【复变函数】-ppt--上.ppt

1复变函数与积分变换（复变函数与积分变换（复变函数与积分变换（复变函数与积分变换（B B）复变函数复变函数复变函数复变函数(四版四版四版四版)清华大学清华大学清华大学清华大学 数学教研室数学教研室 编编2013-2014学年第一学期学年第一学期教材教材22013年9月3日第一章 复数与复变函数3对对 象象复变函数（自变量为复数的函数）复变函数（自变量为复数的函数）主要任务主要任务研究复变数之间的相互依赖关系，研究复变数之间的相互依赖关系，具体地就是复数域上的微积分具体地就是复数域上的微积分主要内容主要内容复变函数的积分、级数、留数、复变函数的积分、级数、留数、共形映射、傅立叶变换和拉普共形映射、傅立叶变换和拉普拉斯变换等拉斯变换等复数与复变函数、解析函数、复数与复变函数、解析函数、4学习方法复变函数中许多概念、理论、和复变函数中许多概念、理论、和方法是实变函数在复数域内的推方法是实变函数在复数域内的推广和发展，它们之间有许多相似广和发展，它们之间有许多相似之处之处.但又有不同之处，在学习但又有不同之处，在学习中要善于比较、区别、特别要注中要善于比较、区别、特别要注意复数域上特有的性质与结果意复数域上特有的性质与结果5背景背景十六世纪十六世纪,在解代数方程时引进在解代数方程时引进复数复数为使负数开方有意义，需要扩大数系，使实数域扩为使负数开方有意义，需要扩大数系，使实数域扩大到复数域大到复数域在十八世纪以前，对复数的概念及性质了解得不清在十八世纪以前，对复数的概念及性质了解得不清楚，用它们进行计算又得到一些矛盾楚，用它们进行计算又得到一些矛盾.在历史上长时在历史上长时期人们把复数看作不能接受的期人们把复数看作不能接受的“虚数虚数”直到十八世纪，直到十八世纪，J.DJ.DAlembert(1717-1783)Alembert(1717-1783)与与L.Euler(1707-1783)L.Euler(1707-1783)等人逐步阐明了复数的几何意等人逐步阐明了复数的几何意义和物理意义，澄清了复数的概念义和物理意义，澄清了复数的概念应用复数和复变函数研究了流体力学等方面的一些应用复数和复变函数研究了流体力学等方面的一些问题问题.复数被广泛承认接受，复变函数论顺利建立和复数被广泛承认接受，复变函数论顺利建立和发展发展.6十九世纪奠定十九世纪奠定复变函数的理论基础复变函数的理论基础三位代表人物三位代表人物:A.L.Cauchy A.L.Cauchy（1789-1866)1789-1866)K.Weierstrass(1815-1897)K.Weierstrass(1815-1897)分别应用积分和级数研分别应用积分和级数研究复变函数究复变函数G.F.B.Riemann(1826-1866)G.F.B.Riemann(1826-1866)研究复变函数的映照性研究复变函数的映照性质质通过他们的努力，复变函数形成了非常系统的理论，通过他们的努力，复变函数形成了非常系统的理论，且渗透到了数学的许多分支，同时，它在热力学，流且渗透到了数学的许多分支，同时，它在热力学，流体力学和电学等方面也得到了很多的应用体力学和电学等方面也得到了很多的应用.7&1.1.复数的概念复数的概念复数的概念复数的概念&2.2.代数运算代数运算代数运算代数运算&3.3.共轭共轭共轭共轭复数复数复数复数1 1复数及其代数运算复数及其代数运算8A 一般一般,任意两个复数不能比较大小任意两个复数不能比较大小.1.复数的概念复数的概念 定义定义 对任意两实数对任意两实数x、y,称称 z=x+iy或或z=x+yi为为复数复数.复数复数z 的实部的实部 Re(z)=x;虚部虚部 Im(z)=y.(real part)(imaginary part)复数的模复数的模 判断复数相等判断复数相等9定义定义 z1=x1+iy1与与z2=x2+iy2的和、差、积和商为：的和、差、积和商为：z1z2=(x1x2)+i(y1y2)z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2-y1y2)+i(x2y1+x1y2)2.代数运算代数运算四则运算四则运算四则运算四则运算10z1+z2=z2+z1；z1z2=z2z1；(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)；z1(z2z3)=(z1z2)z3；z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.