求值域的方法.doc

函数值域的求解
函数值域的求法主要有以下10种方法：
（1） 观察法：根据各种非负数的特点及函数的图像、性质、简单的计算、推理，评观察能直接得到一些简单的复合函数的值域.
（2） 配方法：对于形如的值域问题可充分利用二次函数可配方的特点，结合二次函数的定义域求出函数的值域.
（3） 几何法：根据所给数学式子的特征，构造合适的集合模型.
（4） 均值不等式法.
（5） 换元法：分为三角换元法与整体换元法，对于形如的值域问题可通过换元将原问题转化为二次型.
（6） 分离常数法：对某些齐次分式型的函数进行常数化处理，使函数解析式简化而便于分析.
（7） 判别式法：把函数解析式化为关于的一元二次方程，利用一元二次方程的跟的判别式求值域.一般地，形如或的函数值域问题可运用判别式法（注意的取值范围须为实数集R）.
（8） 单调性法：先确定函数在定义域（或它的子集）内的单调性，再求出值域.对于形如或的函数，当时可利用单调性法.
（9） 有界限法：利用三角函数或一些代数表达式的有界性，求出值域.因为常出现反解出的表达式的过程，故我们又常称此种方法为“反解有界性法”.
（10）导数法：先利用导数求出函数的极大值和极小值，再确定最大（小）值，从而求出函数的值域.
一、观察法
例题1 求函数的值域.
解析：因为，所以函数的值域为.
变式1 函数的值域是________.

二、配方法
例题1 求函数的值域.
解析：.
变式1 求函数的值域.

三、几何法
例题1 求函数的值域.
解析：可以看作一个动点到两个定点和的距离的和，作点关于直线的对称点，连接交于点， 此时的长即为PA与PB的长之和的最小值，点到A、B两点的距离之和为，
故函数的值域为.
变式1 求函数的值域.
变式2 （2008年重庆，10）函数的值域是（ ）

变式3 函数的值域是（ ）

四、均值不等式法
例题1 已知，求函数的值域.
解析：令，则，
（当且仅当，即时取等号）
故函数的值域为.
变式1 求函数的值域.

五、换元法
例题1 若函数的值域是，求函数的值域.
解析：令，易得在上单调递减，在上单调递增.
又，且.故的值域为.
变式1 求函数的值域.

变式2 当时，求函数的值域.

六、分离常数法
例题1 求的值域.
解析：，因为，.
变式1 求的值域.

变式2 求函数的值域.

变式3 求的值域.
七、判别式法
例题1 求函数的值域.
解析：因为恒成立，所以函数的定义域为R，
原式可化为，整理得.
若，即，则；
若，因为，即有，，
解得且.综上所述，函数的值域是.

八、单调性法
例题1 求函数的值域.
解析：，由，得.故，
因此.所以函数的值域为.
变式1 函数的值域是__________.
变式2 求函数的值域.

九、有界性法
例题1 求函数的值域.
解析：，由，可知，故
，因此所求函数的值域为.
变式1 已知函数，求函数的值域.

变式2 已知函数，若有，则的取值范围为（ ）

例题2 已知，求函数的值域.
解析：令，则，得，
故，得或.
又，则，故.因此函数的值域为.
变式1 已知，求函数的值域.

十、导数法
例题1 求函数的值域.
解析：由，得.
的最大值；
的最小值，故的值域为.
变式1 若函数在区间及上都是曾函数，而在上是减函数，求此函数在上的值域.