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联想“模型函数”破解抽象函数题

抽象函数是指没有给出具体的函数解析式,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数.由于此类试题既能考查函数的概念和性质,又能考查学生的思维能力,所以备受命题者的青睐.因为抽象，学生解题时思维常常受阻，思路难以展开.然而抽象来源于具体，抽象函数一般是由具体的函数抽象而得到的.如抽象函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)，可联想到f(x)=kx(k≠0)，有f(x1)=kx1 ，f(x2)=kx2，f(x1+x2)=k(x1+x2)=kx1+kx2=f(x1)+f(x2)，则y=kx就可以作为抽象函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)的一个“模型函数”.分析抽象函数问题的解题过程及心理变化规律可知，由抽象函数的结构，联想到已学过的具有相同或相似结构的某个“模型函数”，并由“模型函数”的相关结论，预测、猜想抽象函数可能具有的某种性质而使问题获解，是我们解决抽象函数问题的一般方法.有鉴于此，本文试图归纳一些中学阶段学过的常见“模型函数”，通过联想“模型函数”来破解抽象函数题.

一、中学阶段学过的常见“模型函数”
抽象函数
模型函数
f(x+y)=f(x)+f(y)
y=kx（k为常数）
f(x+y)=f(x)+f(y)-a
y=kx+a（k,a为常数）
f(x+y)=f(x)·f(y)
y=ax（a＞0且a≠1）
f(xy)=f(x)+f(y)
y= (a＞0且a≠1)
f(xy)=f(x) f(y)
y=xn（n为常数）
注：记忆方法：如和的函数等于函数的积对应的模型函数为指数函数，而积的函数等于函数的和对应的模型函数为对数函数等.
二、联想“模型函数”破解抽象函数题例析
【例1】已知函数f(x)对于任意实数x、y都有f(x+y)=f(x)+f(y)，且当x＞0时，f(x) ＞0，f(-1)=-2，求函数f(x)在区间[-2，1]上的值域.
联想：由f(x+y)=f(x)+f(y)联想“模型函数”y=kx（k为常数）为奇函数，k＜0时为减函数，k＞0时为增函数，从而猜测：f(x)为奇函数且f(x)为R上的单调增函数，且f(x)在[－2,1]上有f(x)∈[－4,2].
解析：设x1＜x2且x1，x2∈R， 则x2-x1＞0， ∴f(x2－x1)＞0，
∴f(x2)-f(x1)=f(x2-x1+x1)-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-f(x1)=f(x2-x1)＞0，
∴f(x2)＞f(x1),∴f(x)为R上的单调增函数.
令x=y=0,则f(0)=0,令y=-x，则f(-x)=-f(x)，∴f(x)为R上的奇函数.
∴f(-1)=-f(1)=-2 ， ∴f(1)=2，f(-2)=2f(-1)=-4，∴-4≤f(x)≤2(x∈[-2,1])，
故f(x)在[-2,1]上的值域为[-4，2]
注意：由f(x+y)=f(x)+f(y)断定f(x)=kx（k为常数）是错误的，犯了用特殊代替一般的错误（解客观题还是可以）.我们只能借助f(x)=kx（k为常数）来猜测f(x)的性质，为解题指明方向，至于f(x)的性质的得出，我们还是要由相关定义来严格证明，决不能含含糊糊.
【例2】函数对任意、R，都有，并且当时，.（1）求证：是R上的增函数；
（2）若，解不等式.
联想：由联想“模型函数”y=kx+1（k为常数），由条件易知k＞0，从而猜测：f(x)为R上的单调增函数，……
解析：（1）证明：设、∈R，且，则，∴，
.即，∴是R上的增函数.
（2），∴.
不等式即为，
∵是R上的增函数，于是，解之得.
【例3】已知函数f(x)对于一切实数x、y满足f(0)≠0，f(x+y)=f(x)f(y)，且当x＜0时，f(x)＞1，（1）当x＞0时，求f(x)的取值范围；（2）判断f(x)在R上的单调性
联想：由f(x+y)=f(x)f(y)联想“模型函数”y=ax（a＞0,a≠1），当a＞1时为单调增函数，且x＞0时，y＞1，x＜0时，0＜y＜1；0＜a＜1时为单调减函数，且x＜0时，y＞1，x＞0时，0＜y＜1，从而猜测： f(x)为减函数，且当x＞0时，0＜f(x)＜1.
解析：（1）因为对于一切x、y∈R，f(x+y)=f(x)f(y)且f(0)≠0，
令x=y=0，则f(0)=1，现设x＞0，则-x＜0，∴f(-x) ＞1，
又f(0)=f(x-x)=f(x)f(-x)=1， ∴f(-x)= ＞1，∴0＜f(x)＜1
（2）设x1、x2∈R ，且x1＜x2，则x1-x2＜0，f(x1-x2) ＞1，
则＞1
∴f(x1)＞f(x2)， ∴f(x)在R上为单调减函数
【例4】设函数定义在R上，对任意实数，，恒有，且当时，.
（1）求证：，且当时，；
（2）求证：在R上递减；
（3）设集合，，
若，求的取值范围.
（1）证明：在中，令，，得，
∵，∴.
设，则，令，，代入条件式有，
而，∴.
（2）证明：设，则，∴.
令，，则代入条件式，
得，即，∴，
∴在R上单调递减.
（3）解：由，
又由（2）知为R上的递减，∴点集表示圆的内部.
由得点集表示直线.
∵，∴直线与圆相离或相切.
于是.
【例5】已知函数f(x)定义域为(0,+∞)且单调递增，满足f(4)=1，f(xy)=f(x)+f(y),
（1）证明f(1)=0；（2）求f(16)；（3）若f(x)+f(x-3)≤1，求x的范围；
（4）试证f(xn)=nf(x)（n∈N）.
联想：由f(xy)=f(x)+f(y)联想“模型函数”y=（a＞0，a≠0）, 从而猜测：f(x)有f(1)=0，f(16)=2，……
解析：（1）令x=1，y=4，则f(4)=f(1×4)=f(1)+f(4)，∴f(1)=0；
（2）f(16)=f(4×4)=f(4)+f(4)=2，
（3）f(x)+f(x-3)=f[x(x-3)]≤1=f(4)，f(x)在（0，+∞）上单调递增
∴ x(x-3)≤4 ∴ -1≤x≤4
x-3＞0 x＞3 ，即3＜x≤4，∴ x∈（3，4]
x＞0
（4）∵f(xy)=f(x)+f(y)，∴f(xn)=f(x·x……x)=nf(x)（n∈N）
n个x