运算规律运算规律复数的运算满足交换律、结合律、分配律复数的运算满足交换律、结合律、分配律.（与实数相同与实数相同）即，）即，11共轭复数的性质共轭复数的性质3.共轭复数共轭复数定义定义 若若z=x+iy,称称 z=x-iy 为为z 的共轭复数的共轭复数.(conjugate)1213&1.1.点的表示点的表示点的表示点的表示&2.2.向量表示法向量表示法向量表示法向量表示法&3.3.三角表示法三角表示法三角表示法三角表示法&4.4.指数表示法指数表示法指数表示法指数表示法2 复数的表示方法复数的表示方法141.点的表示点的表示点的表示：点的表示：A 数数z z与点与点z z同义同义.152.向量表示法向量表示法A oxy(z)P(x,y)xy 称向量的长度为复数称向量的长度为复数z=x+iy的的模模或或绝对值绝对值；以正实轴以正实轴 为始边为始边,以以 为终边的角的为终边的角的弧度数弧度数 称为复数称为复数z=x+iy的的辐角辐角.(z0时时)16辐角无穷多：辐角无穷多：Arg z=0+2k，kZ，把其中满足把其中满足 的的0称为辐角称为辐角Argz的主值，的主值，记作记作0=argz.A z=0z=0时，辐角不确定时，辐角不确定.计算计算argz(z0)的公式的公式17A 当当z z落于一落于一,四象限时，不变四象限时，不变.A 当当z z落于第二象限时，加落于第二象限时，加 .A 当当z z落于第三象限时，减落于第三象限时，减 .18192021oxy(z)z1z2 z1+z2z2-z1由向量表示法知由向量表示法知3.三角表示法三角表示法4.指数表示法指数表示法2223引进复数的几何表示，可将平面图形用复数方程引进复数的几何表示，可将平面图形用复数方程（或不等式）表示；反之，也可由给定的复数方（或不等式）表示；反之，也可由给定的复数方程（或不等式）来确定它所表示的平面图形程（或不等式）来确定它所表示的平面图形.例例1 用复数方程表示用复数方程表示:（1）过两点）过两点 zj=xj+iyj (j=1,2)的直线；的直线；（2）中心在点）中心在点(0,-1),半径为半径为2的圆的圆.oxy(z)Lz1z2z解解（1）z=z1+t(z2-z1)（-t 0为半径的为半径的圆圆|z-z 0|(或或 0|z z 0|0,对任意对任意 z D,均有均有zG=z|z|R，则，则D是有界是有界区域区域；否则无界；否则无界.闭区域闭区域 区域区域D与它的边界一起构成闭区域与它的边界一起构成闭区域,45462.简单曲线（或简单曲线（或Jardan曲线曲线)令令z(t)=x(t)+iy(t)atb;则曲线方程可记为：则曲线方程可记为：z=z(t)，atb有限条光滑曲线相连接构成一条分段光滑曲线有限条光滑曲线相连接构成一条分段光滑曲线.47重点重点 设连续曲线设连续曲线C：z=z(t)，atb，对于对于t1(a，b),t2 a,b,当当t1t2时，若时，若z(t1)=z(t2)，称称z(t1)为曲线为曲线C的重点的重点.定义定义 称称没有重点没有重点的连续曲线的连续曲线C为简单曲线或为简单曲线或 Jardan曲线曲线;若简单曲线若简单曲线C 满足满足z(a)=z(b)时，则称时，则称此曲线此曲线C是简单是简单闭闭曲线或曲线或Jordan闭闭曲线曲线.z(a)=z(b)简单闭曲线简单闭曲线z(t1)=z(t2)不是简单闭曲线不是简单闭曲线483.单连通域与多连通域单连通域与多连通域简单闭曲线的性质简单闭曲线的性质 任一条简单闭曲线任一条简单闭曲线 C：z=z(t)，ta，b，把复，把复平面唯一地分成三个互不相交的部分：一个是有平面唯一地分成三个互不相交的部分：一个是有界区域，称为界区域，称为C的内部；一个是无界区域，称为的内部；一个是无界区域，称为C的外部；还有一个是它们的公共边界的外部；还有一个是它们的公共边界.z(a)=z(b)Cz(a)=z(b)内部内部外部外部边界边界定义定义 复平面上的一个区域复平面上的一个区域 B，如果如果B内的任何简单闭曲线的内的任何简单闭曲线的内部总在内部总在B内内，就称，就称 B为单连通为单连通域；非单连通域称为多连通域域；非单连通域称为多连通域.49例如例如|z|0）是单连通的；）是单连通的；0r|z|R是多连通的是多连通的.单连通域单连通域多连通域多连通域多连通域多连通域单连通域单连通域50作业P31 1（）（），（）（）（），（）（），（）（）（）（）（）（）51525354&1.