高三理科数学073.doc

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期数 0601 SXG3 073
学科：理科数学 年级：高三 编稿老师：毕 伟
审稿老师：杨志勇

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预 习 篇

预习篇五十六 高三理科数学总复习三十三
——不等式的解法

【考试大纲的要求】
掌握简单不等式的解法．这里的简单不等式主要是指一元一次不等式、一元二次不等式、含绝对值的不等式、分式不等式，以及有他们组成的不等式组．
【基础知识概要】
1．一元一次不等式的解法.
任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为ax＞b（a≠0）的形式.
当a＞0时，解集为{x|x＞}；当a＜0时，解集为{x|x＜}.
2．一元二次不等式的解法.
任何一个一元二次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为ax2+bx+c＞0（或＜0）（其中a＞0）的形式，再根据“大于取两边，小于夹中间”求解集.
3．简单的高次不等式、分式不等式的求解问题可采用“转化法”和“数轴标根法”.
转化法就是利用实数乘法的运算性质，把高次不等式转化为低次的不等式组.数轴标根法的基本思路是：整理（分解）——标根——画线——选解.
4．含有绝对值不等式的解法
①；
②形如的不等式的求解通常采用“零点分段讨论法”
③含参不等式的求解，通常对参数分类讨论
【典型例题解析】
例1解关于x的不等式 2x－a＜bx + 3.
解：由2x－a＜bx+3，得 (2－b)x＜3+a,
（1） 若b＞2, 则不等式的解集为；
（2） 若b＜2, 则不等式的解集为；
（3） 若b=2, a＞－3, 则不等式的解集为R；
（4） 若b=2, a≤－3, 则不等式的解集为.
说明：解含字母系数的不等式时，应注意将字母的取值分类进行讨论.
例2解不等式 |x2－5x|＞6.
解：原不等式可化为x2－5x＞6 或 x2－5x＜－6,
解不等式x2－5x＞6，得{ x| x＞6, 或x＞－1},
解不等式x2－5x＜－6，得 {x| 2＜x＜3,
∴ 原不等式的解集是{x|x＞6,或x＜－1∪{x|2＜x＜3={x|x＜－1,或2＜x＜3,或x＞6.
例3设函数，求使的取值范围．
解：∵为增函数，于是不等式等价于．…………①
当时，，∴①式恒成立．
当时，，∴①式可化为，即．
当时，，∴①式无解．
综上，取值范围是．
评析：解绝对值不等式的实质是去绝对值符号，而常用如下方法去绝对值符号：
①；
②；
③；
④；
⑤；
⑥含有两个或两个以上绝对值的不等式常用“零点讨论法”来去绝对值的符号．
例4解不等式＜－1.
分析：这是一个分式不等式，其左边是两个关于x的多项式的商，而右边是非零常数，故需移项通分，右边变为零，再利用商的符号法则，等价转化成整式不等式组.或用数轴表根求解
解法一：原不等式变为＋1＜0，
即＜0－1＜x＜1或2＜x＜3.
∴原不等式的解集是｛x｜－1＜x＜1或2＜x＜3｝.
解法二：原不等式可化为，即
1
2
3
x
-1

∴原不等式的解集是｛x｜－1＜x＜1或2＜x＜3｝.

例5已知函数（a，b为常数）且方程f(x)－x+12=0有两个实根为x1=3, x2=4.（1）求函数f(x)的解析式；
（2）设k>1，解关于x的不等式；.
解：（1）将得

（2）不等式即为
即
①当
②当
③.
例6已知不等式对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围.
分析：作为一元二次不等式，原命题成立需对应的二次函数的图象——抛物线开口向上，且其顶点在x轴的上方. 但已知不等式并不一定是一元二次不等式.因此，应先对m2+4m－5是否等于0进行讨论.
解：①令m2+4m－5=0, 得m=1, m=－5, 显然m=1符合条件，m=－5不符合条件.
②若m2+4m－5≠0, 则原命题等价于

