四川省邛崃市2013届高三第三次（12月）月考数学试题（理科）.doc

邛崃市2013届高三第三次（12月）月考数学试题（理科）
命题人：梁军 审题人：张全明
一．本大题共12小题,每小题5分，共60分。（每小题的四个选项只有一项是最符合题目要求的）.
1．已知集合，则等于（ ）
A． B． C． D．
2．复数（是虚数单位）的虚部是（ ）
A． B． C． D．
3．等差数列中，，则 （ ）
A、 B、 C、 D、
4．有下列四种说法：
①“若”的逆命题为真；
②“命题为真”是“命题为真”的必要不充分条件；
③命题“”的否定是“” ；
④若实数,则满足: 的概率为. 其中正确命题的个数是（ ）
A． B．1 C．2 D．3
5．右图是函数在区间上
的图象，为了得到这个函数的图象，只要将的
图象上所有的点（ ）
A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到
原来的倍，纵坐标不变
B．向左平移个单位长度，再把所得各点的横 坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
C．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来 的倍，纵坐标不变
D．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
6．如图，是一程序框图，则输出结果为( )
A． B． C． D．
7. 已知，方程在［0，1］内有且只有一个根，则在区间内根的个数为（　 ）
A.2013 B.1006 C.2011 D.1007
8．在2011年“西博会”会展中心某展区，欲展出5件艺术作品，其中不同书法作品2件，甲、乙两种不同的绘画作品2件，标志性建筑设计作品1件，展出时将这5件作品排成一排，要求2件书法作品必须相邻，2件绘画作品不能相邻，且作品甲必须排在乙的前面，则该展台展出这5件作品不同的排法有（ ）
A．36种 B．24种 C．12种 D．48种
9．某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3 吨、B 原料2 吨；生产每吨乙产品要用 A 原料1 吨、B 原料3 吨．销售每吨甲产品可获得利润 5万元，每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗 A 原料不超过13 吨，B 原料不超过18 吨，那么该企业可获得最大利润是（）
A．12 万元 B．20 万元 C．25 万元 D．27 万元
10．如图，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P是A1D1的中点，Q是A1B1上的任意一点，E、F是CD上的任意两点，且EF的长为定值．现有如下结论：
①异面直线PQ与EF所成的角是定值； ②点P到平面QEF的距离是定值； ③直线PQ与平面PEF所成的角是定值；
④三棱锥P-QEF的体积是定值；⑤二面角P-EF-Q的大小是定值．
其中错误结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
11．设是的重心，且,则为（ ）
A． B． C． D．
12.定义在R上的函数满足：,（）, 在有穷数列中，任意取正整数k（），则前k项和大于的概率是 ( )

第二部分(非选择题)
二、填空题：本题共4小题，共16分，把答案填在题中的横线上。
13.已知的二项展开式的各项系数和为，则二项展开式中的系数为________
14．如图为一个几何体的三视图，正视图和侧视图均为矩形，俯
视图为正三角形，尺寸如图，则该几何体的表面积为________
15．已知函数，
如果，则m的取值范围是 ______
16．现有下列命题：
①设为正实数，若，则；
②已知的最小值为16；
③数列；
④设函数则关于有4个解。
⑤若，则的最大值是。
其中的真命题有____________。（写出所有真命题的编号）
三、解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分12分）设函数的图象经过点．
（Ⅰ）求的解析式，并求函数的最小正周期；
（Ⅱ）若，其中是面积为的锐角的内角，且，求边的长.

18．为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物．甲一次种植了4株沙柳，根据以往的经验，这个人种植沙柳时每种植3株就有2株成活，且各株沙柳成活与否是相互独立的．
（Ⅰ）写出成活沙柳的株数的分布列，并求其期望值；
（Ⅱ）为了有效地防止风沙危害，该地至少需要种植24000株成活沙柳．如果参加种植沙柳的人每人种植4株沙柳，且参加种植的人都和甲的种植水平一样，问至少需要多少人来参加种植沙柳，才能保证有效防止风沙危害．

19．（本小题满分12分）在如图所示的多面体中，已知正方形和直角梯形所在的平面互相垂直，，∥，,.
（Ⅰ）求证：∥平面
（Ⅱ）求证：⊥平面；
（Ⅲ）求二面角的余弦值。

20. (本小题满分12分)已知函数在区间上的最大值为，最小值为，记.
（Ⅰ）求实数的值； （Ⅱ）若不等式成立，求实数的取值范围；
（Ⅲ）定义在上的一个函数，用分法:将区间任意划分成个小区间，如果存在一个常数，使得和式恒成立，则称函数为在上的有界变差函数. 试判断函数是否为在上的有界变差函数？若是，求的最小值；若不是，请说明理由.(参考公式:)

21. (本小题满分12分）函数，数列满足：。
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若，对任意正整数，不等式恒成立，求正数的取值范围.