复变函数的定义复变函数的定义&2.映射的概念映射的概念&3.反函数或逆映射反函数或逆映射5 复变函数复变函数1.复变函数的定义复变函数的定义与实变函数定义相类似与实变函数定义相类似定义定义A 例例1例例2oxy(z)Gouv(w)GG*w=f(z)在几何上，在几何上，w=f(z)可以看作：可以看作：定义域定义域函数值集合函数值集合 2.映射的概念映射的概念复变函数的几何意义复变函数的几何意义zw=f(z)wA 以下不再区分函数与映射（变换）以下不再区分函数与映射（变换）.A 在复变函数中用两个复平面上点集之间的在复变函数中用两个复平面上点集之间的 对应关系来表达两对变量对应关系来表达两对变量 u，v 与与 x，y 之间的对应关系，以便在研究和理解复变之间的对应关系，以便在研究和理解复变 函数问题时，可借助于几何直观函数问题时，可借助于几何直观.复变函数的几何意义是一个映射（变换）复变函数的几何意义是一个映射（变换）例例3解解关于实轴对称的一个映射关于实轴对称的一个映射见图见图1-11-2旋转变换旋转变换(映射映射)见图见图2例例4解解oxy(z)x、uy、v(z)、(w)ox、uy、v(z)、(w)o图图1-1图图1-2图图2uv(w)o例例5oxy(z)ouv(w)oxy(z)ouv(w)R=2R=4 3.反函数或逆映射反函数或逆映射例例 设设 z=w2 则称则称 为为z=w2的反函数或逆映射的反函数或逆映射定义定义 设设 w=f(z)的定义集合为的定义集合为G,函数值集合为函数值集合为G*则称则称z=(w)为为w=f(z)的反函数（的反函数（逆映射逆映射）.例例 已知映射已知映射w=z3，求区域，求区域 0argz 在平面在平面w上的象上的象.例例2008.10.8(第三次课)&1.函数的极限函数的极限&2.运算性质运算性质&3.函数的连续性函数的连续性6 复变函数的极限与连续性复变函数的极限与连续性1.函数的极限函数的极限定义定义uv(w)oAxy(z)o几何意义几何意义:当变点当变点z一旦进一旦进入入z0 的充分小去的充分小去心邻域时心邻域时,它的象它的象点点f(z)就落入就落入A的的一个预先给定的一个预先给定的邻域中邻域中A (1)(1)意义中意义中 的方式是任意的的方式是任意的.与一元实变函数相比较要求更高与一元实变函数相比较要求更高.(2)A是复数是复数.2.运算性质运算性质复变函数极限与其实部和虚部极限的关系：复变函数极限与其实部和虚部极限的关系：定理定理1(3)若若f(z)在在 处有极限处有极限,其极限其极限是唯一的是唯一的.定理定理2A 以上定理用极限定义证以上定理用极限定义证!例例1例例2例例33.函数的连续性函数的连续性定义定义定理定理3例例4 证明证明f(z)=argz在原点及负实轴上不连续在原点及负实轴上不连续.证明证明xy(z)ozz 定理定理4 连续函数的和、差、积、商连续函数的和、差、积、商(分母不为分母不为0)仍为连续函数仍为连续函数;连续函数的复合函数仍为连续函数连续函数的复合函数仍为连续函数.有界性：有界性：第二章第二章第二章第二章 解析函数解析函数解析函数解析函数&第一节第一节第一节第一节 解析函数的概念解析函数的概念解析函数的概念解析函数的概念&第二节第二节第二节第二节 函数解析的充要条件函数解析的充要条件函数解析的充要条件函数解析的充要条件&第三节第三节第三节第三节 初等函数初等函数初等函数初等函数&1.1.复变函数的导数定义复变函数的导数定义复变函数的导数定义复变函数的导数定义&2.2.解析函数的概念解析函数的概念解析函数的概念解析函数的概念2.1 解析函数的概念解析函数的概念 一一.复变函数的导数复变函数的导数(1)导数定义导数定义定义定义 设函数设函数w=f(z)zD,且且z0、z0+zD，如果极限如果极限 存在，则称函数存在，则称函数f(z)在点在点z0处可导处可导.称此极限值为称此极限值为f(z)在在z0的导数，的导数，记作记作 如果如果w=f(z)在区域在区域D内处处可导，则称内处处可导，则称f(z)在区域在区域D内可导内可导.A (1)(1)z z00是在平面区域上以任意方式趋于零是在平面区域上以任意方式趋于零.A (2)(2)z=z=x+iy,x+iy,z=z=x+iy,f=f(z+z)-f(z)x+iy,f=f(z+z)-f(z)例例1(2)求导公式与法则求导公式与法则 常数的导数常数的导数 c=(a+ib)=0.(zn)=nzn-1 (n是自然数是自然数).