湖北省黄石二中2011届高三5月适应性模拟考试（数学理）.doc

高三湖北省黄石二中模拟及答题适应性考试—理科数学
（考试时间：120分钟 总分：150分）
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题（本大题包括10小题，每小题5分，共50分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）

1、已知集合，，则( )
A． B. C. D.
2、下面不等式成立的是（ ）
A. B.
C. D.
3、定义在R上的偶函数f(x)在[0，+∞）上是增函数，且，则不等式的解集是( )
A、 B、
C、 D、
4、若存在，则r的取值范围是 ( )
A．r≥－或r≤－1 B．r>－或r<－1
C．r>－或r≤－1 D．－1≤ r≤－
5、将函数的图形按向量平移后得到函数g(x)的图形，满足g(－x)=g(+x)和g(－x)+g(x)=0，则向量的一个可能值是( )
A、 B、 C、 D、
6、α、β、γ为两两不重合的平面，l、m、n为两两不重合的直线，给出下列四个命题
①若α⊥γ，β⊥γ则α∥β ②若mα，nα,m∥β,n∥β则α∥β
③若α∥β，lα,则l∥β ④若αβ=l，βγ=m，γα=n，l∥γ，则m∥n
其中真命题的个数是( )
A、1 B、2 C、3 D、4
7、阅读如图所示的程序框，若输入的是100，则输出的变量的值是( ) .
A．6 B．5
C．-1 D．7

8、设的展开式的各项系数之和为，二项式系数之和为，若，则展开中的系数为( )
A．－500 B．500 C．－150 D． 150
9、已知双曲线C1：的左准线l，左右焦点分别为F1、F2，抛物线C2的准线为l，焦点为F2，P是C1与C2的一个交点，则|PF2|= ( )
A、40 B、32 C、8 D、9

10、有限数列的前项和为，定义为的“凯森和”，如果有99项的数列的数列的“凯森和”为1000，那么有100项的数列的“凯森和”为（ ）
A．1001 B．999 C．991 D．990

第Ⅱ卷 非选择题 （共100分）

二、填空题 （本大题共5个小题，每小题5分，共25分）

11、已知=

12、设地球的半径为，若甲地位于北纬东经，乙地位于南纬东经，则甲、乙两地的球面距离为 ．

13、已知函数f(x)＝2+log3x,x∈［1,9］,则函数y＝［f(x)］2+f(x2)的值域为___________.

14、若变量，满足约束条件，则的最小值为 ．10.
15、定义在R上的偶函数y=f(x)满足：
①对xR都有f(x+6)=f(x)+f(3)
②f(－5)=－1;
③当x1,x2[0,3]且x1≠x2时，都有
则（1）f(2009)=_______________；
（2）若方程f(x)=0在区间[a,6－a]上恰有3个不同实根，实数a的取值范围是____________。

三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16、、（本小题共12分）
已知向量与共线，其中A是△ABC的内角．
（1）求角的大小；
（2）若BC=2，求△ABC面积的最大值，并判断S取得最大值时△ABC的形状.

17、（本小题满分12分）
如图，在正三棱柱中，分别是的中点,．
（Ⅰ）在棱上是否存在点使？如果存在，试确定它的位置；如果不存在，请说明理由；
（Ⅱ）求截面与底面所成锐二面角的正切值.

18、（本小题满分12分）某投资公司2010年初准备将1000万投资到“低碳”项目上，现有两个项目可供选择
项目一：新能源汽车。据市场调研，投资到该项目上，到年底可获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为
项目二：通信设备。据市场调研，投资到该项目上，到年底可获利50%，可能损失30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为
（1）针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由；
（2）若市场预期不变，该投资公司按照你选择的项目长期投资（每年的利润和本金继续用作投资），问大约在哪一年的年底该投资公司的总资产（利润+本金）可翻一番？（参考数据lg2=0.3010,lg3=0.4771）

19、（本小题满分12分）设函数 的最小值记为g(t).
（1）求g(t)的表达式；
（2）讨论g(t)在区间[-1，1]内的单调性；
（3）当恒成立，其中k为正数，求k的取值范围.

20、（本小题满分13分）如图，已知双曲线C：的右准线与一条渐近线交于点M，
F是双曲线C的右焦点，O为坐标原点.
（I）求证：；
（II）若且双曲线C的离心率，求双曲线C的方程；
（III）在（II）的条件下，直线过点A（0，1）与双曲线C右支交于不同的两点P、Q且P在A、Q之间，满足，试判断的范围，并用代数方法给出证明.

2011年普通高等学校招生全国统一考试
黄石二中模拟及答题适应性考试—理科数学

解得1≤x≤3,即定义域为［1,3］.
∴0≤log3x≤1.
又y＝［f(x)］2+f(x2)
＝(2+log3x)2+2+log3x2
＝(log3x)2+6log3x+6
＝(log3x+3)2-3,
∵0≤log3x≤1,
∴6≤y≤13.
故函数的值域为［6,13］

三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16、【解】（1）因为m//n,所以. ………………………2分
所以，即， …………3分
即 .　 …………………………………………………4分
因为 , 所以. …………………………………5分
故，. ………………………………7分
（2）由余弦定理，得 . ……………………………………8分
又， ……………………………………9分
而，（当且仅当时等号成立） …………11分
所以. ………………………12分
当△ABC的面积取最大值时，.又，故此时△ABC为等边三角形.…14分
17解：解法一：（Ⅰ）存在且为的中点，连接,
∵分别是的中点, ∴．
（Ⅱ）延长与的延长线交于，连接，
则为截面与底面所成二面角的棱，
取的中点，连,则．
∵,∴为的中点．
由题设得,且,
作于,则,连,
又,
由三垂线定理可知，
∴为截面与底面所成的锐二面角．
在中，,
∴．
解法二：（Ⅱ）如图，以为坐标原点，的方向分别作为轴的正方向建立空间直角坐标系,则
；∵分别是
的中点，∴,
,；
设平面的法向量为，
由
得，解得，
取得；
又平面的一个法向量为, （6分）
设截面与底面所成锐二面角为，
则，
∴，得．
故截面与底面所成锐二面角的正切值为2．
18.、解：（1）若投资“项目一”，设年底获利万元，则的分布列为

（万元）. ………………2分
若投资“项目二”，设年底获利万元，则的分布列为：

（万元）.……………………4分
又

所以，
说明选择投资“项目一”较合理，建议投资“项目一”。………………（8分
（2）假设n年后总资产可以翻一番，依题设
……（10分）
∴
所以大约4年后，即2013年年底总资产可以翻一番（12分）
19、

t

g'(t)
+
0
-
0
+
g(t)
↗
极大值

↙
极小值

↗
由此可见，上单调递减.…8分

综合可得k的取值范围为：k≥4.
20、解：（I）右准线，渐近线
，

……3分
（II）

双曲线C的方程为： ……7分
（III）由题意可得 ……8分
证明：设，点
由得
与双曲线C右支交于不同的两点P、Q

……11分
，得

的取值范围是（0，1） ……13分
21、解：（1） ，则，
得，即，
∴数列是首项为2、公差为1的等差数列，∴，即．
（2），∴函数在点N*）处的切线方程为：
，令，得．
，仅当时取得最小值，
只需，解得，故的取值范围为．
（3），故，

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