辆
5.点在不等式组表示的平面区域内，
正视图
左视图
俯视图
则点到直线距离的最大值为
A. B. C. D.8
6. 一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体
积为
A．12 B．6 C． 4 D．2
7. 已知函数，
（），那么下面结论正确的是
A．在上是减函数 B. 在上是减函数
C. , D. ,
8. 已知椭圆：，对于任意实数，下列直线被椭圆所截弦长与：被椭圆所截得的弦长不可能相等的是
A． B． C． D．
二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上.
9. 若直线经过点（1，2）且与直线平行,则直线的方程为__________.

10.某程序的框图如图所示，执行该程序，若输入4，
则输出的S为 .

11．椭圆的右焦点的坐标为 .则顶点在原点的抛物线的焦点也为，则其标准方程为 .
12．在一个边长为1000米的正方形区域的每个顶点处设有一个监测站，若向此区域内随机投放一个爆破点，则爆破点距离监测站200米内都可以被检测到.那么随机投入一个爆破点被监测到的概率为_______.
13已知向量.若与垂直, 则.

14．在平面直角坐标系中，为坐标原点.定义、两点之间的“直角距离”为为. 若点，则= ；
已知，点M为直线上动点，则的最小值为 .
三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.
15．（本小题满分13分）
设函数，.
（I）求函数的周期和值域；
（II）记的内角的对边分别为，若 且，
求角的值.

16. （本小题满分13分）
某学校三个社团的人员分布如下表（每名同学只参加一个社团）

围棋社
戏剧社
书法社
高中
45
30

初中
15
10
20

学校要对这三个社团的活动效果进行抽样调查，按分层抽样的方法从社团成员中抽取30人，结果围棋社被抽出12人.
(I) 求这三个社团共有多少人？
(II) 书法社从3名高中和2名初中成员中，随机选出2人参加书法展示，求这2人中初、高中学生都有的概率.

17. （本小题满分13分）
如图，棱柱ABCD—的底面为菱形 ，，侧棱⊥BD,点F为的中点．
（I） 证明：平面；
（II）证明：平面平面.

18. （本小题满分13分）
已知函数其中.
（I）若曲线在处的切线与直线平行，求的值；
（II）求函数在区间上的最小值.
19. （本小题满分14分）
已知圆,点为直线上的动点.
(I)若从到圆的切线长为，求点的坐标以及两条切线所夹劣弧长；
（II）若点，直线与圆的另一个交点分别为,求证:直线经过定点.

20. （本小题满分14分）
已知集合.对于A的一个子集S，若存在不大于的正整数m，使得对于S中的任意一对元素，都有，则称S具有性质P.
（Ⅰ）当时，试判断集合和是否具有性质P？并说明理由.
(II)若集合具有性质P，试判断集合 )是否一定具有性质P？并说明理由.

海淀区高三年级第一学期期末练习
数 学（文）
答案及评分参考 2011．1
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）
题号

1
2
3
4
5
6
7
8
答案

C
A
A
C
B
D
B
D
第II卷（非选择题 共110分）
二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 共30分.有两空的题目，第一空3分，第二空2分）
9. 10. 19 11.
12. 13. 14. 4 3
三、解答题(本大题共6小题,共80分)
15．（共13分）
解：（I） ， ............................... 3分
的周期为 （或答:）. ................................4分
因为，所以,
所以值域为 . ...............................5分
（II）由（I）可知， , ...............................6分
, ...............................7分
,
, ..................................8分
得到 . ...............................9分
且 , ....................................10分
, , ....................................11分
， . ....................................12分
. ....................................13分
16. （共13分）
解：（I）围棋社共有60人， ...................................1分
由可知三个社团一共有150人. ...................................3分
（II）设初中的两名同学为，高中的3名同学为, ...................................5分
随机选出2人参加书法展示所有可能的结果:
，共10个基本事件. ..................................8分
设事件表示“书法展示的同学中初、高中学生都有”， ..................................9分
则事件共有 6个基本事件.
...................................11分
.
故参加书法展示的2人中初、高中学生都有的概率为. ................................13分
17. （共13分）
解：（I）四边形ABCD为菱形且，
是的中点 . ...................................2分
又点F为的中点,
在中，, ...................................4分
平面，平面 ,
平面 . ...................................6分
（II）四边形ABCD为菱形,
, ...................................8分
又，且平面 ,.................................10分
平面, ................................11分
平面 ,
平面平面. ................................13分
18. （共13分）
解：，. .........................................2分
（I）由题意可得，解得， ........................................3分
此时，在点处的切线为，与直线平行.
故所求值为1. ........................................4分
（II）由可得，， ........................................ 5分
①当时，在上恒成立 ，
所以在上递增， .....................................6分
所以在上的最小值为 . ........................................7分
②当时，

－
0
....................................10分
＋

极小

由上表可得在上的最小值为 . ......................................11分
③当时，在上恒成立，
所以在上递减 . ......................................12分
所以在上的最小值为 . .....................................13分
综上讨论，可知：
当时， 在上的最小值为；
当时，在上的最小值为；
当时，在上的最小值为.
19. （共14分）
解：根据题意，设 .
(I)设两切点为，则，
由题意可知即 ， ............................................2分
解得，所以点坐标为. ...........................................3分
在中，易得，所以. ............................................4分
所以两切线所夹劣弧长为. ...........................................5分
（II）设，，
依题意，直线经过点，
可以设， ............................................6分
和圆联立，得到 ，
代入消元得到， ， ......................................7分
因为直线经过点，所以是方程的两个根，
所以有， ， ..................................... 8分
代入直线方程得，. ..................................9分
同理，设，联立方程有 ，
代入消元得到，
因为直线经过点，所以是方程的两个根，
， ，
代入得到 . .....................11分
若，则，此时
显然三点在直线上，即直线经过定点............................12分
若，则，，
所以有， ................13分
所以， 所以三点共线，
即直线经过定点.
综上所述，直线经过定点. .......................................14分

20. （共14分）
解：（Ⅰ）当时，集合，
不具有性质. ...................................1分
因为对任意不大于10的正整数m，
都可以找到集合中两个元素与，
使得成立 . ...................................3分
集合具有性质. ....................................4分
因为可取，对于该集合中任意一对元素，
都有 . ............................................6分
（Ⅱ）若集合S具有性质，那么集合一定具有性质. ..........7分
首先因为，任取 其中，
因为，所以，
从而，即所以 ...........................8分
由S具有性质，可知存在不大于的正整数m，
使得对S中的任意一对元素，都有 ， ..................................9分
对上述取定的不大于的正整数m，
从集合中任取元素，
其中， 都有 ；
因为，所以有，即
所以集合具有性质． .............................14分

说明：其它正确解法按相应步骤给分.

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