证明证明 对于复平面上任意一点对于复平面上任意一点z0，有，有-实函数中求导法则的推广实函数中求导法则的推广 设函数设函数f(z),g(z)均可导，则均可导，则 f(z)g(z)=f (z)g(z)，f(z)g(z)=f (z)g(z)+f(z)g(z)复合函数的导数复合函数的导数(f g(z)=f (w)g(z)，其中其中w=g(z).反函数的导数反函数的导数 ，其中，其中:w=f(z)与与z=(w)互为单值的反函数，且互为单值的反函数，且(w)0.例例3 问：函数问：函数f(z)=x+2yi是否可导？是否可导？例例2解解解解例例4 证明证明 f(z)=zRez只在只在z=0处才可导处才可导.证明证明A (1)(1)复变函数在一点处可导，要比实函数复变函数在一点处可导，要比实函数 在一点处可导要求高得多，也复杂得在一点处可导要求高得多，也复杂得 多，这是因为多，这是因为z z00是在平面区域上是在平面区域上 以任意方式趋于零的原故以任意方式趋于零的原故.(2)(2)在高等数学中要举出一个处处连续，在高等数学中要举出一个处处连续，但处处不可导的例题是很困难的但处处不可导的例题是很困难的,但在复变函数中，却轻而易举但在复变函数中，却轻而易举.(3)可导与连续可导与连续若若 w=f(z)在点在点 z0 处可导处可导 w=f(z)点点 z0 处连续处连续.?2.4 解析函数解析函数1.解析函数的概念解析函数的概念定义定义 如果函数如果函数w=f(z)在在z0及及z0的某个邻域内处处的某个邻域内处处 可导，则称可导，则称f(z)在在z0解析；解析；如果如果f(z)在区域在区域D内每一点都解析，则称内每一点都解析，则称 f(z)在在D内解析，或称内解析，或称f(z)是是D内的解析函数内的解析函数 (全纯函数或正则函数）全纯函数或正则函数）.如果如果f(z)在点在点z0不解析，就称不解析，就称z0是是f(z)的的奇点奇点.A (1)w=f(z)在在 D 内解析内解析 在在D内可导内可导.(2)函数函数f(z)在在 z0 点可导，未必在点可导，未必在z0解析解析.例如例如(1)w=z2 在整个复平面处处可导，故是整个复平面在整个复平面处处可导，故是整个复平面 上的解析函数；上的解析函数；(2)w=1/z，除去，除去z=0点外，是整个复平面上的解析点外，是整个复平面上的解析 函数；函数；(3)w=zRez 在整个复平面上处处不解析在整个复平面上处处不解析(见例见例4).定理定理1 设设w=f(z)及及w=g(z)是区域是区域D内的解析函数，内的解析函数，则则 f(z)g(z)，f(z)g(z)及及 f(z)g(z)(g(z)0时时)均是均是D内的解析函数内的解析函数.定理定理 2 设设 w=f(h)在在 h 平面上的区域平面上的区域 G 内解析内解析,h=g(z)在在 z 平面上的区域平面上的区域 D 内解析内解析,h=g(z)的函数值的函数值集合集合 G，则复合函数，则复合函数w=f g(z)在在D内处处解析内处处解析.调和函数调和函数 在在6 6我们证明了在我们证明了在D内的解析函数内的解析函数,其导数其导数仍为解析函数仍为解析函数,所以解析函数有任意阶导数所以解析函数有任意阶导数.本节本节利用这一重要结论研究解析函数与调和函数之间利用这一重要结论研究解析函数与调和函数之间的关系的关系.内内 容容 简简 介介7 解析函数与调和函数的关系解析函数与调和函数的关系定义定义定理定理证明：证明：设设f(z)=u(x,y)+i v(x,y)在区域在区域D内解析，则内解析，则即即u及及v 在在D内满足拉普拉斯内满足拉普拉斯(Laplace)方程方程:定义定义上面定理说明：上面定理说明：由解析的概念得：由解析的概念得：现在研究反过来的问题：现在研究反过来的问题：如如定理定理A 公式不用强记！可如下推出：公式不用强记！可如下推出：类似地，类似地，然后两端积分得，然后两端积分得，A 调和函数在流体力学和电磁场理论等实际调和函数在流体力学和电磁场理论等实际问题中都有重要应用问题中都有重要应用.本节介绍了调和函数与解本节介绍了调和函数与解析函数的关系析函数的关系.例例1解解曲线积分法曲线积分法故故A 又解又解凑凑全全微微分分法法又解又解偏偏积积分分法法又解又解不不定定积积分分法法第八次课11月12日&1.解析函数的充要条件解析函数的充要条件&2.举例举例2 函数解析的充要条件函数解析的充要条件 如果复变函数如果复变函数 w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在定在定义域义域 D内处处可导，则函数内处处可导，则函数 w=f(z)在在 D内解析内解析.