解得 1＜m＜19.
∴ 所求实数m的取值范围是[1，19.
评析：因为x2的系数中含有字母，所以不要忘记对x2的系数进行讨论，否则会丢掉m=1的情况.
【强化训练】
同步落实[※级]
一、选择题
1．不等式1的解集为( )
A. B.
C. D.
2．不等式等价于( )
A. B.
C. D.
二、填空题
3．已知不等式ax2+bx+2＞0的解集为，则a+b的值等于_______.
4．若关于x的方程mx2+(m－3)x+1=0有实根，则实数m的取值范围是______.
三、解答题
5．已知关于x的不等式(a+b)x+(2a－3b)＜0的解集为，求关于x的不等式
(a－3b)x+(b－2a)＞0
的解集.
6．解不等式 x2－2|x|－3＞0.

同步检测[※※级]
一、选择题
1．不等式6x2+5x＜4的解集为( )
A. B.
C. D.
2．若a＞0, b＞0, 则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题
3．不等式0＜x2－x－2＜4的解集是________.
4．若关于x的不等式(5－a)x2－6x+a+5＞0恒成立，则实数a的取值范围是______.
三、解答题
5．解关于x的不等式：
（1）ax－2＞3x+b； （2）x2－(a+a2)x+a3＞0.
6．解不等式 .
7．解关于x的不等式 .
8．解关于x的不等式：.

参考答案
同步落实[※级]
一、1．C 2．C
二、3. –14 4. m≤1或m≥9
三、5．解：∵(a+b)x+(2a－3b)＜0的解集是，
∴ ①
a+b＞0. ②
由①得 a=2b，代入②得：3b＞0, ∴b＞0，
不等式(a－3b)x+(b－2a)＞0化为(2b－3b)x+(b－4b)＞0,
∴－bx＞3b,
∵b＞0，∴所求不等式的解集为{x|x＜－3
6．解：∵x2－2|x|－3＞0,
∴|x|2－2|x|－3＞0,
∴(|x|－3)(|x|+1)＞0.
∵|x|+1＞0,
∴|x|＞3,
∴原不等式的解集为{x|x＜－3, 或x＞3.
同步检测[※※级]
一、1．B 2．C
二、3.{x|－2＜x＜－1, 或2＜x＜3 4. －4＜a＜4
三、5．解：（1）由ax－2＞3x+b, 得 (a－3)x＞b+2.
当a＞3时，不等式的解集为，
当a=3时，原不等式化为3x－2＞3x+b，
若b＜－2，则解集为R；若b≥－2，解集为，
当a＜3时，不等式的解集为.
（2）原不等式化为(x－a)(x－a2)＞0,
当a＜0时，有a＜a2，原不等式的解集为{x|x＜a, 或x＞a2,
当a=0时，原不等式的解集为{x|x≠0}.
当0＜a＜1时，有a＞a2, 原不等式的解集为{x|x＜a2, 或x＞a,
当a=1时，原不等式的解集为{x|x≠1}.
当a＞1时，有a＜a2, 原不等式的解集为{x|x＜a, 或x＞a2.
6．解：原不等式可化为，
∴.
利用数轴标根法可求出不等式的解集为{}
7．解：当a=1时，不等式的解集为{x| x＞0};
当a＞1时，不等式的解集为;
当a＜0时，不等式的解集为;
当0＜a＜1时，不等式的解集为.
8．解：∵，∴ .
（1） 当a＜－1或0＜a＜1时，a＜，这时原不等式的解集为（a，）;
（2） 当－1＜a＜0或a＞1时，a＞，这时原不等式的解集为(, a) ;
（3） 当a=－1或a=1时，a=，这时原不等式的解集为.
说明：对参数a进行讨论时，应对参数a的取值范围中每一个值都讨论到，这里要注意不能遗忘a=±1的情况.