【例6】已知函数f(x)对于一切正实数x、y都有f(xy)=f(x)f(y)且x＞1时，f(x)＜1，f(2)=.（1）求证：f(x)＞0；（2）求证：f(x-1)=[f(x)]-1；
（3）求证：f(x)在（0，+∞）上为单调减函数；（4）若f(m)=9，试求m的值.
联想：由f(xy)=f(x)f(y)联想“模型函数”y=xa，从而猜测：f(x)＞0，在（0，+∞）上为单调减函数，……
解析：（1）对任意x＞0，f(x)=f()=[f()]2≥0，
假设存在y＞0，使f(y)=0，则对任意x＞0，有f(x)=f(·y)=f()f(y)=0，
这与已知矛盾，故对任意x＞0，均有f(x)＞0；
（2）∵f(x)=f(x×1)=f(x)f(1)，f(x)＞0, ∴f(1)=1，
∴f(x)f()=f(·x)=f(1)=1， ∴f(x-1)=[f(x)]-1；
（3）设x1、x2∈(0,+∞)，且x1＜x2，则＞1，∴f()＜1，
∴f(x2)=f(·x1)=f()f(x1)＜f(x1)， 即f(x2)＜f(x1)，
∴f(x)在（0，+∞）上为单调减函数.
（4）∵f(2)=，f(m)=9 ∴f(2)f(m)=1，∴f(2m)=1=f(1)，
而f(x)在(0，+∞)是单调减函数，∴2m=1，即m=.