本节从函数本节从函数 u(x,y)及及 v(x,y)的可导性，探求的可导性，探求函数函数w=f(z)的可导性，从而给出判别函数解析的的可导性，从而给出判别函数解析的一个充分必要条件，并给出解析函数的求导方法一个充分必要条件，并给出解析函数的求导方法.问题问题 如何判断函数的解析性呢？如何判断函数的解析性呢？一一.解析函数的充要条件解析函数的充要条件A 记忆记忆定义定义 方程方程称为称为Cauchy-Riemann方程方程(简称简称C-R方程方程).2008.10.15第四次课定理定理1 设设 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在在 D 内有定义，内有定义，则则 f(z)在点在点 z=x+iy D处可导的充要条件是处可导的充要条件是 u(x,y)和和 v(x,y)在点在点(x,y)可微，且满足可微，且满足 Cauchy-Riemann方程方程上述条件满足时上述条件满足时,有有证明证明（由由f(z)的可导的可导 C-R方程满足上面已证！只须证方程满足上面已证！只须证 f(z)的可导的可导 函数函数 u(x,y)、v(x,y)可微可微）.函数函数 w=f(z)点点 z可导，即可导，即则则 f(z+z)-f(z)=f (z)z+(z)z (1),且且u+iv=(a+ib)(x+iy)+(1+i 2)(x+iy)=(ax-by+1x-2y)+i(bx+ay+2x+1y)令：令：f(z+z)-f(z)=u+iv，f (z)=a+ib，(z)=1+i 2 故（故（1）式可写为）式可写为因此因此 u=ax-by+1x-2y,v=bx+ay+2x+1y所以所以u(x,y)，v(x,y)在点在点(x,y)处可微处可微.（由函数（由函数u(x,y),v(x,y)在点在点(x,y)处可微及满足处可微及满足 C-R方程方程 f(z)在点在点z=x+iy处可导）处可导）u(x，y)，v(x，y)在在(x，y)点可微，即：点可微，即：定理定理2 函数函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在在D内解析充要内解析充要 条件是条件是 u(x,y)和和 v(x,y)在在D内内可微，且可微，且 满足满足Cauchy-Riemann方程方程A 由此可以看出可导函数的实部与虚部有密切的由此可以看出可导函数的实部与虚部有密切的联系联系.当一个函数可导时当一个函数可导时,仅由其实部或虚部就可以仅由其实部或虚部就可以求出导数来求出导数来.A 利用该定理可以判断那些函数是不可导的利用该定理可以判断那些函数是不可导的.使用时使用时:i)判别判别 u(x,y)，v(x,y)偏导数的连续性，偏导数的连续性，ii)验证验证C-R条件条件.iii)求导数求导数：A 前面我们常把复变函数看成是两个实函数拼成的前面我们常把复变函数看成是两个实函数拼成的,但是求复变函数的导数时要注意但是求复变函数的导数时要注意,并不是两个实函并不是两个实函数分别关于数分别关于x,y求导简单拼凑成的求导简单拼凑成的.二二.举例举例例例1 判定下列函数在何处可导，在何处解析：判定下列函数在何处可导，在何处解析：解解(1)设设z=x+iy w=x-iy u=x,v=-y 则则解解(2)f(z)=ex(cosy+isiny)则则 u=excosy,v=exsiny仅在点仅在点z=0处满足处满足C-R条件，故条件，故解解(3)设设z=x+iy w=x2+y2 u=x2+y2,v=0 则则例例2 求证函数求证函数证明证明 由于在由于在z0处，处，u(x,y)及及v(x,y)都是可微函数，都是可微函数，且满足且满足C-R条件：条件：故函数故函数w=f(z)在在z0处解析，其导数为处解析，其导数为例例3 证明证明例例4 如果如果f(z)=u(x,y)+i v(x,y)是一解析函数，是一解析函数，且且f (z)0，那么曲线族，那么曲线族u(x,y)=C1，v(x,y)=C2必互相正交，这里必互相正交，这里C1、C2常数常数.