第六章离散系统的Z域分析.DOC

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信号与系统
第六章 离散系统的Z域分析
6.1 Z变换
6.1.1 Z变换的定义及其收敛域

图6.1 收敛域
6.1.2 典型序列的Z变换及其与收敛域的对应关系

6.1.3 Z变换与拉普拉斯变换的关系

6.2 Z反变换
6.2.1 幂级数展开法（长除法）
6.2.2 部分分式展开法
6.2.3 围线积分法（留数法）

图6.2 F[z]的收敛域
6.3 Z变换的性质
6.3.1 线性性质
6.3.2 移位特性

图6.3 序列的移位

图6.4 序列的移位
6.3.3 尺度变换
6.3.4 初值定理
6.3.5 终值定理
6.3.6 卷积定理

6.4 离散时间系统的Z域分析
6.4.1 利用Z变换求解差分方程
6.4.2 离散系统函数

6.4.3 离散系统的稳定性
6.5 习题
1. 求下列序列的Z变换，并说明其收敛域：
（1） 13n n≥0
（2） -13-n n≥0
（3） 12n+13-n n≥0（4） cosnπ4 n≥0
（5） sinnπ2+π4 n≥0
2. 已知δ[n]1， anε[n]zz-a， nε[n]z(z-1)2，
试利用Z变换的性质求下列序列的Z变换：
（1） δ[n-2]（2） 0.6[1+(-1)n]ε[n]
（3） ε[n]-2ε[n-4]+ε[n-8]（4） (-1)nnε[n]
（5） (n-1)ε[n-1]（6） n(n-1)ε[n-1]
（7） (n-1)2ε[n-1]（8） n{ε[n]-ε[n-1]}
3. 求下列象函数的Z反变换：
（1） 11-0.5z-1 |z|>0.5（2） 1-0.5z-11-0.25z-2 |z|>0.5
（3） z-a1-az |z|>1|a|（4） z2z2+3z+2 |z|>2
（5) z2+z+1z2+z-2 |z|>2（6） z2(z-0.5)(z-0.25) |z|>0.5
（7） 1z2+1 |z|>1 （8） z(z-1)(z2-1) |z|>1
4. 若序列的Z变换如下，求f[0]：
（1） F[z]=z2(z-2)(z-1) |z|>2 （2） F[z]=z2+z+1(z-1)(z+0.5) |z|>1
（3） F[z]=z2-z(z-1)3 |z|>1
5. 若序列的Z变换如下，能否应用终值定理，如果能，则求出f[∞]：
（1） F[z]=z2+1z-12z+13 （2） F[z]=z2+z+1(z-1)(z+0.5)
（3） F[z]=z2(z-1)(z-2)
6. 利用Z变换的性质求下列序列的Z变换：
（1） cosnπ2ε[n]（2） nsinnπ2ε[n]
（3） 12ncosnπ2ε[n] （4） ∑ni=0 (-1)i
7. 试用卷积定理证明以下关系：
（1） f[n]*δ[n-m]=f[n-m]
（2） ε[n]*ε[n]=(n+1)ε[n]
8. 已知上题的结论ε[n]*ε[n]=(n+1)ε[n]，试求nε[n]的Z变换。
9. 利用卷积定理，求下述序列的卷积y[n]=f[n]*h[n]：
（1） f[n]=anε[n], h[n]=δ[n-2]
（2） f[n]=anε[n], h[n]=ε[n-1]
（3） f[n]=anε[n], h[n]=bnε[n]
10. 用Z变换求下列齐次差分方程。

（1） y[n]-0.9y[n-1]=0, y[-1]=1
（2） y[n]-y[n-1]+2y[n-2]=0,y[-1]=0, y[-2]=2
（3） y[n+2]-y[n+1]-2y[n]=0，y[0]=,y[1]=3
（4） y[n]-y[n-1]-2y[n-2]=0，y[0]=,y[1]=3
11. 画出如图6.5所示系统的Z域模拟图，并求该系统的单位响应和阶跃响应。

图 6.5
12. 已知系统的差分方程、输入序列和初始状态如下，试用Z域分析法求系统的完全响应。
（1） f[n]=(0.5)nε[n], y[-1]=1
（2） y[n]-0.5y[n-1]=f[n]-0.5f[n-1], f[n]=ε[n],y[-1]=0
13. 设系统的差分方程为y[n]-5y[n-1]+6y[n-2]=f[n]，当f[n]=2ε[n]，初始状态y[-1]=3, y[-2]=2时，求系统的响应y[n]。
14. 若一系统的输入f[n]=δ[n]-4δ[n-1]+2δ[n-2]，系统函数为
H[z]=1(1-z-1)(1-0.5z-1)
试求系统的零状态响应。
15. 某数字系统的差分方程为y[n]-0.7y[n-1]+0.12y[n-2]=2f[n]-f[n-1]
（1） 求系统函数H[z]；
（2） 求单位响应h[n]。
16. 设一系统的差分方程为 y[n]-13 y[n-1]=f[n]
（1） 试求单位响应h[n]；
（2） 若系统的零状态响应为y[n]=312n-13n·ε[n]，试求输入信号f[n]。
（3） 试判断该系统是否稳定？
17. 设离散系统输入为f[n]=ε[n]时，零状态响应为y[n]=2(1-0.5n)ε[n]，若输入为f[n]=0.5nε[n]时，求系统的响应；该系统是否稳定？
18. 某一离散系统的系统函数为H[z]=z2+3z+22z2-(k-1)z+1，为使系统稳定，常数k应满足什么条件？
19. 设有系统函数H[z]=z2-2z+4z2-0.5z+0.25
（1） 试画出系统Z域模拟图；
（2） 系统是否稳定？
（3） 试画出系统的幅频特性和相频特性。
20. 已知连续系统的H(s)为H(s)=2(s+1)(s+3)，试用冲激响应不变法，求对应于H(s)的离散系统函数H[z]。