22．（本小题满分14分）已知函数．
（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；
（Ⅱ）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．
（Ⅲ）求证：（其中，e是自然对数）。

邛崃市2013届高三月考（12月）
理科数学参考答案
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
D
C
D
A
B
C
C
D
C
D
C
二、填空题： 13、10 14、12＋2 15、 16、①②③
三、17. 解：（1）函数的图象过点
--------2分
函数的最小正周期--------6分
（2）因为 即 ∴
∵是面积为的锐角的内角，∴ --------9分
---------------12分
18.解：（Ⅰ）设成活沙柳的株数为X，则X=0，1，2，3，4，
且有P(X=k)= ………………………………………（2分）
据题意，每种植3株就有2株成活，所以p=，故成活沙柳的株数X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P

∴X的期望值E（X）
=………………………………………（6分）
（Ⅱ）设参加种植沙柳的人数为x，则这当中的每一个人都种植了4株沙柳．据（Ⅰ）的结果，这些人每人都能种植成活的沙柳株，因此，共种植成活的沙柳x株．………………（9分）
据题意，需x≥24000，解得x≥9000．
所以，估计至少需要9000人来参加种植沙柳，才能保证有效防止风沙危害．……………（12分）
19．证明：（1） 设AC与BD交与点。 EF//，且EF=1，=AC=1.
四边形EF为平行四边形.，则AF//，
面BDE，AF面BDE， AF//面BDE. ………………………3分
（2）正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面相互垂直，且CEAC，
CE面ABCD，连接，∵正方形ABCD的边长为，∴AC＝BD＝2；
直角梯形ACEF中，易得FO∥EC，且FO＝1；DF＝BF＝， DE＝BE＝，
则，由BF＝DF＝，BD＝2可知，
∴ ⊥平面 (也可用向量法证) ………………………7分
（3）：取BF中点M，BE中点N，连接AM、MN、AN，∵AB＝BF＝AF＝，∴AM⊥BF，
又∵MN∥EF，EF⊥BF，∴MN⊥BF，∴∠AMN就是二面角A－BF－E的平面角。
易求得，；
在Rt△中，可得，
∴在△中，可得，
法二：向量法 建立如图所示的空间直角坐标系C－xyz，
则，, ,,
∴，
由（2）可知:平面的法向量为设平面ABF的法向量为，
则，，
令，解得，∴ ∴
由图知，二面角A－BF－E的平面角是钝角，故其余弦值为……………………（12分）
20解： (1) ，因为，所以在区间 上是增函数，故，解得. ……4分
(2)由已知可得为偶函数，所以不等式可化为，解得或， ……………7分
(3)函数为上的有界变差函数. 因为函数为上的单调递增函数，且对任意划分:，有
,所以

,
所以存在常数,使得恒成立，
所以的最小值为. …………12
21．解：（1）由题意
所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列----------------------------3分
所以：----------------------------5分
（2），---------------------------6分
因为：
---------------------------7分

---------------------10分
----------------------------11分
----------------------------12分
22．解析：（Ⅰ）当时，（），
（），
由解得，由解得．
故函数的单调递增区间为，单调递减区间为． 4分
（Ⅱ）因当时，不等式恒成立，即恒成立，
设 （），只需即可． 5分
由，
（ⅰ）当时，由，∵，∴，
∴，故函数在上单调递减，故成立．……………… 6分
（ⅱ）当时，由，因，所以，
①若，即时，在区间上，，则函数在上单调递增， 在 上无最大值（或：当时，），此时不满足条件；
②若，即时，函数在上单调递减，在区间上单调递增，同样 在上无最大值，不满足条件． 8分
综上所述，实数a的取值范围是． 9分
（Ⅲ）据（Ⅱ）知当时，在上恒成立 10分
又， 11分
∵

，∴． 14分