那么在曲线的交点处，那么在曲线的交点处，i)uy、vy 均不为零时，均不为零时，由隐函数求导法则知曲线族由隐函数求导法则知曲线族 u(x,y)=C1，v(x,y)=C2中任一条曲线的斜率分别为中任一条曲线的斜率分别为 解解利用利用C-R方程方程 ux=vy,uy=-vx 有有k1k2=(-ux/uy)(-vx/vy)=-1，即：两族曲线互相正交，即：两族曲线互相正交.ii)uy，vy中有一为零时，不妨设中有一为零时，不妨设uy=0，则，则k1=，k2=0（由（由C-R方程）方程）即：两族曲线在交点处的切线一条是水平的，另即：两族曲线在交点处的切线一条是水平的，另一条是铅直的一条是铅直的,它们仍互相正交它们仍互相正交.练习练习:a=2,b=-1,c=-1,d=2&1.指数函数指数函数&2.三角函数和双曲函数三角函数和双曲函数&3.对数函数对数函数&4.乘幂与幂函数乘幂与幂函数&5.反三角函数与反双曲函数反三角函数与反双曲函数3 初等函数初等函数 本节将实变函数的一些常用的初等函数本节将实变函数的一些常用的初等函数本节将实变函数的一些常用的初等函数本节将实变函数的一些常用的初等函数推广到复变函数情形，研究这些初等函数的推广到复变函数情形，研究这些初等函数的推广到复变函数情形，研究这些初等函数的推广到复变函数情形，研究这些初等函数的性质，并说明它们的解析性性质，并说明它们的解析性性质，并说明它们的解析性性质，并说明它们的解析性.内内 容容 简简 介介一一.指数函数指数函数它与实变指数函数有类似的性质它与实变指数函数有类似的性质：定义定义A 这个性质是实变指数函数所没有的这个性质是实变指数函数所没有的.A 例例1例例2二二.三角函数和双曲函数三角函数和双曲函数推广到复变数情形推广到复变数情形定义定义q正弦与余弦函数的性质正弦与余弦函数的性质思考题：由正弦和余弦函数的定义得由正弦和余弦函数的定义得其它三角函数的定义其它三角函数的定义(详见详见P51)定义定义称为双曲正弦和双曲余弦函数称为双曲正弦和双曲余弦函数q双曲正弦和双曲余弦函数的性质双曲正弦和双曲余弦函数的性质三三.对数函数对数函数定义定义 指数函数的反函数称为对数函数指数函数的反函数称为对数函数.即，即，(1)对数的定义对数的定义故故特别特别A 2008.10.22第五次课(2)对数函数的性质对数函数的性质见见1-6例例1例例4四四.乘幂乘幂 与幂函数与幂函数 q 乘幂乘幂ab定义定义A 多值多值一般为多值一般为多值q支支(2)当当b=1/n(n正整数正整数)时时，乘幂乘幂ab与与a 的的 n次根意义一致次根意义一致.A (1)当当b=n(正整数正整数)时时，乘幂乘幂ab与与a 的的n次幂次幂 意义一致意义一致.解解例例5q 幂函数幂函数zb定义定义当当b=n(正整数正整数)w=z n 在整个复平面上是单值解析函数在整个复平面上是单值解析函数 除去除去b为正整数外，多值函数，为正整数外，多值函数，当当b为无理数或复数时，无穷多值为无理数或复数时，无穷多值.5.反三角函数与反双曲函数反三角函数与反双曲函数详见详见P52A 重点：重点：指数函数、对数函数指数函数、对数函数、乘幂、乘幂作 业P67 2,8,15,18第三章复变函数的积分复变函数的积分&1.有向曲线有向曲线&2.积分的定义积分的定义&3.积分存在的条件及其计算法积分存在的条件及其计算法&4.积分性质积分性质1 复变函数积分的概念复变函数积分的概念1.有向曲线有向曲线CA(起点起点)B(终点终点)CC 2.积分的定义积分的定义定义定义DBxyoA 3.积分存在的条件及其计算法积分存在的条件及其计算法定理定理A 证明证明A 由曲线积分的计算法得由曲线积分的计算法得 4.积分性质积分性质由积分定义得：由积分定义得：例例1解解又解又解Aoxy例例2解解oxyrC =-=-=-+0002)()(01010nnizzdzzzdzrzznCnp pA 第六次课10月29日oxy例例3解解解解:例例4分析分析1的积分例子的积分例子:2 Cauchy-Goursat基本定理基本定理猜想猜想：积分的值与路径无关或沿闭路的：积分的值与路径无关或沿闭路的积分值积分值0的条件可能与被积函数的解析性及解的条件可能与被积函数的解析性及解析区域的单连通有关析区域的单连通有关.先将条件加强些，作初步的探讨先将条件加强些，作初步的探讨Cauchy 定理定理Cauchy-Goursat基本定理：基本定理：A BC也称也称Cauchy定理定理(3)定理中曲线定理中曲线C不必是简单的！如下图不必是简单的！