【练习】
1．函数的定义域为，则函数的定义域是___.
分析：因为相当于中的x，所以，
解得或.
2．已知的定义域为R，且对任意实数x，y满足，求证：是偶函数.
分析：在中，令，得
令，得
于是,故是偶函数.
3． 如果奇函数在区间上是增函数且有最小值为5，那么在区间上是( )
A. 增函数且最小值为 B. 增函数且最大值为
C. 减函数且最小值为 D. 减函数且最大值为
4．已知的定义域为，且对一切正实数x，y都成立，若，则_______.
分析：在条件中，令，得
，
又令，得，
5．已知是定义在R上的函数，且满足：，，求的值.
分析：紧扣已知条件，并多次使用，发现是周期函数，显然，于是，
所以,故是以8为周期的周期函数，从而

6．已知函数是定义域为R的偶函数，时，是增函数，若，，且，则的大小关系是_______.
分析：且，
又时，是增函数，
是偶函数，,故
7．已知函数对一切实数x都满足，并且有三个实根，则这三个实根之和是_______.
分析：由知直线是函数图象的对称轴.
又有三个实根，由对称性知必是方程的一个根，其余两根关于直线对称，所以，故.
8．已知f(x)是定义在R上的函数，f(1)=1,且对任意x∈R都有f(x+5)≥f(x)+5,f(x+1)≤f(x)+1.若g(x)=f(x)+1-x,则g(2008)=_________.
解:由g(x)=f(x)+1-x,得f(x)=g(x)+x-1.
所以g(x+5)+(x+5)-1≥g(x)+(x-1)+5,g(x+1)+(x+1)-1≤g(x)+(x-1)+1
即 g(x+5)≥g(x), g(x+1)≤g(x).
所以g(x)≤g(x+5)≤g(x+4)≤g(x+3)≤g(x+2)≤g(x+1),故g(x)=g(x+1)
又g(1)=1,故g(2008)=1.
9.若函数是偶函数，则的图象关于直线_______对称.
分析：的图象的图象，而是偶函数，对称轴是，故的对称轴是.
10．已知函数定义在实数集上，且对任意均有
，又对任意的x>0,都有f(x)<0,f(3)=-3.
（1）判断函数的奇偶性。
（2）证明函数在R上为单调减函数。
（3）试求函数在[m,n](m,n∈Z，且mn<0)上的值域.
分析：在中学阶段满足性质的只有：，又对任意的x>0,都有f(x)<0， ∴，显然此函数为奇函数，且在R上为减函数。类比它的性质，可以猜想本题的函数有关性质。
解：（1）令，得：，∴
再令y=-x,得： ∴
于是函数为奇函数。
（2）对任意，∵
∴（类比的性质）
现设，且，则，显然
而由题意知道，对任意的x>0,都有f(x)<0，∴
∴函数在R上为减函数。
（3）由于函数在R上为减函数，故在[m,n]上为减函数.
∴在[m,n]上的最大值为，最小值为。
又由于，
同理：
又f(3)=-3=3f(1)， ∴ ∴，
因此函数在[m,n]上的值域为[-n,-m].
11．已知函数y=f(x)（x∈R且x≠0），对定义域内的任意实数x1、x2都有f(x1x2)=f(x1)＋f(x2)，又y=f(x)在（0，+∞）上是增函数.
（1）求f(1)、f(-1)的值；
（2）求证对定义域内的每一个x值，都有f(-x)=f(x)；
（3）解不等式f(x)＋f(2x－1)≥0.
解: (1) f(1)=f(-1)=0 ;(2)略;(3)
12．设函数f(x)的定义域为R，对于任意的实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y)，又当x>0时，f(x)<0，且f(2)=-1.
(1)求证：f(x)为奇函数；
(2)试问函数f(x)在区间[-2008,2008]上是否存在最大值和最小值？若存在，求出最大值和最小值；如果没有，请说明理由.
解：(1)令x=y=0，则f(0+0)=f(0)+f(0)f(0)=0，
再令y=-x，则f(x-x)=f(x)+f(-x)f(-x)=-f(x),∴f(x)为奇函数
(2)∵f(x+y)=f(x)+f(y) ，f(x)为奇函数，∴ f(x-y)=f(x)+f(-y)f(x-y)=f(x)-f(y)
设x1,x2∈R，且x1<x2，则f(x2-x1)=f(x2)-f(x1)，∵ x2-x1>0，f(x2-x1)<0，∴ f(x2)-f(x1)<0，
∴ f(x1)>f(x2)，∴ f(x)在(-∞,+∞)上是减函数，∴ f(x)在[-2008,2008]上有最大值和最小值
[f(x)]min=f(2008)=f(2006)+f(2)=f(2)+f(2)+…+f(2)=1004f(2)= -1004，
[f(x)]max=f(-2008)= -f(2008)=1004