如下图.BBC推论推论 设设f(z)在单连通区域在单连通区域B内解析，则对任意内解析，则对任意两点两点z0,z1B,积分积分c f(z)dz不依赖于连接起点不依赖于连接起点z0与终点与终点z1的曲线，的曲线，即积分与路径无关即积分与路径无关.Cz1z0C1C2C1C2z0z1复合闭路定理：复合闭路定理：3 基本定理推广基本定理推广复合闭路定理复合闭路定理证明证明DCc1c2BL1L2L3AAEEFFGH说明说明A 此式说明一个解析函此式说明一个解析函数沿闭曲线的积分，数沿闭曲线的积分，不因闭曲线在区域内不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它作连续变形而改变它的积分值，只要在变的积分值，只要在变形过程中曲线不经过形过程中曲线不经过f(z)的不解析点的不解析点.闭路变形原理闭路变形原理D CC1C1C1例例解解C1C21xyo练习练习解解C1C21xyo作业lP99 1,2,5,7(1)(2)&1.原函数与不定积分的概念原函数与不定积分的概念&2.积分计算公式积分计算公式4 原函数与不定积分原函数与不定积分 1.原函数与不定积分的概念原函数与不定积分的概念 由由2基本定理的推论知：设基本定理的推论知：设f(z)在单连通区在单连通区域域B内解析，则对内解析，则对B中任意曲线中任意曲线C,积分积分c fdz与路与路径无关，只与起点和终点有关径无关，只与起点和终点有关.当起点固定在当起点固定在z0,终点终点z在在B内变动内变动,c f(z)dz在在B内就定义了一个变上限的单值函数，记作内就定义了一个变上限的单值函数，记作定理定理 设设f(z)在单连通区域在单连通区域B内解析，则内解析，则F(z)在在B内解析，且内解析，且定义定义 若函数若函数 (z)在区域在区域B内的导数等于内的导数等于f(z)，即，即 ,称称 (z)为为f(z)在在B内的原函数内的原函数.上面定理表明上面定理表明 是是f(z)的一个的一个原函数原函数.设设H(z)与与G(z)是是f(z)的任何两个原函数，的任何两个原函数，这表明：这表明：f(z)的任何两个原函数相差一个常数的任何两个原函数相差一个常数.(见第二章见第二章22例例3)3)2.积分计算公式积分计算公式定义定义 设设F(z)是是f(z)的一个原函数，称的一个原函数，称F(z)+c(c为为任意常数任意常数)为为f(z)的不定积分，记作的不定积分，记作定理定理 设设f(z)在单连通区域在单连通区域B内解析，内解析，F(z)是是f(z)的一个原函数，则的一个原函数，则A 此公式类似于微积分学中的牛顿莱布尼兹公式此公式类似于微积分学中的牛顿莱布尼兹公式.A 但是要求函数是但是要求函数是解析解析的的,比以前的比以前的连续连续条件要强条件要强例例1 计算下列积分：计算下列积分：解解1)解解)例例3 计算下列积分：计算下列积分：小结小结 求积分的方法求积分的方法第七次课11月5日利用利用Cauchy-Goursat基本定理在多连通域上的推基本定理在多连通域上的推广广,即复合闭路定理即复合闭路定理,导出一个用边界值表示解析函导出一个用边界值表示解析函数内部值的积分公式数内部值的积分公式,该公式不仅给出了解析函数该公式不仅给出了解析函数的一个积分表达式，从而成为研究解析函数的有的一个积分表达式，从而成为研究解析函数的有力工具，而且提供了计算某些复变函数沿闭路积力工具，而且提供了计算某些复变函数沿闭路积分的方法分的方法.5 Cauchy积分公式积分公式分析分析DCz0C1DCz0C1猜想积分猜想积分定理定理(Cauchy 积分公式积分公式)证明证明A A 一个解析函数在圆心处的值等于它在一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值圆周上的平均值.例例1解解例例2解解CC1C21xyo本节研究解析函数的无穷次可导性，并导出高本节研究解析函数的无穷次可导性，并导出高阶导数计算公式阶导数计算公式.研究表明：一个解析函数不仅研究表明：一个解析函数不仅有一阶导数，而且有各阶导数，它的值也可用有一阶导数，而且有各阶导数，它的值也可用函数在边界上的值通过积分来表示函数在边界上的值通过积分来表示.这一点与实这一点与实变函数有本质区别变函数有本质区别.6 解析函数的高阶导数解析函数的高阶导数形式上，形式上，以下将对这些公式的正确性加以证明以下将对这些公式的正确性加以证明.定理定理证明证明 用数学归纳法和导数定义用数学归纳法和导数定义.令为令为I依次类推，用数学归纳法可得依次类推，用数学归纳法可得一个解析函数的导数仍为解析函数一个解析函数的导数仍为解析函数.例例1解解作业lP100 7(3)(5)(7)(9)8(1)(2)9(3)(5)解析函数与调和函数的关系解析函数与调和函数的关系 在在6 6我们证明了在我们证明了在D内的解析函数内的解析函数,其导数其导数仍为解析函数仍为解析函数,所以解析函数有任意阶导数所以解析函数有任意阶导数.本节本节利用这一重要结论研究解析函数与调和函数之间利用这一重要结论研究解析函数与调和函数之间的关系的关系.内内 容容 简简 介介7 解析函数与调和函数的关系解析函数与调和函数的关系定义定义定理定理证明：证明：设设f(z)=u(x,y)+i v(x,y)在区域在区域D内解析，则内解析，则即即u及及v 在在D内满足拉普拉斯内满足拉普拉斯(Laplace)方程方程:定义定义上面定理说明：上面定理说明：由解析的概念得：由解析的概念得：现在研究反过来的问题：现在研究反过来的问题：如如定理定理A 公式不用强记！可如下推出：公式不用强记！可如下推出：类似地，类似地，然后两端积分得，然后两端积分得，A 调和函数在流体力学和电磁场理论等实际调和函数在流体力学和电磁场理论等实际问题中都有重要应用问题中都有重要应用.本节介绍了调和函数与解本节介绍了调和函数与解析函数的关系析函数的关系.例例1解解曲线积分法曲线积分法故故A 又解又解凑凑全全微微分分法法又解又解偏偏积积分分法法又解又解不不定定积积分分法法第八次课11月12日&1.复数列的极限复数列的极限&2.级数的概念级数的概念第第 四四 章章 级级 数数1 复数项级数复数项级数 1.复数列的极限复数列的极限定义定义又设复常数：又设复常数：定理定理1证明证明2.级数概念级数概念级数的前级数的前n项的和项的和-级数的部分和级数的部分和不收敛不收敛-无穷级数无穷级数定义定义设复数列：设复数列：例例1解解定理定理2证明证明A 由定理由定理2，复数项级数的收敛问题可归之为，复数项级数的收敛问题可归之为 两个实数项级数的收敛问题两个实数项级数的收敛问题.性质性质定理定理3证明证明A?定义定义由定理由定理3的证明过程，及不等式的证明过程，及不等式定理定理4解解例例2：P108例例3解解练习练习(P108,例例1)：&1.幂级数概念幂级数概念&2.收敛定理收敛定理&3.收敛圆与收敛半径收敛圆与收敛半径&4.收敛半径的求法收敛半径的求法&5.幂级数的运算和性质幂级数的运算和性质2 幂级数幂级数1.幂级数的概念幂级数的概念定义定义设复变函数列：设复变函数列：称为复变函数项级数称为复变函数项级数级数的最前面级数的最前面n项的和项的和级数的部分和级数的部分和若级数若级数(1)在在D内处处收敛，其和为内处处收敛，其和为z的函数的函数-级数级数(1)的和函数的和函数特殊情况，在级数特殊情况，在级数(1)中中称为幂级数称为幂级数2.收敛定理收敛定理同实变函数一样，复变幂级数也有所谓的收敛定理：同实变函数一样，复变幂级数也有所谓的收敛定理：定理定理1 阿贝尔阿贝尔(Able)定理定理讨论P142：5证明证明(2)用反证法，用反证法，3.收敛圆与收敛半径收敛圆与收敛半径由由Able定理，幂级数的收敛范围不外乎下述定理，幂级数的收敛范围不外乎下述三种情况：三种情况：(i)若对所有正实数都收敛，级数若对所有正实数都收敛，级数(3)在复平面上在复平面上处处收敛处处收敛.(ii)除除z=0外，对所有的正实数都是发散的，这时，外，对所有的正实数都是发散的，这时，级数级数(3)在复平面上除在复平面上除z=0外处处发散外处处发散.显然，显然，否则，级数否则，级数(3)将在将在 处发散处发散.将收敛部分染成红色，发散将收敛部分染成红色，发散部分染成蓝色，部分染成蓝色，逐渐变大，逐渐变大，在在c c 内部都是红色内部都是红色,逐渐变逐渐变小，在小，在c c 外部都是蓝色，外部都是蓝色，红、蓝色不会交错红、蓝色不会交错.故故播放播放A (i)幂级数在收敛圆内部收敛，在收敛圆外幂级数在收敛圆内部收敛，在收敛圆外部发散，在圆周上可能收敛可能发散，具体问题部发散，在圆周上可能收敛可能发散，具体问题要具体分析要具体分析.定义定义红蓝两色的分界圆周红蓝两色的分界圆周cR叫做幂级数的叫做幂级数的收敛圆；圆的半径收敛圆；圆的半径R叫做幂级数的收敛半径叫做幂级数的收敛半径.(ii)幂级数幂级数(3)的收敛范围是以的收敛范围是以0为中心，半径为为中心，半径为R的圆域；幂级数的圆域；幂级数(2)的收敛范围是以的收敛范围是以z0为中心为中心,半径半径为为R的圆域的圆域.4.收敛半径的求法收敛半径的求法 定理定理2(比值法比值法)证明证明 定理定理3(根值法根值法)定理定理2(比值法比值法)第九次课11月19日例例1：P111解解 综上综上例例2 求下列幂级数的收敛半径并讨论收敛圆